导数各种题型方法总结
请同学们高度重视:
首先,关于二次函数的不等式恒成立的主要解法:
1、分离变量;2变更主元;3根分布;4判别式法
5、二次函数区间最值求法:(1)对称轴(重视单调区间) 与定义域的关系 (2)端点处和顶点是最值所在
其次,分析每种题型的本质,你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充分应用数形结合思想”,创建不等关系求出取值范围。 最后,同学们在看例题时,请注意寻找关键的等价变形和回归的基础
一、基础题型:函数的单调区间、极值、最值;不等式恒成立;
1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决:
第一步:令f'(x)?0得到两个根;
第二步:画两图或列表;
第三步:由图表可知;
其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题,
2、常见处理方法有三种:
第一种:分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论(>0,=0,<0) 第二种:变更主元(即关于某字母的一次函数)-----(已知谁的范围就把谁作为主元); (请同学们参看2010省统测2)
例1:设函数y?f(x)在区间D上的导数为f?(x),f?(x)在区间D上的导数为g(x),若在区间D上,g(x)?0恒成立,则称函数y?f(x)在区间D上为“凸函数”,已知实数m是常数,f(x)?x4
12?mx
63?3x
22
(1)若y?f(x)在区间?0,3?上为“凸函数”,求m的取值范围;
(2)若对满足m?2的任何一个实数m,函数f(x)在区间?a,b?上都为“凸函数”,求b?a的最大值.
解:由函数f(x)?
2x412?mx63?3x22 得f?(x)?x33?mx22?3x ?g(x)?x?mx?3
(1) ?y?f(x)在区间?0,3?上为“凸函数”,
则 ?g(x)?x?mx?3?0 在区间[0,3]上恒成立
解法一:从二次函数的区间最值入手:等价于gmax(x)?0
?g(0)?
???g(3)0???30???m?2 0??9m3??302
解法二:分离变量法:
2∵ 当x?0时, ?g(x)?x?mx?3??3?0恒成立,
2 当0?x?3时, g(x)?x?mx?3?0恒成立
等价于m?x?3
x
3
x2?x?3x的最大值(0?x?3)恒成立, 而h(x)?x?
?m?2 (0?x?3)是增函数,则hmax(x)?h(3)?2
(2)∵当m?2时f(x)在区间?a,b?上都为“凸函数” 则等价于当m?2时g(x)?x2?mx?3?0 恒成立 变更主元法
再等价于F(m)?mx?x2?3?0在m?2恒成立(视为关于m的一次函数最值问题)
20?F(?2)?0???x2?x??3
??????1?x?1 2??F(2)?0?2x?x?3?0
?b?a?2 请同学们参看2010第三次周考:
例2:设函数f(x)??1
3x?2ax32?3ax?b(0?a?1,b?R) 2
(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间和极值; (Ⅱ)若对任意的x?[a?1,a?2],不等式f?(x)?a恒成立,求a的取值范围. (二次函数区间最值的例子) 解:(Ⅰ)f?(x)??x?4ax?3a???x?3a??x?a? 22?0?a?1
令f?(x)?0,得f(x)令f?(x)?0,得f(x)的单调递减区间为(-?,a)和(3a,+?)
∴当x=a时,f(x)极小值=?3
4a?b; 当x=3a时,f(x)极大值=b. 3
22 (Ⅱ)由|f?(x)|≤a,得:对任意的x?[a?1,a?2],?a?x?4ax?3a?a恒成立①
?gmax(x)?a22则等价于g(x)这个二次函数? g(x)?x?4ax?3a的对称轴x?2a ?gmin(x)??a
?0?a?1 , a?1?a?a?2a(放缩法)
即定义域在对称轴的右边,g(x)这个二次函数的最值问题:单调增函数的最值问题。
g(x)?x?4ax?3a在[a?1,a?2]上是增函数.
g(x)max?g(a?2)??2a?1.
g(x)min?g(a?1)??4a?4.22∴
?1,
x?aa?2? 于是,对任意x?[a?1,a?2],不等式①恒成立,等价于
?g(a?2)??4a?4?a,4解得?a?1. ?5?g(a?1)??2a?1??a
又0?a?1,∴4
5?a?1.
点评:重视二次函数区间最值求法:对称轴(重视单调区间)与定义域的关系
第三种:构造函数求最值
题型特征:f(x)?g(x)恒成立?h(x)?f(x)?g(x)?0恒成立;从而转化为第一、二种题型
例3;已知函数f(x)?x3?ax2图象上一点P(1,b)处的切线斜率为?3,
g(x)?x?3t?6
2x?(t?1)x?32(t?0)
(Ⅰ)求a,b的值;
(Ⅱ)当x?[?1,4]时,求f(x)的值域;
(Ⅲ)当x?[1,4]时,不等式f(x)?g(x)恒成立,求实数t的取值范围。
/?f(1)??3?a??3/2解:(Ⅰ)f(x)?3x?2ax∴?, 解得? b??2b?1?a??
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,f(x)在[?1,0]上单调递增,在[0,2]上单调递减,在[2,4]上单调递减
又f(?1)??4,f(0)?0,f(2)??4,f(4)?16
∴f(x)的值域是[?4,16] (Ⅲ)令h(x)?f(x)?g(x)??t
2x?(t?1)x?32x?[1,4]
2思路1:要使f(x)?g(x)恒成立,只需h(x)?0,即t(x?2x)?2x?6分离变量
思路2:二次函数区间最值
二、题型一:已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围
解法1:转化为f'(x)?0或f'(x)?0在给定区间上恒成立, 回归基础题型
解法2:利用子区间(即子集思想);首先求出函数的单调增或减区间,然后让所给区间是求的增或减区间的子集;
做题时一定要看清楚“在(m,n)上是减函数”与“函数的单调减区间是(a,b)”,要弄清楚两句话的区别:前者是后者的子集
例4:已知a?R,函数f(x)?1
12x?3a?1
2x?(4a?1)x. 2
(Ⅰ)如果函数g(x)?f?(x)是偶函数,求f(x)的极大值和极小值; (Ⅱ)如果函数f(x)是(??,
解:f?(x)?
??)上的单调函数,求a的取值范围.
14
x?(a?1)x?(4a?1).
112
3
x?3x,f?(x)?
2
(Ⅰ)∵ f?(x)是偶函数,∴ a??1. 此时f(x)? 令f?(x)?0,解得:x??2 列表如下:
14
x?3,
2
3.
可知:f(x)的极大值为f(?23)?43, f(x)的极小值为f(23)??43. (Ⅱ)∵函数f(x)是(??,
∴f?(x)?
??)上的单调函数,
14
x?(a?1)x?(4a?1?),在给定区间0
2
2
R上恒成立判别式法
则??(a?1)?4?
14
?(4a?1)?a?2a?0, 解得:0?a?2.
2
综上,a的取值范围是{a0?a?2}.
例5、已知函数f(x)?
13x?
3
12
(2?a)x?(1?a)x(a?0).
2
(I)求f(x)的单调区间;
(II)若f(x)在[0,1]上单调递增,求a的取值范围。子集思想
2
(I)f?(x)?x?(2?a)x?1?a?(x?1)(
x?1?a).
2
1、当a?0时,f?(x)?(x?1)?0恒成立,
当且仅当x??1时取“=”号,f(x)在(??,??)单调递增。 2、当a?0时,由f?(x)?0,得x1??1,x2?a?1,且x1?x2,
单调增区间:(??,?1)a ,(?1?,? 单调增区间:(?1a,?1 )
(II)当?f(x)在[0,1]上单调递增, 则?0,1?是上述增区间的子集:
1、a?0时,f(x)在(??,??)单调递增 符合题意 2、?0,1???a?1,???,?a?1?0 ?a?1 综上,a的取值范围是[0,1]。
三、题型二:根的个数问题
题1函数f(x)与g(x)(或与x轴)的交点======即方程根的个数问题 解题步骤
第一步:画出两个图像即“穿线图”(即解导数不等式)和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后减再增”还是“先减后增再减”; 第二步:由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式(组);主要看极大值和极小值与
0的关
系;
第三步:解不等式(组)即可; 例6、已知函数f(x)?
13x
3
?
(k?1)2
x,g(x)?
2
13
?kx,且f(x)在区间(2,??)上为增函数.
(1) 求实数k的取值范围;
(2) 若函数f(x)与g(x)的图象有三个不同的交点,求实数k的取值范围. 解:(1)由题意f?(x)?x2?(k?1)x ∵f(x)在区间(2,??)上为增函数,
∴f?(x)?x2?(k?1)x?0在区间(2,??)上恒成立(分离变量法)
即k?1?x恒成立,又x?2,∴k?1?2,故k?1∴k的取值范围为k?1 (2)设h(x)?f(x)?g(x)?
h?(x)?x
2
x
3
3
?
(k?1)2
x
2
?kx?
13
,
?(k?1)x?k?(x?k)(x?1)
令h?(x)?0得x?k或x?1由(1)知k?1,
2
①当k?1时,h?(x)?(x?1)?0,h(x)在R上递增,显然不合题意? ②当k?1时,h(x),h?(x)随x的变化情况如下表:
由于故需?
k
3
k?12
?0,欲使f(x)与g(x)的图象有三个不同的交点,即方程h(x)?0有三个不同的实根,
2
6
?
k
2
?
13
?0,即(k?1)(k
2
?k?1
?2k?2)?0 ∴?2,解得k?1?
?k?2k?2?0
3
综上,所求k的取值范围为k?1?3
根的个数知道,部分根可求或已知。 例7、已知函数f(x)?ax?
3
12
x?2x?c
2
(1)若x??1是f(x)的极值点且f(x)的图像过原点,求f(x)的极值;
(2)若g(x)?
1
2
图像恒有含x??1的三个不同交点?若存在,求出实数b的取值范围;否则说明理由。
bx?x?d,在(1)的条件下,是否存在实数b,使得函数g(x)的图像与函数f(x)的
2
解:(1)∵f(x)的图像过原点,则f(0)?0?c?0 f?(x)?3ax2?x?2,
又∵x??1是f(x)的极值点,则f?(?1)?3a?1?2?0?a??1
2
?f?(x)?3x?x?2?(3x?2)(x?1)?0
f极大值(x)?f(?1)?
32
f极小值(x)?f?)?
3
2227
(2)设函数g(x)的图像与函数f(x)的图像恒存在含x??1的三个不同交点,
等价于f(x)?g(x)有含x??1的三个根,即:f(?1)?g(?1)?d??
?x?
33
12
(b?1)
12
x?2x?12
2
12
2
bx?x?
12
2
12
(b?1)整理得:
即:x?(b?1)x?x?
(b?1)?0恒有含x??1的三个不等实根
12
(b?1)x?x?
2
(计算难点来了:)h(x)?x3?
12
(b?1)?0有含x??1的根,
则h(x)必可分解为(x?1)(二次式)?0,故用添项配凑法因式分解,
x?x?x?
3
2
2
12
(b?1)x?x?
2
12
(b?1)?0
1?1?22
x(x?1)??(b?1)x?x?(b?1)??0
2?2?x(x?1)?
1
2
1
?(b?1)x2?2x?(b?1)??0 ?2?
1 ?
)?b(???1)x?? 十字相乘法分解:x2(x?1)??(b?1x
2
1?21?
(x?1)?x?(b?1)x?(b?1)??0
22??
?x?
3
12
(b?1)x?x?
2
2
1212
(b?1)?0恒有含x??1的三个不等实根 (b?1)?0有两个不等于-1的不等实根。
等价于x?
12
(b?1)x?
11?2
??(b?1)?4?(b?1)?0??42???b?(??,?1)?(?1,3)?(3,??
) ?(?1)2?1(b?1)?1(b?1)?0??22
题2:切线的条数问题====以切点x0为未知数的方程的根的个数
例7、已知函数f(x)?ax3?bx2?cx在点x0处取得极小值-4,使其导数f'(x)?0的x的取值范围为(1,3),求:(1)f(x)的解析式;(2)若过点P(?1,m)可作曲线y?f(x)的三条切线,求实数m的取值范围.
(1)由题意得:f'(x)?3ax2?2bx?c?3a(x?1)(x?3),(a?0)
∴在(??,1)上f'(x)?0;在(1,3)上f'(x)?0;在(3,??)上f'(x)?0 因此f(x)在x0?1处取得极小值?4
∴a?b?c??4①,f'(1)?3a?2b?c?0②,f'(3)?27a?6b?c?0③
?a??1
?由①②③联立得:?b?6,∴f(x)??x3?6x2?9x
?c??9?
(2)设切点Q(t,f(t)),y?f(t)?f,(t)(x?t)
y?(?3t?12t?9)(x?t)?(?t?6t?9t)
?(?3t?12t?9)x?t(3t?12t?9)?t(t?6t?9) ?(?3t?12t?9)x?t(2t?6t)过(?1,m)
m?(?3t?12t?9)(?1)?2t?6t
g(t)?2t?2t?12t?9?m?0 3223222222232
令g'(t)?6t2?6t?12?6(t2?t?2)?0,
求得:t??1,t?2,方程g(t)?0有三个根。
需:??g(?1)?0??2?3?12?9?m?0?m?16????
?g(2)?0?16?12?24?9?m?0?m??11故:?11?m?16;因此所求实数m的范围为:(?11,16) 题3:已知f(x)在给定区间上的极值点个数则有导函数=0的根的个数 解法:根分布或判别式法
例8、
1372解:函数的定义域为R(Ⅰ)当m=4时,f (x)= x-x+10x, 32
2f?(x)=x-7x+10,令f?(x)?0 , 解得x?5,或x?2.
令f?(x)?0 , 解得2?x?5
可知函数f(x)的单调递增区间为(??,2)和(5,+∞),单调递减区间为?2,5?. (Ⅱ)f?(x)=x2-(m+3)x+m+6,
要使函数y=f (x)在(1,+∞)有两个极值点,?f?(x)=x-(m+3)x+m+6=0的根在(1,+∞)
2
根分布问题:
?
???(m?3)2?4(m?6)?0;?
则?f?(1)?1?(m?3)?m?6?0;, 解得m>3 ?m?3??1.?2
例9、已知函数f(x)?
a3x?
3
12
(2)令g(x)=x,(a?R,a?0)(1)求f(x)的单调区间;
2
14
x+f
4
(x)(x∈R)有且仅有3个极值点,求a的取值范围. 解:(1)f'(x)?ax2?x?x(ax?1)
当a?0时,令f'(x)?0解得x??所以f(x)的递增区间为(??,?
1a
1a
或x?0,令f(x)?0解得?
1a,0).
1a,??).
'
1a
?x?0,
)?(0,??),递减区间为(?
1a
?当a?0时,同理可得f(x)的递增区间为(0,),递减区间为(??,0)?(?
(2)g(x)?
14
x?
4
a3
x?
3
12
x有且仅有3个极值点
2
3222
?g?(x)?x?ax?x?x(x?ax?1)=0有3个根,则x?0或x?ax?1?0,a??2
方程x?ax?1?0有两个非零实根,所以??a?4?0,
?a??2或a?2
22
而当a??2或a?2时可证函数y?g(x)有且仅有3个极值点
其它例题:
1、(最值问题与主元变更法的例子).已知定义在R上的函数f(x)?ax3?2ax2?b(a?0)在区间??2,1?上的最大值是5,最小值是-11.
(Ⅰ)求函数f(x)的解析式;
(Ⅱ)若t?[?1,1]时,f?(x)?tx?0恒成立,求实数x的取值范围
.
解:(Ⅰ)?f(x)?ax3?2ax2?b,?f'(x)?3ax2?4ax?ax(3x?4)
令f'(x)=0,得x1?0,x2?43???2,1?
因此f(0)必为最大值,∴f(0)?5因此b?5, ?f(?2)??16a?5,f(1)??a?5,?f(1)?f(?2), 即f(?2)??16a?5??11,∴a?1,∴ f(x)?x3?2x2?5.
2(Ⅱ)∵f?(x)?3x2?4x,∴f?(x)?tx?0等价于3x?4x?tx?0,
令g(t)?xt?3x2?4x,则问题就是g(t)?0在t?[?1,1]上恒成立时,求实数x的取值范围,
?3x2?5x?0?g(?1)?0为此只需?,即?2, g(1)?0??x?x?0
解得0?x?1,所以所求实数x的取值范围是[0,1].
2、(根分布与线性规划例子)
(1)已知函数f(x)?2
3x?ax?bx?c 32
(Ⅰ) 若函数f(x)在x?1时有极值且在函数图象上的点(0,1)处的切线与直线3x?y?0平行, 求f(x)的解析式;
(Ⅱ) 当f(x)在x?(0,1)取得极大值且在x?(1,2)取得极小值时, 设点M(b?2,a?1)所在平面区域为S, 经过原点的直线L将S分为面积比为1:3的两部分, 求直线L的方程.
2解: (Ⅰ). 由f?(x)?2x?2ax?b, 函数f(x)在x?1时有极值 ,
∴ 2a?b?2?0
∵ f(0)?1 ∴ c?1
又∵ f(x)在(0,1)处的切线与直线3x?y?0平行,
∴ f?(0)?b??3 故 a?
∴ f(x)?2
3x?312 1
2x?3x?1 ……………………. 7分 2
2 (Ⅱ) 解法一: 由f?(x)?2x?2ax?b 及f(x)在x?(0,1)取得极大值且在x?(1,2)取得极小值,
??∴ ?
??
f?(0)?0
?b?0?
f?(1)?0 即 ?2a?b?2?0 令M(x,
?4a?b?8?0f?(2)?0?
?x?b?2
y), 则 ?
y?a?1?
?x?2?0
?a?y?1?∴ ? ∴ ?2y?x?2?0 故点M所在平面区域S为如图△ABC,
?b?x?2?4y?x?6?0
?
易得A(?2,0), B(?2,?1), C(2,?2), D(0,?1), E(0,?
32
), S?ABC?2
同时DE为△ABC的中位线, S?DEC?∴ 所求一条直线L的方程为:
x?0
13
S四边形ABED
另一种情况设不垂直于x轴的直线L也将S分为面积比为1:3的两部分, 设直线L方程为y?kx,它与AC,BC分别交于F、G, 则 k?0, S四边形DEGF?1
由 ?
?y?kx?2y?x?2?0
得点F的横坐标为: xF??
22k?1
?y?kx6
由 ? 得点G的横坐标为: xG??
4y?x?6?04k?1?
∴S四边形DEGF?S?OGE?S?OFD ?解得: k?
12
12
?
32
?
64k?1
?
12
?1?
22k?1
12
?1即 16k2?2k?5?0
或 k??
58
(舍去) 故这时直线方程为: y?
12
x
综上,所求直线方程为: x?0或y?x .…………….………….12分
2
(Ⅱ) 解法二: 由f?(x)?2x?2ax?b 及f(x)在x?(0,1)取得极大值且在x?(1,
2)取得极小值,
??∴ ?
??
f?(0)?0
?b?0?
f?(1)?0 即 ?2a?b?2?0 令M(x,
?4a?b?8?0f?(2)?0?
?x?b?2
y), 则 ?
y?a?1?
?x?2?0
?a?y?1?∴ ? ∴ ?2y?x?2?0 故点M所在平面区域S为如图△ABC,
?b?x?2?4y?x?6?0
?
易得A(?2,0), B(?2,?1), C(2,?2), D(0,?1), E(0,?
32
), S?ABC?2
同时DE为△ABC的中位线, S?DEC?
13
S四边形ABED ∴所求一条直线L的方程为: x?0
另一种情况由于直线BO方程为: y?
12
x, 设直线BO与AC交于H ,
1?y?x?由 ? 得直线L与AC交点为: H(?1,2
?2y?x?2?0?
12
12
12
?
12
)
∵ S?ABC?2, S?DEC?
??2?
12
, S?ABH?S?ABO?S?AOH?
12
?2?1?
12
?2?
12
?
12
∴ 所求直线方程为: x?0 或y?x
3、(根的个数问题)已知函数f(x)?ax3?bx2?(c?3a?2b)x?d (a?0)的图象如图所示。
(Ⅰ)求c、d的值;
(Ⅱ)若函数f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线方程为3x?y?11?0,求函数f ( x )的解析式;
(Ⅲ)若x0?5,方程f(x)?8a有三个不同的根,求实数a的取值范围。 解:由题知:f?(x)?3ax2?2bx+c-3a-2b
(Ⅰ)由图可知 函数f ( x )的图像过点( 0 , 3 ),且f??1?= 0
?d?3?d?3
??得?
c?03a?2b?c?3a?2b?0??
(Ⅱ)依题意
f??2?= – 3 且f ( 2 ) = 5
?12a?4b?3a?2b??3
解得a = 1 , b = – 6 ?
8a?4b?6a?4b?3?5?
3
2
所以f ( x ) = x – 6x + 9x + 3
(Ⅲ)依题意 f ( x ) = ax3 + bx2 – ( 3a + 2b )x + 3 ( a>0 )
2
f??x?= 3ax + 2bx – 3a – 2b
由f??5?= 0?b = – 9a
①
若方程f ( x ) = 8a有三个不同的根,当且仅当 满足f ( 5 )<8a<f ( 1 ) ② 由① ② 得 – 25a + 3<8a<7a + 3?所以 当
111
111
<a<3
<a<3时,方程f ( x ) = 8a有三个不同的根。???? 12分
13
x?ax?x?1(a?R)
3
2
4、(根的个数问题)已知函数f(x)?
(1)若函数f(x)在x?x1,x?x2处取得极值,且x1?x2?2,求a的值及f(x)的单调区间; (2)若a?
12
,讨论曲线f(x)与g(x)?
12
x?(2a?1)x?
2
56
(?2?x?1)的交点个数.
解:(1)f'(x)?x2?2ax?1
?x1?x2?2a,x1?x2??
1
?x1?x2???2 ?a?0???????????????????????????2分
22f?(x)?x?2ax?1?x?1
令f?(x)?0得x??1,或x?1
令f?(x)?0得?1?x?1
∴f(x)的单调递增区间为(??,?1),(1,??),单调递减区间为(?1,1)????5分
(2)由题f(x)?g(x)得
即1
3x?(a?
1
33313x?ax?x?1?16?0 163212x?(2a?1)x?256 12)x?2ax?1222令?(x)?x?(a?
2)x?2ax?(?2?x?1)????????6分 ???(x)?x?(2a?1)x?2a?(x?2a)(x?1)
令??(x)?0得x?2a或x?1?????????????????7分 ?a?1
2
2a??2a??1
此时,?8a?9
2?0,a?0,有一个交点;??????????9分
1
当2a??2即?1?a?
时,
?2
3a(3?2a)?
9
2
9
2216?0, 916916∴当?8a?当?8a??0即?1?a??时,有一个交点; ?a?0时,有两个交点; ?0,且a?0即?
1
2
9
16 当0?a?综上可知,当a?? 当?9
16时,?8a?或0?a?922?0,有一个交点.?????????13分 1时,有一个交点; ?a?0时,有两个交点.?????????????14分
5、(简单切线问题)已知函数f(x)?
g(x)?f(x)?3bx
2xa32图象上斜率为3的两条切线间的距离为25,函数a
(Ⅰ) 若函数g(x)在x?1处有极值,求g(x)的解析式; ?3. (Ⅱ) 若函数g(x)在区间[?1,1]上为增函数,且b2?mb?4?g(x)在区间[?1,1]上都成立,求实数m的取值范围.
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