高中数学第七章-直线和圆的方程

考试内容：

直线的倾斜角和斜率，直线方程的点斜式和两点式．直线方程的一般式． 两条直线平行与垂直的条件．两条直线的交角．点到直线的距离．

用二元一次不等式表示平面区域．简单的线性规划问题．

曲线与方程的概念．由已知条件列出曲线方程．

圆的标准方程和一般方程．圆的参数方程．

考试要求：

（1）理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程．

（2）掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系．

（3）了解二元一次不等式表示平面区域．

（4）了解线性规划的意义，并会简单的应用．

（5）了解解析几何的基本思想，了解坐标法．

（6）掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念。理解圆的参数方程．

§07. 直线和圆的方程 知识要点

一、直线方程.

1. 直线的倾斜角：一条直线向上的方向与x轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角，其中直线与

??x轴平行或重合时，其倾斜角为0，故直线倾斜角的范围是0???180(0????).

注：①当??90?或x2?x1时，直线l垂直于x轴，它的斜率不存在.

②每一条直线都存在惟一的倾斜角，除与x轴垂直的直线不存在斜率外，其余每一条直线都有惟一的斜率，并且当直线的斜率一定时，其倾斜角也对应确定.

2. 直线方程的几种形式：点斜式、截距式、两点式、斜切式.

特别地，当直线经过两点(a,0),(0,b)，即直线在x轴，y轴上的截距分别为a,b(a?0,b?0)时，直线方程是：

注：若

y??2

3y??xa23?yb?1. x?2是一直线的方程，则这条直线的方程是y??23x?2，但若x?2(x?0)则不是这条线.

附：直线系：对于直线的斜截式方程y?kx?b，当k,b均为确定的数值时，它表示一条确定的直线，如果k,b变化时，对应的直线也会变化.①当b为定植，k变化时，它们表示过定点（0，b）的直线束.②当k为定值，b变化时，它们表示一组平行直线.

3. ⑴两条直线平行：

l1∥l2?k1?k2两条直线平行的条件是：①l1和l2是两条不重合的直线. ②在l1和l2的斜率

都存在的前提下得到的. 因此，应特别注意，抽掉或忽视其中任一个“前提”都会导致结论的错误.

（一般的结论是：对于两条直线l1,l2，它们在y轴上的纵截距是b1,b2，则l1∥l2?k1?k2，

1

且b1?b2或l1,l2的斜率均不存在，即A1B2?B1A2是平行的必要不充分条件，且C1?C2） 推论：如果两条直线l1,l2的倾斜角为?1,?2则l1∥l2??1??2. ⑵两条直线垂直：

两条直线垂直的条件：①设两条直线l1和l2的斜率分别为k1和k2，则有l1?l2?k1k2??1这里的前提是l1,l2的斜率都存在. ②l1?l2?k1?0，且l2的斜率不存在或k2?0，且l1的斜率不存在. （即A1B2?A2B1?0是垂直的充要条件）

4. 直线的交角：

⑴直线l1到l2的角（方向角）；直线l1到l2的角，是指直线l1绕交点依逆时针方向旋转到与l2重合时所转动的角?，它的范围是(0,?)，当??90?时tan?

?k2?k11?k1k

2

.

⑵两条相交直线l1与l2的夹角：两条相交直线l1与l2的夹角，是指由l1与l2相交所成的四个角中最小的正角?，又称为l1和l2所成的角，它的取值范围是?

?0,

??

??

?2?

，当??90?，则有

tan??

k2?k11?k1k2

.

5. 过两直线?

?l1:A1x?B1y?C1?0?l2:A2x?B2y?C2?0

的交点的直线系方程A1x?B1y?C1??(A2x?B2y?C2)?0(?

为参数，A2x?B2y?C2?0不包括在内）

6. 点到直线的距离：

⑴点到直线的距离公式：设点P(x0,y0)，直线l:Ax?By?C?0,P到l的距离为d，则有

d?

Ax0?By0?C

A?B

2

2

.

注：

1. 两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的距离公式：|P1P2|?(x2?x1)2?(y2?y1)2.

特例：点P(x,y)到原点O

的距离：|OP|?

2. 定比分点坐标分式。若点P(x,y)分有向线段

P1(x1,y1),P2(x2,y2).则 x?

x1??x21??

,y?

y1??y21??

????????

P1P2所成的比为?即P1P??PP2

,其中

特例，中点坐标公式；重要结论，三角形重心坐标公式。

3. 直线的倾斜角（0°≤?＜180°）、斜率:k?tan? 4. 过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线的斜率公式：

k?

y2?y1x2?x1

.

(x1?x2)

当x1?x2,y1?y2（即直线和x轴垂直）时，直线的倾斜角?＝90?，没有斜率

⑵两条平行线间的距离公式：设两条平行直线l1:Ax?By?C1?0,l2:Ax?By?C2?0(C1?C2)，

2

它们之间的距离为d，则有d?C1?C

222. A?B

注；直线系方程

1. 与直线：Ax+By+C= 0平行的直线系方程是：Ax+By+m=0.( m?R, C≠m).

2. 与直线：Ax+By+C= 0垂直的直线系方程是：Bx-Ay+m=0.( m?R)

3. 过定点（x1,y1）的直线系方程是： A(x-x1)+B(y-y1)=0 (A,B不全为0)

4. 过直线l1、l2交点的直线系方程：（A1x+B1y+C1）+λ( A2x+B2y+C2）=0 (λ?R） 注：该直线系不含l2.

7. 关于点对称和关于某直线对称：

⑴关于点对称的两条直线一定是平行直线，且这个点到两直线的距离相等.

⑵关于某直线对称的两条直线性质：若两条直线平行，则对称直线也平行，且两直线到对称直线距离相等.

若两条直线不平行，则对称直线必过两条直线的交点，且对称直线为两直线夹角的角平分线. ⑶点关于某一条直线对称，用中点表示两对称点，则中点在对称直线上（方程①），过两对称点的直线方程与对称直线方程垂直（方程②）①②可解得所求对称点.

注：①曲线、直线关于一直线（y??x?b）对称的解法：y换x，x换y. 例：曲线f(x ,y)=0关于直线y=x–2对称曲线方程是f(y+2 ,x –2)=0.

②曲线C: f(x ,y)=0关于点(a ,b)的对称曲线方程是f(a – x, 2b – y)=0.

二、圆的方程.

1. ⑴曲线与方程：在直角坐标系中，如果某曲线C上的 与一个二元方程f(x,y)?0的实数建立了如下关系：

①曲线上的点的坐标都是这个方程的解.

②以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.

那么这个方程叫做曲线方程；这条曲线叫做方程的曲线（图形）.

⑵曲线和方程的关系，实质上是曲线上任一点M(x,y)其坐标与方程f(x,y)?0的一种关系，曲线上任一点(x,y)是方程f(x,y)?0的解；反过来，满足方程f(x,y)?0的解所对应的点是曲线上的点.

注：如果曲线C的方程是f(x ,y)=0，那么点P0(x0 ,y)线C上的充要条件是f(x0 ,y0)=0

2. 圆的标准方程：以点C(a,b)为圆心，r为半径的圆的标准方程是(x?a)2?(y?b)2?r2. 特例：圆心在坐标原点，半径为r的圆的方程是：x2?y2?r2.

注：特殊圆的方程：①与x轴相切的圆方程(x?a)2?(y?b)2?b2

②与y轴相切的圆方程(x?a)2?(y?b)2?a2 [r?b,圆心(a,b)或(a,?b)] [r?a,圆心(a,b)或(?a,b)]

③与x轴y轴都相切的圆方程(x?a)2?(y?a)2?a2

3. 圆的一般方程：x2?y2?Dx?Ey?F?0 .

3

[r?a,圆心(?a,?a)]

E??D当D?E?4F?0时，方程表示一个圆，其中圆心C??,??2??222，半径r?D?E?4F

222.

当D2?E2?4F?0时，方程表示一个点??

??D2,?E??. 2?

当D2?E2?4F?0时，方程无图形（称虚圆）. 注：①圆的参数方程：??x?a?rcos?

?y?b?rsin?（?为参数）.

B?0②方程Ax2?Bxy?Cy2?Dx?Ey?F?0表示圆的充要条件是：

D?E?4AF?0. 22且A?C?0且

③圆的直径或方程：已知A(x1,y1)B(x2,y2)?(x?x1)(x?x2)?(y?y1)(y?y2)?0（用向量可征）.

4. 点和圆的位置关系：给定点M(x0,y0)及圆C:(x?a)2?(y?b)2?r2.

①M在圆C内?(x0?a)2?(y0?b)2?r2 ②M在圆C上?（x0?a)2?(y0?b)2?r2 ③M在圆C外?(x0?a)2?(y0?b)2?r2

5. 直线和圆的位置关系：

设圆圆C：(x?a)2?(y?b)2?r2(r?0)； 直线l：Ax?By?C?0(A2?B2?0)； 圆心C(a,b)到直线l的距离d

①d?r?Aa?Bb?CA?B22. 时，l与C相切；

相减为公切线方程. 22??x?y?D1x?E1y?F1?0附：若两圆相切，则??22?x?y?Dx?Ey?F?0222?

②d?r时，l与C相交；

附：公共弦方程： 设 C1:x2?y2?D1x?E1y?F1?0

22C2:x?y?D2x?E2y?F2?0

有两个交点，则其公共弦方程为(D1?D2)x?(E1?E2)y?(F1?F2)?0. ③d?r时，l与C相离.

相减为圆心O1O2的连线的中与线方程. 22??x?y?D1x?E1y?F1?0?附：若两圆相离，则?22??x?y?D2x?E2y?F2?0

222??(x?a)?(y?b)?r 由代数特征判断：方程组???Ax?Bx?C?0用代入法，得关于x（或y）的一元二次方

程，其判别式为?，则：

??0?l与C相切；

??0?l与C相交；

4

??0?l与C相离.

注：若两圆为同心圆则x2?y2?D1x?E1y?F1?0，x2?y2?D2x?E2y?F2?0相减，不表示直线.

5. 圆的切线方程：

22226. 圆x?y?r的斜率为k的切线方程是y?kx?1?kr

过圆x?y?Dx?Ey?F?022上

?F?0一. 点P(x0,y0)的切线方程为：x0x?y0y?Dx?x0

2?Ey?y0

2

①一般方程若点(x0 ,y0)在圆上，则(x – a)(x0 – a)+(y – b)(y0 – b)=R2. 特别地，过圆x2?y2?r2上一点P(x0,y0)的切线方程为x0x?y0y?r2.

?y1?y0?k(x1?x0)

?b?y1?k(a?x1)②若点(x0 ,y0)不在圆上，圆心为(a,b)则?R??2R?1?，联立求出k?切线方程. BC)

7. 求切点弦方程：方法是构造图，则切点弦方程即转化为公共弦方程. 如图：ABCD四类共圆. 已知?O的方程x2?y2?Dx?Ey?F?0…① 又以ABCD为圆为方程为

2(x?xA)(x?a)?(y?yA)(x?b)?k

2…② R?(xA?a)?(yA?b)

422…③，所以BC的方程即③代②，①②相切即为所求.

三、曲线和方程

1.曲线与方程：在直角坐标系中，如果曲线C和方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系：

1） 曲线C上的点的坐标都是方程f(x,y)=0的解（纯粹性）；

2） 方程f(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上（完备性）。则称方程f(x,y)=0为曲线C的方程，曲线C叫做方程f(x,y)=0的曲线。

2.求曲线方程的方法：.

1）直接法：建系设点，列式表标,简化检验; 2）参数法; 3）定义法， 4）待定系数法.

5

 

第二篇：高中数学第七章直线和圆的方程章节知识点与04年高考试题

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线和圆的方程—两条直线的位置关系 王新敞

一、知识点：

1.直线的倾斜角与斜率：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，如果把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为?，那么?就叫做直线的倾斜角.当直线和x轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为0°.

倾斜角的取值范围是0°≤?＜180°.倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用k表示.倾斜角是90°的直线没有斜率.

2.斜率公式：经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线的斜率公式：k?y2?y1

x2?x1(x1?x2) 3. 直线的点斜式方程：y?y1?k(x?x1).直线的斜率k?0时，直线方程为y?y1；当直线的斜率k不存在时，不能用点斜式求它的方程，这时的直线方程为x?x1.

4．直线的斜截式方程：y?kx?b为斜截式.只有当k?0时，斜截式方程才是一次函数的表达式.

5. 直线方程的两点式：y?y1x?x1.（x1?x2，y1?y2） ?y2?y1x2?x1

若要包含倾斜角为00或900的直线，两点式应变为(y?y1)(x2?x1)?(x?x1)(y2?y1)的形式.

6．直线方程的截距式：xy??1. a,b表示截距，它们可以是正，也可以是负. ab

当截距为零时，不能用截距式.

7．斜率存在时两直线的平行：l1//l2?k1=k2且b1?b2.

l1：A1x?B1y?C1?0，l2：A2x?B2y?C2?0，l1∥l2的充要条件是

8．斜率存在时两直线的垂直：l1?l2? k1k2??1． A1B1C1 ??A2B2C2l1：A1x?B1y?C1?0，l2：A2x?B2y?C2?0， l1?l2?A1A2?B1B2?0．

9．特殊情况下的两直线平行与垂直:当两条直线中有一条直线没有斜率时：(1)当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90°，互相平行；(2)当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0°，两直线互相垂直．

10.直线l1到l2的角的定义及公式：两条直线l1和l2相交构成四个角,它们是两对对顶角,我们把直线l1按逆时针方向旋转到与l2重合时所转的角,叫做l1到l2的角.l1到l2的角?：0°＜?＜1８0°， 如果

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线和圆的方程—两条直线的位置关系 王新敞

1?k1k2?0,即k1k2??1,则???

2.如果1?k1k2?0，tan??k2?k1 1?k2k111．直线l1与l2的夹角定义及公式: l1到l2的角是?1, l2到l1的角是π-?1,两角中的锐角或直角叫两条直线的夹角.显然当直线l1⊥l2时,直线l1与l2的夹角是

计算方法：如果1?k1k2?0,即k1k2??1,则???.夹角的取值范围：0°＜?≤90°. 2k2?k1 1?k2k1?2.如果1?k1k2?0，tan??12．两条直线是否相交的判断： l1：A1x?B1y?C1?0，l2：A2x?B2y?C2?0 ?A1x?B1y?C1?0要看这两条直线方程所组成的方程组：?是否有惟一解Ax?By?C?0?22213．点到直线距离公式：点P(x0,y0)到直线l:Ax?By?C?0的距离为：d?Ax0?By0?C

A?B22

14．两平行线间的距离公式：已知两条平行线直线l1和l2的一般式方程为l1：Ax?By?C1?0， l2：Ax?By?C2?0，则l1与l2的距离为d?C1?C2

A?B22

15．直线系方程：若两条直线l1：A1x?B1y?C1?0，l2：A2x?B2y?C2?0有交点，则过l1与l2交点的直线系方程为(A1x?B1y?C1)＋?(A2x?B2y?C2)?0 (λ为常数) 16．二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）17. 目标函数, 线性目标函数线性规划问题,可行解，可行域, 最优解:

不等式组是一组对变量x、y的约束条件，由于这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件.如t=2x+y是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，我们把它称为目标函数.由于t=2x+y又是关于x、y的一次解析式，所以又可叫做线性目标函数

另外注意：线性约束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示.

满足线性约束条件的解（x,y)叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域.其中可行解A(x0,y0),B(x1,y1)(一般是区域的顶点)分别使目标函数取得最大值和最小值，叫做最优解 18．用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：（1）根据线性约束条件画出可行域（即不等式组所新疆奎屯市第一高级中学 第 2页（共3页）

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线和圆的方程—两条直线的位置关系 王新敞

表示的公共区域）;（2）设t=0，画出直线l0;（3）观察、分析，平移直线l0，从而找到最优解A(x0,y0),B(x1,y1);（419．“曲线的方程”、“方程的曲线”的定义：在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x,y)?0的实数解建立了如下关系：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解（纯粹性）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点（完备性）曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线 20．求曲线方程的一般步骤为：（1）建立适当的坐标系，用有序实数对表示曲线上任意一点M的坐标；

（2）写出适合条件P的点M的集合；(可以省略，直接列出曲线方程（3）用坐标表示条件P（M），列出方程f(x,y)?0;（4）化方程f(x,y)?0为最简形式；（5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点可以省略不写,如有特殊情况，可以适当予以说明) 21. 圆的标准方程 ：(x?a)2?(y?b)2?r2.两个基本要素：圆心C(a,b)，半径为r，若圆心在坐标原点上，这时a?b?0，则圆的方程就是x2?y2?r22222．圆的一般方程：形如x?y?Dx?Ey?F?0（D?E?4F?0）的方程叫圆的一般方程 22表示以（-DE1D2?E2?4F为半径的圆； ，-）为圆心,222

22当D?E?4F?0时，方程①只有实数解x??DEDE，y??，即只表示一个点（-，-）; 2222

22当D?E?4F?0时，方程①没有实数解，因而它不表示任何图形二、20xx年高考试题

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