从孩子的错误开始反思

----对“乘法分配律”的点滴思考

在教学工作中，经常听到办公室的老师抱怨教学完《乘法分配律》后，学生的错误较多，教师反复讲反复做，可是效果不明显，自己也曾遇到过这样的现象，老师往往是“吃力不讨好”。基于这样的背景，笔者开始思考：为什么学生对这一知识的错误率这么高？是学生的问题还是老师的问题？这一内容是学生在学过加法交换律、结合律和乘法交换律、结合律之后的又一运算定律。乘法分配律较之乘法交换律和结合律，是学生学习中的一个难点，在实际教学这一定律的前期，学生的学习效果似乎还不错，可是到了稍后的综合练习和变式练习，错误却接连不断，效果不甚理想。我想这并不仅仅是“听讲不认真、粗心或练习过少”这些表面因素所造成的，它和儿童的情感、情境创设的方法、知识本身的复杂性以及儿童的认知发展有着紧密的联系。为此，笔者对学生较多出现的错误进行搜集整理，细加分析，明确学生失误的原因，并在教学中采取一些纠错和优化的新举措，希望能达到减少或避免错误的目的。

一．典型错题再现与成因分析

1．错题再现

在教学《乘法分配律》时，发现学生在练习中的错题较多，例如：

1（30＋40）×25=30＋25×40 ○

212×97+3=12×（97+3） ○

3125×(4×8)=125×4×125×8 ○

432×25×125=（4×25）+（8×125） ○

525×（4+8）×125=25×4+8×125 ○

688×125=80×（125×8） ○

739×99=39×（99+1） ○

面对这样的错误，一般又要花上好几节课的时间或大量的练习题进行强化训练才能使学生的这些错误有所好转。说不好到了期末阶段或是升上一个年级，错误又“卷土重来”。这样的效果使我们很郁闷，问题到底出在哪里？

2、成因分析

（1）简单模仿

乘法分配律由于学生没有生活经验基础及相关认识，其运用又变化多端,所以课即使上了,他们也没能真正理解其内涵,只是纯粹地模仿；课后，学生对这个知识点的遗忘速度非常快，且不会灵活运用。对于数学基础薄弱的学生，哪怕硬记了分配律的各种类型，依旧边记边忘，更谈不上从真正意义上去理解。

（2）对比教材

教材研讨对比是发现问题的有利渠道之一。笔者查阅了几个版本教材对这一内容的编排特点，发现大部分的教材都是这样编排的：从问题情境列出算式入手，发现两边的算式结果是相等的，仿写这样的很多例子，于是采用不完全归纳法得出了乘法分配律（a＋b）×c=a×c＋b×c，一般教师的教学程序正好体现了教材的编排意图，说明利用情境帮助学生学习乘法分配律已经达成了共识。

通过分析，笔者认为乘法分配律有着很强的抽象性与概括性，它将“×、+”以及小括号通通结合在一起，属于多种因素混合在一起的复杂性知识。除此之外，

分配律的左右形式改变，但是结果仍然相等。学生在学习中不容易理解这种变化，意识不到“变中的不变”。学生只是机械记住了乘法分配律的形式，学生只知其然不知其所以然是最根本的原因，没有很好从意义入手理解乘法分配律，这样不利于学生对知识的掌握，也不利于建立数学模型。

基于学生出现的这些错误现象，结合自己的教学过程和学生实际情况，笔者通过这样的纠错教学与方法择优教学，希望能对这个困扰多时的难题能有所改善。

二．方法实施：

（一）纠错教学：

例一：（30＋40）×25=30＋25×40 12×97+3=12×（97+3）

出现这样的错误，首要问题是这些学生知道在使用乘法分配律，但普遍说不完整乘法分配律；第二个问题是关注点在“凑整”上，以为达成了凑整，就完成了简算，完全不去考虑符号等细节问题；第三个问题是受到乘法结合律的负迁移

1中4和25的搭配太熟记于心的影响，想当然得出了这样的算式。而且对于题○

了，以至于出现了这样的错误，如何引导他们更好地掌握分配律的基本型，为此我设计了具体的情境教学：四（1）班要购臵25套课桌椅，每张桌子40元，每把椅子30元，一共需要多少钱？以此题为例，从实际问题情境的具体意义和乘法的一般意义两个方面，加深对30×25+40×25=25×（30+40）等式的理解，既可以让学生对乘法分配律加以解释和说明，从而达到理解水平，把握知识的发生、发展的本源，同时也是为后续a×c+c=(a+1) ×c做好必要的渗透和准备。然后再回过头看原题，学生就发现问题所在，从而对乘法分配律的真正意义会理解的更加透彻。

例二： 125×(4×8)

=（125×4）×（125×8）

=500×1000

=500000

显然，以上错误是学生把乘法结合律与乘法分配律混淆了。为了帮助学生避免上述错误的发生，教学中我采用了题组比较的方法，出示：125×(4+8)和125×(4×8)放在一起，组成题组进行比较，并进行如下追问：这两道题有什么相同点和不同点？到底用乘法分配律还是用乘法结合律？我们该如何正确选择呢？通过这样的比较和追问，提醒学生注意：两数之和乘第三个数，可以选用乘法分配律；三个数连乘，应选用乘法结合律。我想通过这样的对比练习，学生的印象会更加深刻，掌握的也会更好。接着再出示25×（4+8）×125和25×（4×8）×125，相信学生的错误率会大大降低。

例三：88×125

=80×（125×8）

=80×1000

=80000

多数学生虽然知道要拆88这个数，但对于到底怎么拆却举棋不定。为了帮助学生弄清拆数的要领，我将本题的两种不同计算过程板演在一起，让学生观察比较。

（1）88×125 （2）88×125

=（80+8）×125 =（8×11）×125

=80×125+8×125 =（8×125）×11

=10000+1000 =1000×11

=11000 =11000

师：两种计算方法有什么相同的地方？有什么不同之处？【预设学生回答：都是拆88，前一种把88拆成两数之和；后一种把88拆成两数之积】

师：不管是拆成两数之和还是两数之积，都要注意什么？【预设学生回答：拆成的算式必须与原数大小相等】

师追问：如果拆成两数之积，应用哪种运算定律？如果拆成两数之和，所运用的又是什么运算定律呢？

通过以上比较设疑解决如何拆一个数的问题，那么对于39×99=39×（99+1）这样的错误学生就会避免。但在练习中到底需不需要拆数，还要根据实际情况作出准确判断。但学生恰恰缺乏这种判断能力，从而导致错误发生。这就是下面笔者要说到的方法择优。

（二）择优教学：

例四：57×99+57

=57×(100-1)+57

=57×100-57+57

=5700-57+57

=5643+57

=5700

这题本来是可以直接应用乘法分配律进行简算的算式，但不少学生出现繁琐或错误计算的现象。究其原因：第一，这道题是乘法分配律通常形式的反向运用，而这恰恰是学生学习中的一大难点；第二，这道题与原乘法分配律基本形式的结构相比发生了很大的变化，学生的思维始终定格在“乘加乘”模式中，所以形式一旦发生变化，有的学生就“不识庐山真面目”了。可见学生对乘法分配律意义理解的单薄、肤浅，导致思维呆板、僵化。于是，我在教学时设臵了这样的情境：“六一”儿童节学校开展歌咏比赛，四年级的99名参赛学生和一名学生指挥要求穿统一服装，如果买图中的短袖衫，一共要付多少元？（短袖衫每件32元） 在学生列出两种不同的算式32×99+32和32×（99+1）后，我首先引领学生推断两种算式相等，左边99个32 加1个32就等于（99+1）个32，然后发现：左边的算式表示买99件短袖衫的钱数加上1件短袖衫的钱数，也可以写成32×99+32×1, 这时学生发现32×99+32=32×（99+1）。练习后，教师及时帮助学生提炼：a×c+c并追问：可以运用乘法分配律进行计算吗？为什么？引领学生概括和推理：a×c+c=a×c+c×1=(a+1) ×c

例五：125×888

=125×（800+80+8）

=125×800+125×80+125×8

=100000+10000+1000

=111000

对于学生出现这样的做法，教师应予以肯定，但如果不重视学生的这种解题思路，单是给一个“√”完事的话，恐怕对学生的思维发展是无益的，考虑至此，我设计了这样的情境：

师：此题还有不同的做法吗？学生中肯定会有125×888=125×（8×111）的做法，把这种做法板书于黑板上，请学生比较：哪种做法更方便一些？通过比较得出结论：第二种做法更好。我并没有“适可而止”，而是又写了一题：125×8888，学生几乎都选择了第二种做法，效果较好。择优方法的教学在这里发挥的淋漓尽致。

例六：（125+75）×8

=125×8+75×8

=1000+600

=1600

一开始出示此题，学生还丈二和尚摸不着头脑，认为就应该这么做呀！我请学生仔细观察数字的特征，这时才有几个学生发现问题的所在：原来这道题不用乘法分配律更简单，小括号里算出200，再乘8就等于1600.可是正因为捕捉到了乘法分配律的特征，加上有125和8这两个特殊的数，学生几乎想都没想就用了乘法分配律来做，看来有的时候还得“具体题目具体分析”。

例七：101×99

=101×（100-1）

=101×100-101

=10100-101

=9999

此题有很多学生算到最后一步减法出错了，四年级学生有的懒于列竖式，直接心算，有的写了1099，有的写99999，还有的写1999?究其原因，原来是退位减法“惹的祸”。对于101、99这样的“敏感”数，有的学生想到了分拆101：

101×99

=（100+1）×99

=100×99+99

=9900+99

=9999

同样的一道题目，分拆99的学生错误率很高，而分拆101的学生几乎都做对了，由此可见在方法的选择上是有讲究的，而且对于学生来说有着亲身体验和自己的感悟，这样的教学比让学生做10道题来说一定会让他们留下深刻的印象。

（三）发展思维：

例八：97×25+75

对于此题的出现，通过上述纠错，已没有学生用97×（25+75）这样的方法来做了，但笔者认为有必要让我们的“乘法分配律”在孩子的心中得到升华。

像这类特征变式、隐蔽的题目，相当多的学生没有进行简便计算。因此，精心设计练习，指导学生捕捉题目中隐藏的乘法分配律特征，就显得比较重要。为此我是这样设计的：在下列括号中添上一个数，使算式能够简便运算。

（1）25×19×（ ）

（2）78×43+（ ）×（ ）

（3）（125+31）×（ ）

（4）23×88+69×（ ）

题1和题3多数学生都能想到填4（或8）以及它们的倍数；题2是一道开放题，学生可以着眼于把78作为公因数，也可把43作为公因数，反映了学生不同的解题思路。题4多数学生的思路延续题3的做法，起初学生认为这样的做法

符合乘法分配律的要求，可是无论是23×88+69×23还是23×88+69×88，计算时都不能凑整，对简算来说意义不大。因此，教学中既要考虑符合运算律的结构特征，还要注意能够简算。我是这样引导的：

师：既然在括号中填23或88都不能进行简便计算，说明这种思路行不通，仔细观察老师所给的几个数，你有什么发现？【学生回答：我发现69是23的3倍】

师：这是一个很重要的发现，能以此为解题的突破口想想可以怎么变通呢？【学生通过讨论交流得出方法】

师：通过这道题的练习，你从中受到了什么启发？【学生1：乘法分配律必须有一个相同的数才能运用这个运算方法。学生2：如果算式中没有相同的数，我们试着找寻有倍数关系的数进行拆数。】

通过这样的教学，学生今后再遇到诸如此类的题，头脑中就会显现解题思路与方法，效果较好。

二．跟进练习，显现成效

纠错课与择优课教学结束后，进行了跟进练习：

1．填一填

4×（25+10）=□ ×□+□ ×□ 37×73+ 37+37×26 =（□+□+□）×□ （□+□）×★= 26 ×★ + 14 ×★ 45×99+ 55 = □ ○（□○□） 48×101- 48 = □ ○（□○□） 101×98=□ ○（□○□）

【效果显示：百分之百的学生能完整而正确地解答完这6题，说明乘法分配律纠错和择优教学比较成功，学生对题2和题6能较灵活运用。】

2．判断。

（1）（25+125）×4=25×125+25×4 （ ）

（2）（25+125）×4=25×4+125 （ ）

（3）25×4+125×4=4×（25+125） （ ）

（4）25×4×125=25×（4+125） （ ）

（5）25×125×4=25×4×125 （ ）

【效果显示：从这5小题的测试结果可以看出学生对乘法分配律基本上能从意义上建构，且避开了与结合律的混淆。】

3．拓展题：

56×12+（ ）×（ ）

师：如果能简算，可以怎么填？

4、简便计算：198×6+12

【效果显示：上述2题其中题1既有把56作为公因数，也有把12作为公因数的，令人欣喜的是有多数学生写出:56×12+14×52;题2的正确率也较高，真正达到学以致用、融会贯通。】

三、我的思考

学生在学习乘法分配律的过程中出现错误是难免的，关键是教者要冷静、科学地分析学生产生错误的原因。要从引导点拨的角度出发，努力发挥教者的主导作用，积极预防。只要我们稍稍地从生活情境中加以提炼，拉近它们的距离，那么学生在应用乘法分配律时会更加得心应手，真正使得学生对这一知识理解更深刻，思维不僵化，善于变换角度，触类旁通，这样的学习才是有效的、有意义的，才是能够促进学生可持续发展的。

 

第二篇：反思对孩子的教育

身为一个母亲，与各位家长共勉：

1、如果您的孩子喜欢谴责别人，是因为平时您对他批评过多。

2、如果您的孩子凡事喜欢抱怨，是因为您总是挑剔他。

3、如果您的孩子喜欢对抗，是因为您对他有敌意和强制。

4、如果您的孩子不够善良，是因为您是一个缺少同情心的人。

5、如果您的孩子胆小、羞怯，是因为他经常被嘲弄、辱骂。

6、如果您的孩子不跟您说心里话，是因为您捉孩子的话儿把，翻老账。

7、如果您的孩子不辨是非，是因为您专制，没有给孩子自主和思考的机会。

8、如果您的孩子很自卑，是因为您对孩子总是失望，不能耐心鼓励。

9、如果您的孩子嫉妒、敏感、怕受伤，是因为他的家庭没有宽容和温暖。

10、如果您的孩子不喜欢自己，是因为您对他缺少接纳、认可和尊重。

11、如果您的孩子不上进，不努力，是因为您对他要求过高他做不到。

12、如果您的孩子很自私，是因为您对他太溺爱，要什么给什么。

13、如果您的孩子不懂父母的苦心，是因为您没有教会他理解别人。

14、如果您的孩子退缩、逃避，是因为遭到了您的轻视和打击。

15、如果你的孩子懒惰和依赖，是因为您替孩子做的事和决定太多了。

16、如果您被孩子控制了，是因为您不敢严厉管教，总是哀求孩子。

17、如果您的孩子撒谎、骗人，是因为您不够宽容，喜欢惩罚孩子。

18、如果您的孩子冷漠，攻击他人，是因为您对他的讽刺和冷眼太多。

19、如果您的孩子有暴力行为，是因为您常用暴力来处理孩子的问题。

20、如果您的孩子意志不坚强，惧怕困难，是因为您没有给他锻炼的机会。

有以上三种状况就说明您的家庭教育处于“亚健康”状态了； 有以上四种状况就要随时注意您的教育方法了；

有以上五种状况就说明您的家庭教育出现严重问题，必须请专家指导