数 列

数列的考查主要涉及数列的基本公式、基本性质、通项公式，递推公式、数列求和、数列极限、简单的数列不等式证明等.

1.数列的有关概念：

（1）   数列：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每个数称为该数列的项.

（2）   从函数的观点看，数列可以看做是一个定义域为正整数集（或它的有限子集）的函数。当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。由于自变量的值是离散的，所以数列的值是一群孤立的点。

（3）   通项公式：如果数列的第项与序号之间可以用一个式子表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式，即.如: 。

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数列求和常用公式:

1、1+2+3+......+n=n×(n+1)÷2

2、12+22+32+......+n2=n(n+1)(2n+1)÷6

3、 13+23+33+......+n3=( 1+2+3+......+n)2 =n2×(n+1)2÷4

4、 1×2+2×3+3×4+......+n(n+1) =n(n+1)(n+2)÷3

5、 1×2×3+2×3×4+...+n(n+1)(n+2)=n(n+1)(n+2)(n+3)÷4

6、 1+3+6+10+15+... =1+(1+2)+(1+2+3)+(1+2+3+4)+...+(1+2+3+...+n)

=[1×2+2×3+3×4+...+n(n+1)]/2=n(n+1)(n+2) ÷6

7）1+2+4+7+11+...=1+(1+1)+(1+1+2)+(1+1+2+3)+......+(1+1+2+3+...+n)

= (n+1)×1+[1×2+2×3+3×4+......+n(n+1)]/2=(n+1)+n(n+1)(n+2) ÷6 1111 8） + + +÷(n+1) 22×33×4n(n+1)

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【一】    求数列通项公式的常用方法

各个求通项的方法之间并不是相互孤立的,有时同一题目中也可能同时用到几种方法,要具体问题具体分析!

一 公式法

数列符合等差数列或等比数列的定义,求通项时,只需求出与或与,再代入公式或中即可.

例1 数列是等差数列,数列是等比数列,数列中对于任何都有分别求出此三个数列的通项公式.

二 利用与的关系

如果给出条件是与的关系式,可利用求解.注意:应分和两种情况考虑,若两种情况能统一则应统一,否则应分段表示!

例2 若数列的前项和为求的通项公式.

三 累加法

   形如已知且 (为可求和的数列)的形式均可用累加法.

    例3 数列中已知, 求的通项公式.

四 累乘法

   形如已知且 (为可求积的数列)的形式均可用累乘法.

    例4数列中已知, 求的通项公式.

五 构造法

   若给出条件直接求较难,可通过整理变形等从中构造出一个等差或等比数列,从而求出通项.常见的有形如 (为常数)且已知的数列可构造为等比数列求出,进而求出.注意用待定系数法求常数

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数列求和方法总结

朱亚芬

数列求和是中学数学中一个十分有趣的课题，它对于加深巩固中学数学课程的学习,开拓中学生的知识领域都十分有益。这个开阔、有趣的“数列求和”的世界，可以极大的丰富我们的数学知识，提高我们的数学思维能力。本文针对数列求和方法加以总结分类，并对各种类型的数列给出其求和的主要方法与实例。

1 直接求和

     适用于等差数列或等比数列的求和（指前项和）问题,在四个量（或）, 中,已知三个量时,可以求出来,我们简称为“知三求和”问题.它们的求和问题可以直接利用求和公式解决.

     等差数列前项和公式：已知时,利用公式求和；

                        已知时,利用公式求和.

     等比数列前项和公式：已知时,利用公式求和；

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递推数列分类解析

（1） an?1=an+f(n)类型————逐差法

例：an?1= an+n-2，a1=1,求通项公式。

2

答案：an=(n-5n+6)/2

(2) an?1=f(n)*an-----------------逐商法

例：已知a1=1，an= a1+2a2+3a3+……+（n-1）an?1（n≥2） 则an=﹛1,n=1

___,n≥2 [04全国Ⅰ]

解： 由已知得，an?1= a1+2a2+3a3+……+（n-1）an?1+n an 与上式相减得

n≥2时，an?1- an=n an即an?1=(n+1) an

又a1=1 , a2/a1=1, a3/ a2=3, a4/ a3=4,……, an/ an?1=n 以上各式相乘得

an=1*1*2*3*4*%*……*n=n！/2(n>=2)

(3) an?1=p an+q(p≠1,q≠0)----------待定系数法构造等比数列 即令an?1+λ=p(an+λ),与已知式对比系数

（4）Sn=f(an)

一般利用an=S1(n=1); Sn-Sn?1(n≥2)

(5)* an?1=pan+r*q( p≠1,0,q≠0,r≠0)

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数列求和方法总结

一、公式法求和（明确数列是等差数列或等比数列）

⑴在等差数列{}中 

①   ②   ③

⑵在等比数列{}中

①  （）②  （）③  （）

1、求下列等差数列{}的前n项和

⑴      ⑵      ⑶

2、⑴求等比数列1，2，4，……从第5项到第10项的和

 ⑵在等比数列{}中，已知求的值

 ⑶在等比数列{}中，且求该数列的项数n和公比q

二、倒序相加法

如果一个数列中，与首末两端“等距离”的两项之和(或“系数” 之和)等于首末两项之和（或等于首末两项“系数” 之和）， 那么就可以把正着写的和与倒着写的和的两个和式相加，从而可求出数列的前n和．

1、设f(x)=,若S=f()+f()+f()+……+f(),试求S的值。

2、已知f(x)=

试求f()+f()+……+f()+f(1)+f(2)+……f(2012)的值

三、分组求和法

有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并化简即可。

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数列求和

一、公式法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和。

（1）等差数列的求和公式：            =              

（2）等比数列的求和公式          

例1.求和

（1）1+2+3+…+n

（2）

二、分组求和法：若一个数列由两个特殊数列相加减而得到，则分别对两个特殊数列求和之后相加减得到该数列的和。

例2.求和

（1）；

（2），求；

（3），求

三、裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。

常见拆项公式：（1）    (2)  

   (3)   （4）

例3. （1）已知数列，求前.

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一、公式法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和。

（1）等差数列的求和公式：            =              

（2）等比数列的求和公式          

例1.求和

（1）1+2+3+…+n

（2）

二、分组求和法：若一个数列由两个特殊数列相加减而得到，则分别对两个特殊数列求和之后相加减得到该数列的和。

例2.求和

（1）；

（2），求；

（3），求

三、裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。

常见拆项公式：（1）   (2)  

   (3)   （4）

例3. （1）已知数列，求前.

（2）已知数列，求前.

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