解三角形

2[课前热身]  

1．(教材习题改编)已知△ABC中，a＝，b＝，B＝60°，那么角A等于(　　)

A．135°　 　　   B．90°　 　　

C．45°　 　　      D．30°

2．在△ABC中，，则A等于(　　)

A．60°  B．45°  C．120°  D．30°

3．在△ABC中，若A＝120°，AB＝5，BC＝7，则△ABC的面积是(　　)

A.  B.  C.  D.

4．(2010年高考广东卷)已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a＝1，b＝，A＋C＝2B，则sinA＝________.

5． 

5．在△ABC中，如果A＝60°，c＝，a＝，则△ABC的形状是________．

                                              

3[考点突破]

考点一 正弦定理的应用

    利用正弦定理可解决以下两类三角形：一是已知两角和一角的对边，求其他边角；二是已知两边和一边的对角，求其他边角．

例1、(1)(20##年高考山东卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝，b＝2，sin B＋cos B＝，则角A的大小为________．

(2)满足A＝45°，a＝2，c＝的△ABC的个数为________．

考点二 余弦定理的应用

利用余弦定理可解两类三角形：一是已知两边和它们的夹角，求其他边角；二是已知三边求其他边角．由于这两种情况下的三角形是惟一确定的，所以其解也是惟一的．

例2、在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c＝2，C＝.

(1)若△ABC的面积等于，求a，b的值；

(2)若sinB＝2sinA，求△ABC的面积．

考点三三角形形状的判定

判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行思考，主要看其是否是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形，要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别．

例3、(20##年高考辽宁卷)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且

2asin A＝(2b＋c)sin B＋(2c＋b)sin C.

(1)求A的大小；

(2)若sinB＋sinC＝1，试判断△ABC的形状．

互动探究 

1　若本例条件变为：sinC＝2sin(B＋C)cosB，试判断三角形的形状．．

方法感悟:

方法技巧

解三角形常见题型及求解方法

(1)已知两角A、B与一边a，由A＋B＋C＝180°及＝＝，可求出角C，再求出b，c.

(2)已知两边b，c与其夹角A，由a²＝b²＋c²－2bccosA, 求出a，再由正弦定理，求出角B，C.

(3)已知三边a、b、c，由余弦定理可求出角A、B、C.

(4)已知两边a、b及其中一边的对角A，由正弦定理＝求出另一边b的对角B，由C＝π－(A＋B)，求出C，再由＝，求出c，而通过＝求B时，可能出现一解，两解或无解的情况，其判断方法如下表：

失误防范

1．用正弦定理解三角形时，要注意解题的完整性，谨防丢解．

2．要熟记一些常见结论，如三内角成等差数列，则必有一角为60°；若三内角的正弦值成等差数列，则三边也成等差数列；三角形的内角和定理与诱导公式结合产生的结论：sinA＝sin(B＋C)，cosA＝－cos(B＋C)，sin＝cos，sin2A＝－sin2(B＋C)，cos2A＝cos2(B＋C)等．

3．对三角形中的不等式，要注意利用正弦、余弦的有界性进行适当“放缩”．

五、规范解答

(本题满分12分)(20##年高考大纲全国卷Ⅱ)在△ABC中，D为边BC上的一点，BD＝33，sinB＝，cos∠ADC＝，求AD的长．

【解】　由cos∠ADC＝>0知∠B<，

由已知得cosB＝，sin∠ADC＝，4分

从而sin∠BAD＝sin(∠ADC－∠B)

＝sin∠ADCcosB－cos∠ADCsinB

＝×－×＝.9分

由正弦定理得＝，

所以AD＝＝＝25.12分

【名师点评】　本题主要考查正弦定理、三角恒等变换在解三角形中的应用，同时，对逻辑推理能力及运算求解能力进行了考查．本题从所处位置及解答过程来看，难度在中档以下，只要能分析清各量的关系，此题一般不失分．出错的原因主要是计算问题．

名师预测

1．在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则cosB＝(　　)

A．－　　　　　　　　　         B.

C．－                                               D.

2．已知△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且S_△ABC＝，那么角C＝________.

3．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足(2b－c)·cosA－acosC＝0.

(1)求角A的大小；

(2)若a＝，S_△ABC＝，试判断△ABC的形状，并说明理由．

解：(1)法一：∵(2b－c)cosA－acosC＝0，

由正弦定理得，

(2sinB－sinC)cosA－sinAcosC＝0，

∴2sinBcosA－sin(A＋C)＝0，

即sinB(2cosA－1)＝0.

∵0<B<π，

∴sinB≠0，∴cosA＝.

∵0<A<π，∴A＝.

法二：∵(2b－c)cosA－acosC＝0，

由余弦定理得，

(2b－c)·－a·＝0，

整理得b²＋c²－a²＝bc，

∴cosA＝＝.

∵0<A<π，∴A＝.

(2)∵S_△ABC＝bcsinA＝，

即bcsin＝，

∴bc＝3，①

∵a²＝b²＋c²－2bccosA，

∴b²＋c²＝6，②

由①②得b＝c＝，

∴△ABC为等边三角形．

课后作业

1 在△ABC中，角均为锐角，且则△ABC的形状是（     ）

A.  直角三角形    B.  锐角三角形 

C.  钝角三角形    D.  等腰三角形 

2 边长为的三角形的最大角与最小角的和是（    ）

A.        B.       C.       D.   

3 在△ABC中，，则的最大值是_______________.

4 在△ABC中，若_________. 

5 已知△ABC的三个内角分别为A，B，C，向量 夹角的余弦角为

   （Ⅰ）求角B的大小；

   （Ⅱ）求的取值范围.

6 △ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c.

（Ⅰ）若，求cosA的值；

（Ⅱ）若A∈[，]，求的取值范围.

7  在△ABC中，求证：

8  在锐角△ABC中，求证：.

 

第二篇：相似三角形知识点总结及习题

相似三角形基本知识

 (一)比例的性质

1.比例的基本性质:  比例式化积、积化比例式.

2.合、分比性质:分子加（减）分母,分母不变.

                       (k=1、2、3…)

应用: 

已知

证明:∵  ∴  ∴  ∴

3.等比性质:分子分母分别相加，比值不变.

若则.

4.比例中项:若的比例中项.

(二)平行线分线段成比例定理

    1.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比.例.    已知l₁∥l₂∥l₃,       

                        A     D   l₁

                       B       E   l₂

                     C           F    l₃

可得

2.推论:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.          A

 

                 D        E

            

                B          C

由DE∥BC可得：.此推论较原定理应用更加广泛,条件是平行.

3.推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边. (即利用比例式证平行线)

4.定理:平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边与原三角形三边对应成比例. 

(三)相似三角形

    1、相似三角形的判定

  ①两角对应相等的两个三角形相似(此定理用的最多);

  ②两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似;

  ③三边对应成比例的两个三角形相似;

      ④直角边和斜边对应成比例的两个直角三角形相似.

2、直角三角形中的相似问题：

斜边的高分直角三角形所成的两个直角三角形与原直角三角形相似.

射影定理：

CD²=AD·BD，                         

AC²=AD·AB，

BC²=BD·BA

（在直角三角形的计算和证明中有广泛的应用）.

    3、相似三角形的性质

  ①相似三角形对应角相等、对应边成比例.

      ②相似三角形对应高、对应角平分线、对应中线、周长的比都等于相似比(对应边的比).

      ③相似三角形对应面积的比等于相似比的平方.

4、位似图形:如果两个图形不仅是相似图形，而且每对对应点所在直线都经过一点，这样的图形叫做位似图形，这个点叫位似中心.这时的相似比又称为位似比.

特别提醒：

①是特殊的相似图形，具有位似中心；

       ②位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比都等于相似比.

相似三角形（基础训练）   

一、    选择题（每题2分，共30分）

1.  已知      ，则下列式子中正确的是（  ）

A.a:b=c²：d²   B.a:d=c:d   C.a:b=(a+c):(b+d)   D.a:b=(a-d):(b-d)

2. 一个运动场的实际面积是6400m²，那么它在比例尺1:1000的地图上的面积是（   ）

   A.6.4cm²       B.640cm²     C.64cm²     D.8cm²

3. 测得线段AB=2.8m，CD=310cm，则线段AB与CD的比为（   ）

                  

4. 已知线段d是线段b、c、a的第四比例项，其中a=5cm,b=2cm,c=4cm,则d等于（   ）

A.1cm     B.10cm     C.2.5cm     D.1.6cm

5. ①如果线段d是线段a、b、c的第四比例项，则有      ；

   ②如果点C是线段AB的中点，那么AC是AB、BC的比例中项；

   ③如果点C是线段AB的黄金分割点，且AC>BC，那么AC是AB与BC的比例中项；

   ④如果点C是线段AB的黄金分割点，且AC>BC，AB=2，则AC=      .

其中正确的判断有（   ）

A.1个     B.2个     C.3个     D.4个

6. 如图，DE∥BC,在下列比式中，不能成立的是（   ）

               

7. 下列图形中相似的多边形是（   ）

A.所有的矩形         B.所有的菱形    

C.所有的正方形       D.所有的等腰梯形

8. 下列判断中，正确的是（   ）

A.各有一个角时67°的两个等腰三角形相似；    

B.邻边之比都为2:1的两个等腰三角形相似；    

C.各有一个角时45°的两个等腰三角形相似；

D.邻边之比都为2:3的两个等腰三角形相似.

9.  在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，则△ABC中相似三角形共有（   ）

A.1对     B.2对     C.3对     D.4对

10. 点D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，则S△ADE:S△ABC=（   ）

A.1:2     B.1:3     C.1:4     D.1:√2

11.                                    ，则k=（   ）

A.2     B.-1     C.2或-1     D.无法确定

12. 下列说法正确的是（   ）

A.两位似图形的面积比等于位似比；

B.位似图形的周长之比等于位似比的平方；

C.分别在△ABC的边AB、AC的反向延长线上取点D、E，使DE∥BC，则△ADE是△ABC放大后的图形；     A.     B.     C.     D.

D.位似多边形中对应对角线之比等于位似比

13. 如果一个直角三角形的两条直角边分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x，那么x的值（   ）

A.只有1个     B.可以有2个    C.有2个以上，但有限     D.有无数个

14. 如图，在△ABC中，D为AC边上一点，∠DBC=∠A，BC=√6，AC=3，则CD的长为(   )

A.1         B.          C.2           D.     

15. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D，且AD⊥BD=9:4，则AC:BC的值为（   ）

A.9:4     B. 9:2    C.3:4     D.3:2 

二、    填空题（每题2分，共20分）

16.                    _____,      _____.

17. 如果x:y:z=1:3:5,那么          _____.

18. E、F为线段AB的黄金分割点，已知AB=10cm，则EF的长度为_____cm.

19. 在阳光下，身高1.68m的小强在地面上的影长为2m，在同一时刻，测得学校的旗在地面上的影长为18m.则旗杆的高度为_____（精确到0.1m）.

20. 两个相似三角形对应高的比为1:√2,则它们的周长之比为_____;面积之比为_____.

21. △ABC的三边长分别为√5、√10、√15，△      的两边长分别为1和√2，如果△ABC∽△       ，那么△       的第三边长为_____.

22. 如图，在平行四边形ABCD中，延长AB到E,

使AB=2BE，延长CD到F，使DF=DC，EF交BC于G，

交AD于H.则S△BEG:S△CFG=______.

23. 如图，AB是斜靠在墙上的一个梯子，

梯脚B距墙1.4m，梯墙一点D距强1.2m，       

BD长0.5m，则梯长为_____.

                                       （23题）        (24题)

24. 如图，在△ABC中，∠BAC=90°，D是BC中点，AE⊥AD交CB延长线于点E，则△BAE相似于______.

25. 如图，在△ABC中，M、N是AB、BC的中点，      

AN、CM交于点O，那么△MOC∽△AOC面积的比为_____.

三、作图题（5分）

26. 三角形的顶点坐标分别是A（2,2），B(4,2)，C(6,4)，试将△ABC缩小，使缩小后的△DEF与△ABC的对应边比为1:2，并且直接写出点D、E、F的坐标.

四、解答题（27题、28题5分，29题10分，共20分）

27. 如图，DE∥BC，DF∥AC，AD=4cm，BD=8cm，DE=5cm，

求线段BF的长.

28. 如图，已知△ABC中，AE:EB=1:3，BD:DC=2:1,AD与CE相交于F.

求         的值.

29.如图，已知△ABC，延长BC到D，使CD=BC.取AB的中点F，连接FD交AC于点E.

（1）求     的值

（2）若AB=a,FB=EC，求AC的长.

五、证明题（30题5分，31题、32题10分，共25分）

30.如图，平行四边形ABCD中，过A作直线交BD于P，交BC于Q，交DC的延长线于R.

求证：AP²=PQ·PR.

31. 如图，△ACB中，∠ACB=90°，D在BC边上，连AD，过B作BE⊥AB，∠BAE=∠CAD，过E作EF⊥CB于F.

求证：BF=CD.

32. 如图，已知∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D，CE与AB相交于F.

（1）求证：△CEB≌△ADC；

（2）若AD=9㎝，DE=6㎝，求BE及EF的长.