变化率与导数、导数的运算

考纲要求

1.导数概念及其几何意义

(1)通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵．

(2)通过函数图象直观地理解导数的几何意义．

2．导数的运算

(1)能根据导数的定义求函数y＝C，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝    ，y＝     的导数．

(2)能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数〔仅限于形如f(ax＋b)〕的导数．

(3)会使用导数公式表．

1．平均变化率

函数f(x)从x₁到x₂的平均变化率＝.

2．导数的概念

函数y＝f(x)在x＝x₀处的瞬时变化率是

＝ ，我们称它为函数y＝f(x)在x＝x₀处的导数，记作f′(x₀)或y′|x＝x₀即f′(x₀)＝

.

3．导数的几何意义

函数f(x)在x＝x₀处的导数就是切线的斜率k，即k＝

＝f′(x₀)．

4．导函数(导数)

当x变化时，f′(x)便是x的一个函数，我们称它为f(x)的导函数(简称导数)，y＝f(x)的导函数有时也记作y′，即f′(x)＝y′＝ .

5．几种常见函数的导数

(1)c′＝0(c为常数)，(xⁿ)′＝nx^n－1(n∈Z)

(2)(sinx)′＝cosx，(cosx)′＝－sinx

(3)(lnx)′＝，(log_ax)′＝log_ae

(4)(e^x)′＝e^x，(a^x)′＝a^xlna

6．函数的和、差、积、商的导数

(u±v)′＝u′±v′，(uv)′＝u′v＋uv′

′＝，(cu)′＝cu′(c为常数)．

7．复合函数的导数

1．f(x)＝ax³＋3x²＋2，若f′(－1)＝4，则a的值等于(　　)

A.　   B.       C.     D.

解析：f′(x)＝3ax²＋6x，f′(－1)＝3a－6＝4，a＝.

2．设正弦函数y＝sinx在x＝0和x＝附近的平均变化率为k₁，k₂，则k₁，k₂的大小关系为(　　)

A．k₁>k₂  B．k₁<k₂   C．k₁＝k₂  D．不确定

解析：∵y＝sinx，∴y′＝(sinx)′＝cosx，

k₁＝cos0＝1，k₂＝cos＝0，∴k₁>k₂.

3．函数y＝xcosx－sinx的导数为(　　)

A．xsinx                    B．－xsinx     C．xcosx              D．－xcosx

解析：y′＝(xcosx)′－(sinx)′＝x′cosx＋x(cosx)′－cosx＝cosx－xsinx－cosx＝－xsinx.   答案：B

 

5．设f₀(x)＝sinx，f₁(x)＝f₀′(x)，f₂(x)＝f₁′(x)，¡­，f_n＋1(x)＝f_n′(x)，n∈N，则f₂₀₀₈(x)＝__________.

解析：f₁(x)＝cosx，f₂(x)＝－sinx，f₃(x)＝－cosx，f₄(x)＝sinx

∴f_n(x)是以4为周期的周期函数，2008被4整除，∴f₂₀₀₈(x)＝f₀(x)＝sinx

答案：sinx

　热点之一　　利用导数的定义求函数的导数

根据导数的定义求函数y＝f(x)在点x₀处导数的方法：

(1)求函数的增量Δy＝f(x₀＋Δx)－f(x₀)；

(2)求平均变化率＝；

(3)得导数f′(x₀)＝ .简记作：一差、二比、三极限．

[例1]　用定义法求下列函数的导数．

(1)y＝x²；(2)y＝.

[课堂记录]　(1)因为＝

＝＝＝2x＋Δx，

所以y′＝ ＝ (2x＋Δx)＝2x.

(2)Δy＝－＝－，

＝－4·，

∴ ＝ ＝－.

即时训练　　用导数的定义求函数y＝在x＝1处的导数．

解：∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝－1

＝＝

＝，

∴＝－.

∴f′(1)＝ ＝－.

热点之二　　导数的计算

求函数的导数要准确地把函数分割为基本初等函数的和、差、积、商及其复合运算，再利用运算法则求导数，在求导过程中，要仔细分析函数解析式的结构特征，紧扣法则，联系基本初等函数求导公式进行求导；对于不具备直接求导的结构形式要适当变形．

[例2]　求下列函数的导数：

(1)y＝x²sinx；(2)y＝3^xe^x－2^x＋e；

(3)y＝；(4)y＝sin³2x.

[课堂记录]　直接利用导数公式和导数运算法则求导．

(1)y′＝(x²)′sinx＋x²(sinx)′＝2xsinx＋x²cosx；

(2)y′＝(3^xe^x)′－(2^x)′＋(e)′

＝(3^x)′e^x＋3^x(e^x)′－(2^x)′＝3^xln3·e^x＋3^xe^x－2^xln2

＝(ln3＋1)·(3e)^x－2^xln2；

(3)y′＝

＝＝；

(4)y′＝3(sin2x)²·(sin2x)′＝6sin²2xcos2x.

[思维拓展]　理解和掌握求导法则和公式的结构规律是灵活进行求导运算的前提条件．运算过程出现失误，原因是不能正确理解求导法则，特别是商的求导法则．求导过程中符号判断不清，也是导致错误的原因，从本例可以看出：深刻理解和掌握导数的运算法则，再结合给定函数本身的特点，才能准确有效地进行求导运算，才能充分调动思维的积极性，在解决新问题时才能举一反三，触类旁通，得心应手．

即时训练　　求下列函数的导数：

(1)y＝xsinx；(2)y＝；

(3)y＝；(4)y＝e^1－x.

解：(1)y′＝(xsinx)′＝(x′)sinx＋x(sinx)′＝sinx＋xcosx.

(2)y′＝′＝＝

＝.

(3)∵函数y＝可以看作函数y＝和u＝x²＋1的复合函数，

∴y′_x＝y′_u·u′_x＝()′(x²＋1)′

＝··(2x)＝.

(4)∵函数y＝e^1－x可以看作由y＝e^u和u＝1－x复合而成的函数，∴y′_x＝(e^u)′·(u_x)′＝e^u(1－x)′＝－e^1－x.

热点之三　　导数的几何意义

1．函数y＝f(x)在点P(x，y)处的导数f′(x)表示函数y＝f(x)在x＝x处的瞬时变化率，导数f′(x)的几何意义就是函数y＝f(x)在P(x，y)处的切线的斜率，其切线方程为y－y＝f′(x)(x－x0)．

2．利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤：

(1)求出函数y＝f(x)在点x处的导数f′(x)；

(2)根据直线的点斜式方程得切线方程

y－y0＝f′(x (x－x)．

特别警示：求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点．

[例3]　(1)在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：y＝x³－10x＋3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线斜率为2，则点P的坐标为________．

(2)已知曲线y＝x³＋.

①求曲线在点P(2,4)处的切线方程；

②求曲线过点P(2,4)的切线方程；

③求斜率为4的曲线的切线方程．

[思路探究]　求曲线的切线方程方法是通过切点坐标，求出切线的斜率，再通过点斜式得切线方程．

[课堂记录]　(1)由y′＝3x²－10＝2可解得x＝±2，

∵切点P在第二象限内，

∴x＝－2，由此可得点P的坐标为(－2,15)．

(2)①∵P(2,4)在曲线y＝x³＋上，且y′＝x²，

∴在点P(2,4)处的切线的斜率k＝y′|_x＝2＝4.

∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.

②设曲线y＝x³＋与过点P(2,4)的切线相切于点A(x₀，x₀³＋)，则切线的斜率k＝y′|x＝x₀＝x₀².

∴切线方程为y－(x₀³＋)＝x₀²(x－x₀)，

即y＝x₀²·x－x₀³＋.

∵点P(2,4)在切线上，∴4＝2x₀²－x₀³＋，

即x₀³－3x₀²＋4＝0，∴x₀³＋x₀²－4x₀²＋4＝0，

∴x₀²(x₀＋1)－4(x₀＋1)(x₀－1)＝0，

∴(x₀＋1)(x₀－2)²＝0，解得x₀＝－1或x₀＝2，

故所求的切线方程为4x－y－4＝0或x－y＋2＝0.

③设切点为(x₀，y₀)，则切线的斜率k＝x₀²＝4，x₀＝±2.切点为(2,4)或(－2，－)，

∴切线方程为y－4＝4(x－2)或y＋＝4(x＋2)，

即4x－y－4＝0或12x－3y＋20＝0.

[思维拓展]　利用导数研究曲线的切线问题，一定要熟练掌握以下条件：

(1)函数在切点处的导数函数值也就是切线的斜率．即已知切点坐标可求切线斜率，已知斜率可求切点的坐标．

(2)切点既在曲线上，又在切线上．切线有可能和曲线还有其他的公共点．

解析：因为f(x)＝xlnx＋1，

所以f′(x)＝lnx＋x·＝lnx＋1.

因为f′(x₀)＝2，所以lnx₀＋1＝2，

解得x₀＝e，y₀＝e＋1.

由点斜式得，f(x)在点(e，e＋1)处的切线方程为y－(e＋1)＝2(x－e)，即2x－y－e＋1＝0.故填2x－y－e＋1＝0.

答案：2x－y－e＋1＝0

热点之四　　导数的物理意义

[例4]　有一架长度为5米的梯子贴靠在垂直的墙上，假设其下端沿地板3米/秒的速度离开墙脚而滑动，则：

(Ⅰ)当其下端离开墙脚1.4米时，梯子上端下滑的速度是多少？

(Ⅱ)何时梯子的上、下端能以相同的速度移动？

(Ⅲ)何时其上端下滑的速度为4米/秒？

[思路探究]　利用已知条件可以建立一个距离对时间的函数，即一个实际中的位移函数，由导数的物理意义可知所求的速度即是该函数在这一时刻的导数．

[课堂记录]　设在时刻t秒时梯子上端距开始位置的距离为s米，梯子下端离开墙角的距离为x米，

则x＝3t，s＝5－＝5－，

∴s_t′＝.

∴(Ⅰ)当x＝1.4米，即3t＝1.4时，

s_t′＝＝0.875(米/秒)．

(Ⅱ)令s_t′＝3得＝3，解得t＝.

∴在时刻秒时，梯子的上、下端能以相同的速度移动．

(Ⅲ)令s_t′＝4得＝4，解得t＝，故在时刻秒时，梯子上端下滑的速度为4米/秒．

即时训练　　旗杆高10 m，一人以每秒3 m的速度向旗杆前进，当此人距杆脚5 m时，他与杆顶的距离改变率如何(此人的身高不计)?

解：设从杆脚5 m向杆前进，时间为t秒时该人距杆顶的距离为s，则s＝，

所以s′＝，

而所要求的改变率为在5 m处时的情况，即t＝0，

所以s′(0)＝＝－(m/s)．

从近两年的高考试题来看，求导公式和法则，以及导数的几何意义是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中等左右，在考查导数的概念及其运算的基础上，又注重考查解析几何的相关知识，

[例5]　(2010·江西高考)如右图，一个正五角星薄片(其对称轴与水面垂直)匀速地升出水面，记t时刻五角星露出水面部分的图形面积为S(t)(S(0)＝0)，则导函数y＝S′(t)的图象大致为(　　)

[解析]　五角星露出水面的面积的增长速度与其导函数的单调性相关，增长速度越快，导函数单调递增．否则导函数单调递减．

五角星露出水面面积的增长速度先快又慢接着又快最后又慢．

[答案]　A

1．(2010·辽宁高考)已知点P在曲线y＝上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是(　　)

A．[0，)    B．[，)   C．(，]   D．[，π)

解析：y′＝＝≥－1，

即tanα≥－1，所以≤α<π.

2．(2010·全国Ⅱ)若曲线y＝x－在点(a，a－)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a等于(　　)

A．64    B．32   C．16    D．8

对应的练习册除“自助餐”以外的作业

教学反思：

 

第二篇：高考导数问题常见题型总结

高考有关导数问题解题方法总结

一、考试内容

导数的概念，导数的几何意义，几种常见函数的导数；

两个函数的和、差、基本导数公式，利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值。

二、热点题型分析

题型一：利用导数研究函数的极值、最值。

1． 在区间上的最大值是  2               

2．已知函数处有极大值，则常数c＝    6   ；

3．函数有极小值 －1  ,极大值    3  

         

题型二：利用导数几何意义求切线方程

1．曲线在点处的切线方程是              

2．若曲线在P点处的切线平行于直线，则P点的坐标为   （1，0）              

3．若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为                                   

4．求下列直线的方程：

 （1）曲线在P(-1,1)处的切线；   （2）曲线过点P(3,5)的切线；

解：（1）

        所以切线方程为

 （2）显然点P（3，5）不在曲线上，所以可设切点为，则①又函数的导数为，

所以过点的切线的斜率为，又切线过、P(3,5)点，所以有②，由①②联立方程组得，，即切点为（1，1）时，切线斜率为；当切点为（5，25）时，切线斜率为；所以所求的切线有两条，方程分别为

题型三：利用导数研究函数的单调性，极值、最值

1．已知函数的切线方程为y=3x+1 

   （Ⅰ）若函数处有极值，求的表达式；

   （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数在[－3，1]上的最大值；

   （Ⅲ）若函数在区间[－2，1]上单调递增，求实数b的取值范围 

解：（1）由

过的切线方程为：

 

而过

故     

∵  ③

由①②③得  a=2，b=－4，c=5      ∴  

（2）

当

  又在[－3，1]上最大值是13。

（3）y=f(x)在[－2，1]上单调递增，又由①知2a+b=0。 

依题意在[－2，1]上恒有≥0，即

①当；

②当；

③当 

综上所述，参数b的取值范围是

2．已知三次函数在和时取极值，且．

(1) 求函数的表达式；

(2) 求函数的单调区间和极值；

(3) 若函数在区间上的值域为，试求、应满足的条件．

解：(1) ，                                   

由题意得，是的两个根，解得，．   

再由可得．∴．                       

(2) ，

当时，；当时，；

当时，；当时，；

当时，．∴函数在区间上是增函数；

在区间上是减函数；在区间上是增函数．

函数的极大值是，极小值是．                

(3) 函数的图象是由的图象向右平移个单位，向上平移4个单位得到的，

所以，函数在区间上的值域为（）．

而，∴，即．                       

于是，函数在区间上的值域为．

令得或．由的单调性知，，即．

综上所述，、应满足的条件是：，且．        

3．设函数．

（1）若的图象与直线相切，切点横坐标为２，且在处取极值，求实数 的值；

（2）当b=1时，试证明：不论a取何实数，函数总有两个不同的极值点．

解：（1）     

由题意，代入上式，解之得：a=1，b=1．　　

（2）当b=1时，　　　　　　　

因故方程有两个不同实根．　　

不妨设，由可判断的符号如下：

当＞０；当＜０；当＞０

因此是极大值点，是极小值点．，当b=1时，不论a取何实数，函数总有两个不同的极值点。

题型四：利用导数研究函数的图象

1．如右图：是f（x）的导函数， 的图象如右图所示，则f（x）的图象只可能是（ D  ）

（A）           （B）           （C）          （D）

2．函数( A  )

3．方程                                ( B   )

 A、0           B、1              C、2              D、3

题型五：利用单调性、极值、最值情况，求参数取值范围

1．设函数

    （1）求函数的单调区间、极值.

（2）若当时，恒有，试确定a的取值范围.

解：（1）=，令得                                   

列表如下：

                                                              

∴在（a，3a）上单调递增，在（-∞，a）和（3a，+∞）上单调递减

时，，时，                

（2）∵，∴对称轴，

∴在[a+1，a+2]上单调递减                                

∴，

依题，    即

解得，又      ∴a的取值范围是

2．已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－与x＝1时都取得极值（1）求a、b的值与函数f（x）的单调区间

（2）若对xÎ〔－1，2〕，不等式f（x）<c2恒成立，求c的取值范围。

解：（1）f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c，f¢（x）＝3x2＋2ax＋b

由f¢（）＝，f¢（1）＝3＋2a＋b＝0得a＝，b＝－2

f¢（x）＝3x2－x－2＝（3x＋2）（x－1），函数f（x）的单调区间如下表：

所以函数f（x）的递增区间是（－¥，－）与（1，＋¥），递减区间是（－，1）

（2）f（x）＝x3－x2－2x＋c，xÎ〔－1，2〕，当x＝－时，f（x）＝＋c

为极大值，而f（2）＝2＋c，则f（2）＝2＋c为最大值。

要使f（x）<c2（xÎ〔－1，2〕）恒成立，只需c2>f（2）＝2＋c，解得c<－1或c>2

题型六：利用导数研究方程的根

1．已知平面向量=(,－1).  =(,).

（1）若存在不同时为零的实数k和t，使=+(t2－3)，=-k+t，⊥，

试求函数关系式k=f(t) ；

(2) 据(1)的结论，讨论关于t的方程f(t)－k=0的解的情况.

解：(1)∵⊥，∴=0  即[+(t2-3) ]·(-k+t)=0.

整理后得-k+[t-k(t2-3)] + (t2-3)·=0

∵=0，=4，=1，∴上式化为-4k+t(t2-3)=0，即k=t(t2-3)

(2)讨论方程t(t2-3)-k=0的解的情况，可以看作曲线f(t)= t(t2-3)与直线y=k的交点个数. 

于是f′(t)= (t2-1)= (t+1)(t-1).    

令f′(t)=0,解得t1=-1,t2=1.当t变化时，f′(t)、f(t)的变化情况如下表：

当t=－1时，f(t)有极大值，f(t)极大值=.

当t=1时，f(t)有极小值，f(t)极小值=－

函数f(t)=t(t2-3)的图象如图13－2－1所示，

可观察出：

(1)当k＞或k＜－时,方程f(t)－k=0有且只有一解；

(2)当k=或k=－时,方程f(t)－k=0有两解；

(3) 当－＜k＜时,方程f(t)－k=0有三解. 

题型七：导数与不等式的综合　

1．设在上是单调函数.

（1）求实数的取值范围；

（2）设≥1，≥1，且，求证：.

解：（1） 若在上是单调递减函数，则须这样的实数a不存在.故在上不可能是单调递减函数.

若在上是单调递增函数，则≤，

由于.从而0<a≤3.

（2）方法1、可知在上只能为单调增函数.  若1≤，则 若1≤矛盾，故只有成立.

方法2：设，两式相减得≥1,u≥1，

，

2．已知为实数，函数

（1）若函数的图象上有与轴平行的切线，求的取值范围

（2）若，（Ⅰ）求函数的单调区间

（Ⅱ）证明对任意的，不等式恒成立

解：，

  函数的图象有与轴平行的切线，有实数解

   ，，所以的取值范围是

，，，

由或；由

的单调递增区间是；单调减区间为

易知的最大值为，的极小值为，又

在上的最大值，最小值

对任意，恒有

题型八：导数在实际中的应用

1．请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥（如右图所示）。试问当帐篷的顶点O到底面中心的距离为多少时，帐篷的体积最大？

解：设OO1为，则

由题设可得正六棱锥底面边长为：，（单位：）

故底面正六边形的面积为：=，（单位：）

帐篷的体积为：（单位：）

求导得。

令，解得（不合题意，舍去），，

当时，，为增函数；

当时，，为减函数。

∴当时，最大。

答：当OO1为时，帐篷的体积最大，最大体积为。

2．统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量（升）关于行驶速度（千米/小时）的函数解析式可以表示为：

已知甲、乙两地相距100千米。

（I）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？

（II）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？

解：（I）当时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，

    要耗没（升）。

    （II）当速度为千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为升，

    依题意得

   

    令得

    当时，是减函数；

    当时，是增函数。

    当时，取到极小值

    因为在上只有一个极值，所以它是最小值。

    答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升。当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升。

题型九：导数与向量的结合

1．设平面向量若存在不同时为零的两个实数s、t及实数k，使

（1）求函数关系式；

（2）若函数在上是单调函数，求k的取值范围。

解：（1）

（2）

则在上有

由；

由。

因为在t∈上是增函数，所以不存在k，使在上恒成立。故k的取值范围是。