《导数及其应用》经典题型总结

一、知识网络结构

题型一 求函数的导数及导数的几何意义

考点一导数的概念，物理意义的应用

例1．(1)设函数在处可导，且，求；

(2)已知，求.

考点二导数的几何意义的应用

例2: 已知抛物线y=ax²+bx+c通过点P(1，1)，且在点Q(2，-1)处与直线y=x-3相切，求实数a、b、c的值

例3：已知曲线y=(1)求曲线在（2，4）处的切线方程;(2)求曲线过点（2，4）的切线方程.   

题型二 函数单调性的应用

考点一 利用导函数的信息判断f(x)的大致形状

例1　如果函数y＝f(x)的图象如图，那么导函数y＝f(x)的图象可能是(　　)

 

考点二 求函数的单调区间及逆向应用

例1 求函数的单调区间.（不含参函数求单调区间）

例2 已知函数f(x)＝x²＋alnx(a∈R，a≠0)，求f(x)的单调区间．（含参函数求单调区间）

练习：求函数的单调区间。

例3 若函数f(x)＝x³－ax²＋1在(0,2)内单调递减，求实数a的取值范围．（单调性的逆向应用）

练习1：已知函数，若在上是增函数，求的取值范围。

2.  设a>0,函数在（1，+∞）上是单调递增函数，求实数a的取值范围。

3. 已知函数f(x)＝ax³＋3x²-x+1在R上为减函数，求实数a的取值范围。

总结：已知函数在上的单调性，求参数的取值范围方法：

     1、利用集合间的包含关系

     2、转化为恒成立问题（即）（分离参数）

     3、利用二次方程根的分布（数形结合）

例4 求证，（）（证明不等式）

练习：已知x>1，证明x>ln(1＋x)．

题型三 函数的极值与最值

考点一 利用导数求函数的极值。

例1 求下列函数的极值：(1)f(x)＝x＋；(2)f(x)＝.（不含参函数求极值）

例2 设a>0，求函数f(x)＝x²＋(x>1)的单调区间，并且如果有极值时，求出极值.（含参函数求极值）

例3设函数f(x)＝x³＋bx²＋cx＋d(a>0)，且方程f′(x)－9x＝0的两个根分别为1,4.若f(x)在(－∞，＋∞)内无极值点，求a的取值范围．（函数极值的逆向应用）

例4　已知函数f(x)＝x³－3ax－1，a≠0.   （利用极值解决方程的根的个数问题）

(1)求f(x)的单调区间；

(2)若f(x)在x＝－1处取得极值，直线y＝m与y＝f(x)的图象有三个不同的交点，求m的取值范围．

题型四 函数的最值

例1 求函数的最大值与最小值。（不含参求最值）

例2　已知函数f(x)＝ax³－6ax²＋b，试问是否存在实数a、b，使f(x)在[－1,2]上取得最大值3，最小值－29，若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由．(最值的逆向应用)

例3　已知f(x)＝xlnx，g(x)＝x³＋ax²－x＋2.

(1)求函数f(x)的单调区间．

(2)若对任意x∈(0，＋∞)，2f(x)≤g′(x)＋2恒成立，求实数a的取值范围．（利用极值处理恒成立问题）

练习1 已知f(x)＝x³－x²－2x＋5，当x∈[－1,2]时，f(x)<m恒成立，求实数m的取值范围。

(2)f(x)＝ax³－3x＋1对于x∈[－1,1]恒有f(x)≥0成立，则a＝________.

二、知识点

1、函数从到的平均变化率：.

2、导数定义：在点处的导数记作．

3、函数在点处的导数的几何意义是曲线在点处的切线的斜率．

4、常见函数的导数公式：

①；②；    ③；④；

⑤；⑥；    ⑦；⑧

5、导数运算法则：

 ；

 ；

．

6、在某个区间内，若，则函数在这个区间内单调递增；

若，则函数在这个区间内单调递减．

7、求解函数单调区间的步骤：

（1）确定函数的定义域；     （2）求导数；

（3）解不等式，解集在定义域内的部分为增区间；

（4）解不等式，解集在定义域内的部分为减区间．

8、求函数的极值的方法是：解方程．当时：

如果在附近的左侧，右侧，那么是极大值；

如果在附近的左侧，右侧，那么是极小值．

9、求解函数极值的一般步骤：

（1）确定函数的定义域     （2）求函数的导数f’(x)

（3）求方程f’(x)=0的根

（4）用方程f’(x)=0的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，并列成表格

（5）由f’(x)在方程f’(x)=0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况

10、求函数在上的最大值与最小值的步骤是：

求函数在内的极值；

将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．

 

第二篇：导数题型总结

 导数及其应用题型总结

题型一：切线问题

①求曲线在点（x_o，y_o）处的切线方程

②求过曲线外一点的切线方程

③求已知斜率的切线方程④切线条数问题

例题1：已知函数f（x）=x³+x-16，求：

（1）曲线y=f（x）在点（2，-6）处的切线方程

（2）过原点的直线L是曲线y=f（x）的切线，求它的方程及切点坐标

（3）如果曲线y=f（x）的某一切线与直线y=-(1/4)x+3垂直，求切线方程及切点坐标

例题2：已知函数f（x）=ax³+2bx²+cx在x_o处去的极小值-4.使其导数f'(x) >0的x的取值范围为（1,3），求：（1）f(x)的解析式；（2）若过点 P（-1，m）的曲线y=f(x)有三条切线，求实数m的取值范围。

题型二：复合函数与导数的运算法则的综合问题

例题3：求函数y=xcos（x+x^-1）sin（x+x^-1）的导数

题型三：利用导数研究函数的单调区间

①求函数的单调区间（定义域优先法则）

②求已知单调性的含参函数的参数的取值范围

③证明或判断函数的单调性

例题4：设函数f(x)=x³+bx²+cx，已知g（x）=f(x)-f'(x)是奇函数，求y=g（x）的单调区间

例题5：已知函数f(x) = x³-ax-1，

（1）若f(x) 在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围

（2）是否存在实数a，使f(x)在（-1,1）上单调递减？若存在，求出a的范围；若不存在，说明理由。

例题6：证明函数f(x)=lnx/x2在区间（0,2）上是减函数。

题型四：导数与函数图像问题

例1：若函数y=f(x)的导函数在区间上是增函数，则函数y=f(x)在上的图象可能是    

A ．            B．            C．           D．

题型五：利用导数研究函数的极值和最值

例题7：已知函数f(x)=-x3+ax2+bx在区间（-2,1）上x=-1时取得极小值，x=2/3时取得极大值。求（1）函数y=f(x)在x=-2时的对应点的切线方程（2）函数y=f(x)在[-2,1]上的最大值和最小值。

△判断函数极值点的注意事项：

(1)函数的极值点只出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点

(2)若f(x)在（a，b）上有极值，那么y=f(x)在（a，b）上绝不是单调函数，即在区间（a，b）上的单调函数没有极值

(3)导数不存在的点也有可能是极值点，如y=|x|在x=0处取得极小值

(4)若可能极值点有多个时，以实用表格形式进行作答。

题型六：不等式的恒成立问题

例题8：设函数f(x)=（a/3）x³-（3/2）x²+（a+1）x+1，其中a为实数。

（1）已知函数f(x)在x=1处取得极值，求a的值。（2）已知不等式f'(x)>x²-x-a+1对于任意a>0都成立，求实数x的取值范围。

题型七：导数的实际应用（优化问题）

题型八：定积分的应用

例题9：在区间[0,1]上给定曲线y=x2，试在此区间内确定t的值，使图中阴影部分面积之和最小。