高数（下）小结

一、微分方程复习要点

    解微分方程时，先要判断一下方程是属于什么类型，然后按所属类型的相应解法

求出其通解.

                           一阶微分方程的解法小结：

                  

二阶微分方程的解法小结：

齐次方程的通解为：

非齐次方程的特解的形式为：

主要:

一阶1、可分离变量方程、线性微分方程的求解；

2、二阶常系数齐次线性微分方程的求解；

3、二阶常系数非齐次线性微分方程的特解

二、多元函数微分学复习要点

一、偏导数的求法

1、显函数的偏导数的求法

在求时，应将看作常量，对求导，在求时，应将看作常量，对求导，所运用的是一元函数的求导法则与求导公式.

 2、复合函数的偏导数的求法

设，，，则

，

几种特殊情况：

1），，，则

2），，则，

3），则，

3、隐函数求偏导数的求法

1）一个方程的情况

设是由方程唯一确定的隐函数，则

    ，   

或者视，由方程两边同时对求导解出.

2）方程组的情况

由方程组两边同时对求导解出即可.

二、全微分的求法

方法1：利用公式

方法2：直接两边同时求微分，解出即可.其中要注意应用微分形式的不变性：

              

三、空间曲线的切线及空间曲面的法平面的求法

1）设空间曲线Г的参数方程为  ，则当时，在曲线上对应点处的切线方向向量为，切线方程为

                 

法平面方程为         

2）若曲面的方程为，则在点处的法向量 ，切平面方程为

    

法线方程为     

若曲面的方程为，则在点处的法向量，切平面方程为

    

法线方程为       

四、多元函数极值（最值）的求法

1 无条件极值的求法

设函数在点的某邻域内具有二阶连续偏导数，由，，解出驻点，记，，.

1）若，则在点处取得极值，且当时有极大值，当时有极小值.

2） 若，则在点处无极值.

3） 若，不能判定在点处是否取得极值.

2 条件极值的求法

函数在满足条件下极值的方法如下：

1）化为无条件极值：若能从条件解出代入中，则使函数成为一元函数无条件的极值问题.

2）拉格朗日乘数法

作辅助函数，其中为参数，解方程组

求出驻点坐标，则驻点可能是条件极值点.

3 最大值与最小值的求法

若多元函数在闭区域上连续，求出函数在区域内部的驻点，计算出在这些点处的函数值，并与区域的边界上的最大（最小）值比较，最大（最小）者，就是最大（最小）值.

主要:

     1、偏导数的求法与全微分的求法；

2、空间曲线的切线及空间曲面的法平面的求法

3、最大值与最小值的求法

三、多元函数积分学复习要点

七种积分的概念、计算方法及应用如下表所示：

*定积分的几何应用

定积分应用的常用公式：

(1)面积             （型区域的面积）

            （型区域的面积）

(2)体积

                    （横截面面积已知的立体体积）

        （所围图形绕轴旋转所得的立体体积）

     （所围图形绕轴旋转的立体体积）

   （所围图形绕轴旋转的立体体积）

(3)弧长      

    计算时注意：（1）正确选择恰当的公式；（2）正确的给出积分上下限；（3）注意对称性使问题简化；（4）注意选择恰当的积分变量以使问题简化．

计算多元函数的积分时要注意利用对称性简化积分的计算：

1）、对二、三重及第一类的线面积分，若积分区域关于变量对称，则当被积函数关于为奇函数时，该积分为0，当被积函数关于变量为偶函数时，则该积分为相应一半区域积分的二倍.

2）、对第二类的线面积分，关于积分变量的对称性理论与上相同，关于非积分变量

的对称性理论与上相反.

     3）、若积分区域的地位平等（即将表示区域的方程互换不变），则将被积函

数中互换积分不变.此称之为轮换对称性.

      主要

1、交换二次积分的积分次序；

2、化三重积分为球面坐标或柱面坐标下的三次积分；

3、公式计算法；

4、Gaus公式计算法；

5、两曲面所围体积与旋转体的体积计算．

6.平面图形面积的计算。

                

所以：

 

第二篇：高数下册公式总结

第八章 向量与解析几何

第十章 重积分

第十一章曲线积分与曲面积分

所有类型的积分：

1定义：四步法——分割、代替、求和、取极限；

2性质：对积分的范围具有可加性，具有线性性；

3对坐标的积分，积分区域对称与被积函数的奇偶性。

第十二章 级数