导数及其应用题型总结

题型一：切线问题

①求曲线在点（x_o，y_o）处的切线方程

②求过曲线外一点的切线方程

③求已知斜率的切线方程④切线条数问题

例题1：已知函数f（x）=x³+x-16，求：

（1）曲线y=f（x）在点（2，-6）处的切线方程

（2）过原点的直线L是曲线y=f（x）的切线，求它的方程及切点坐标

（3）如果曲线y=f（x）的某一切线与直线y=-(1/4)x+3垂直，求切线方程及切点坐标

例题2：已知函数f（x）=ax³+2bx²+cx在x_o处去的极小值-4.使其导数f'(x) >0的x的取值范围为（1,3），求：（1）f(x)的解析式；（2）若过点 P（-1，m）的曲线y=f(x)有三条切线，求实数m的取值范围。

题型二：复合函数与导数的运算法则的综合问题

例题3：求函数y=xcos（x+x^-1）sin（x+x^-1）的导数

题型三：利用导数研究函数的单调区间

①求函数的单调区间（定义域优先法则）

②求已知单调性的含参函数的参数的取值范围

③证明或判断函数的单调性

例题4：设函数f(x)=x³+bx²+cx，已知g（x）=f(x)-f'(x)是奇函数，求y=g（x）的单调区间

例题5：已知函数f(x) = x³-ax-1，

（1）若f(x) 在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围

（2）是否存在实数a，使f(x)在（-1,1）上单调递减？若存在，求出a的范围；若不存在，说明理由。

例题6：证明函数f(x)=lnx/x2在区间（0,2）上是减函数。

题型四：导数与函数图像问题

例1：若函数y=f(x)的导函数在区间上是增函数，则函数y=f(x)在上的图象可能是    

A ．            B．            C．           D．

题型五：利用导数研究函数的极值和最值

例题7：已知函数f(x)=-x3+ax2+bx在区间（-2,1）上x=-1时取得极小值，x=2/3时取得极大值。求（1）函数y=f(x)在x=-2时的对应点的切线方程（2）函数y=f(x)在[-2,1]上的最大值和最小值。

△判断函数极值点的注意事项：

(1)函数的极值点只出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点

(2)若f(x)在（a，b）上有极值，那么y=f(x)在（a，b）上绝不是单调函数，即在区间（a，b）上的单调函数没有极值

(3)导数不存在的点也有可能是极值点，如y=|x|在x=0处取得极小值

(4)若可能极值点有多个时，以实用表格形式进行作答。

题型六：不等式的恒成立问题

例题8：设函数f(x)=（a/3）x³-（3/2）x²+（a+1）x+1，其中a为实数。

（1）已知函数f(x)在x=1处取得极值，求a的值。（2）已知不等式f'(x)>x²-x-a+1对于任意a>0都成立，求实数x的取值范围。

题型七：导数的实际应用（优化问题）

题型八：定积分的应用

例题9：在区间[0,1]上给定曲线y=x2，试在此区间内确定t的值，使图中阴影部分面积之和最小。

 

第二篇：导数各类题型方法总结

导数各种题型方法总结

请同学们高度重视：

首先，关于二次函数的不等式恒成立的主要解法：

1、分离变量；2变更主元；3根分布；4判别式法

5、二次函数区间最值求法：（1）对称轴（重视单调区间） 与定义域的关系 （2）端点处和顶点是最值所在

其次，分析每种题型的本质，你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充分应用数形结合思想”，创建不等关系求出取值范围。 最后，同学们在看例题时，请注意寻找关键的等价变形和回归的基础

一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立；

1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决：

第一步：令f'(x)?0得到两个根；

第二步：画两图或列表；

第三步：由图表可知；

其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题，

2、常见处理方法有三种：

第一种：分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（>0,=0,<0） 第二种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----（已知谁的范围就把谁作为主元）； （请同学们参看2010省统测2）

例1：设函数y?f(x)在区间D上的导数为f?(x)，f?(x)在区间D上的导数为g(x)，若在区间D上，g(x)?0恒成立，则称函数y?f(x)在区间D上为“凸函数”，已知实数m是常数，f(x)?x4

12?mx

63?3x

22

（1）若y?f(x)在区间?0,3?上为“凸函数”，求m的取值范围；

（2）若对满足m?2的任何一个实数m，函数f(x)在区间?a,b?上都为“凸函数”，求b?a的最大值.

解:由函数f(x)?

2x412?mx63?3x22 得f?(x)?x33?mx22?3x ?g(x)?x?mx?3

（1） ?y?f(x)在区间?0,3?上为“凸函数”，

则 ?g(x)?x?mx?3?0 在区间[0,3]上恒成立

解法一：从二次函数的区间最值入手：等价于gmax(x)?0

?g(0)?

???g(3)0???30???m?2 0??9m3??302

解法二：分离变量法：

2∵ 当x?0时, ?g(x)?x?mx?3??3?0恒成立,

2 当0?x?3时, g(x)?x?mx?3?0恒成立

等价于m?x?3

x

3

x2?x?3x的最大值（0?x?3）恒成立， 而h(x)?x?

?m?2 （0?x?3）是增函数，则hmax(x)?h(3)?2

(2)∵当m?2时f(x)在区间?a,b?上都为“凸函数” 则等价于当m?2时g(x)?x2?mx?3?0 恒成立 变更主元法

再等价于F(m)?mx?x2?3?0在m?2恒成立（视为关于m的一次函数最值问题）

20?F(?2)?0???x2?x??3

??????1?x?1 2??F(2)?0?2x?x?3?0

?b?a?2 请同学们参看2010第三次周考：

例2：设函数f(x)??1

3x?2ax32?3ax?b(0?a?1,b?R) 2

（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间和极值； （Ⅱ）若对任意的x?[a?1,a?2],不等式f?(x)?a恒成立，求a的取值范围. （二次函数区间最值的例子） 解：（Ⅰ）f?(x)??x?4ax?3a???x?3a??x?a? 22?0?a?1

令f?(x)?0,得f(x)令f?(x)?0,得f(x)的单调递减区间为（－?，a）和（3a，+?）

∴当x=a时，f(x)极小值=?3

4a?b; 当x=3a时，f(x)极大值=b. 3

22 （Ⅱ）由|f?(x)|≤a，得：对任意的x?[a?1,a?2],?a?x?4ax?3a?a恒成立①

?gmax(x)?a22则等价于g(x)这个二次函数? g(x)?x?4ax?3a的对称轴x?2a ?gmin(x)??a

?0?a?1 , a?1?a?a?2a（放缩法）

即定义域在对称轴的右边，g(x)这个二次函数的最值问题：单调增函数的最值问题。

g(x)?x?4ax?3a在[a?1,a?2]上是增函数.

g(x)max?g(a?2)??2a?1.

g(x)min?g(a?1)??4a?4.22∴

?1,

x?aa?2? 于是，对任意x?[a?1,a?2]，不等式①恒成立，等价于

?g(a?2)??4a?4?a,4解得?a?1. ?5?g(a?1)??2a?1??a

又0?a?1,∴4

5?a?1.

点评：重视二次函数区间最值求法：对称轴（重视单调区间）与定义域的关系

第三种：构造函数求最值

题型特征：f(x)?g(x)恒成立?h(x)?f(x)?g(x)?0恒成立；从而转化为第一、二种题型

例3；已知函数f(x)?x3?ax2图象上一点P(1,b)处的切线斜率为?3，

g(x)?x?3t?6

2x?(t?1)x?32(t?0)

（Ⅰ）求a,b的值；

（Ⅱ）当x?[?1,4]时，求f(x)的值域；

（Ⅲ）当x?[1,4]时，不等式f(x)?g(x)恒成立，求实数t的取值范围。

/?f(1)??3?a??3/2解：（Ⅰ）f(x)?3x?2ax∴?， 解得? b??2b?1?a??

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f(x)在[?1,0]上单调递增，在[0,2]上单调递减，在[2,4]上单调递减

又f(?1)??4,f(0)?0,f(2)??4,f(4)?16

∴f(x)的值域是[?4,16] （Ⅲ）令h(x)?f(x)?g(x)??t

2x?(t?1)x?32x?[1,4]

2思路1：要使f(x)?g(x)恒成立，只需h(x)?0，即t(x?2x)?2x?6分离变量

思路2：二次函数区间最值

二、题型一：已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围

解法1：转化为f'(x)?0或f'(x)?0在给定区间上恒成立， 回归基础题型

解法2：利用子区间（即子集思想）；首先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求的增或减区间的子集；

做题时一定要看清楚“在（m,n）上是减函数”与“函数的单调减区间是（a,b）”，要弄清楚两句话的区别：前者是后者的子集

例4：已知a?R，函数f(x)?1

12x?3a?1

2x?(4a?1)x． 2

（Ⅰ）如果函数g(x)?f?(x)是偶函数，求f(x)的极大值和极小值； （Ⅱ）如果函数f(x)是(??,

解：f?(x)?

??)上的单调函数，求a的取值范围．

14

x?(a?1)x?(4a?1).

112

3

x?3x，f?(x)?

2

（Ⅰ）∵ f?(x)是偶函数，∴ a??1. 此时f(x)? 令f?(x)?0，解得：x??2 列表如下：

14

x?3，

2

3.

可知：f(x)的极大值为f(?23)?43， f(x)的极小值为f(23)??43. （Ⅱ）∵函数f(x)是(??,

∴f?(x)?

??)上的单调函数，

14

x?(a?1)x?(4a?1?)，在给定区间0

2

2

R上恒成立判别式法

则??(a?1)?4?

14

?(4a?1)?a?2a?0， 解得：0?a?2.

2

综上，a的取值范围是{a0?a?2}.

例5、已知函数f(x)?

13x?

3

12

(2?a)x?(1?a)x(a?0).

2

（I）求f(x)的单调区间；

（II）若f(x)在[0，1]上单调递增，求a的取值范围。子集思想

2

（I）f?(x)?x?(2?a)x?1?a?(x?1)(

x?1?a).

2

1、当a?0时,f?(x)?(x?1)?0恒成立,

当且仅当x??1时取“=”号，f(x)在(??,??)单调递增。 2、当a?0时,由f?(x)?0,得x1??1,x2?a?1,且x1?x2,

单调增区间：(??,?1)a ,(?1?,? 单调增区间：(?1a,?1 )

（II）当?f(x)在[0,1]上单调递增, 则?0,1?是上述增区间的子集：

1、a?0时，f(x)在(??,??)单调递增 符合题意 2、?0,1???a?1,???，?a?1?0 ?a?1 综上，a的取值范围是[0，1]。

三、题型二：根的个数问题

题1函数f(x)与g(x)（或与x轴）的交点======即方程根的个数问题 解题步骤

第一步：画出两个图像即“穿线图”（即解导数不等式）和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后减再增”还是“先减后增再减”； 第二步：由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式（组）；主要看极大值和极小值与

0的关

系；

第三步：解不等式（组）即可； 例6、已知函数f(x)?

13x

3

?

(k?1)2

x，g(x)?

2

13

?kx，且f(x)在区间(2,??)上为增函数．

（1） 求实数k的取值范围；

（2） 若函数f(x)与g(x)的图象有三个不同的交点，求实数k的取值范围． 解：（1）由题意f?(x)?x2?(k?1)x ∵f(x)在区间(2,??)上为增函数，

∴f?(x)?x2?(k?1)x?0在区间(2,??)上恒成立（分离变量法）

即k?1?x恒成立，又x?2，∴k?1?2，故k?1∴k的取值范围为k?1 （2）设h(x)?f(x)?g(x)?

h?(x)?x

2

x

3

3

?

(k?1)2

x

2

?kx?

13

，

?(k?1)x?k?(x?k)(x?1)

令h?(x)?0得x?k或x?1由（1）知k?1，

2

①当k?1时，h?(x)?(x?1)?0，h(x)在R上递增，显然不合题意? ②当k?1时，h(x)，h?(x)随x的变化情况如下表：

由于故需?

k

3

k?12

?0，欲使f(x)与g(x)的图象有三个不同的交点，即方程h(x)?0有三个不同的实根，

2

6

?

k

2

?

13

?0，即(k?1)(k

2

?k?1

?2k?2)?0 ∴?2，解得k?1?

?k?2k?2?0

3

综上，所求k的取值范围为k?1?3

根的个数知道，部分根可求或已知。 例7、已知函数f(x)?ax?

3

12

x?2x?c

2

（1）若x??1是f(x)的极值点且f(x)的图像过原点，求f(x)的极值；

（2）若g(x)?

1

2

图像恒有含x??1的三个不同交点？若存在，求出实数b的取值范围；否则说明理由。

bx?x?d，在（1）的条件下，是否存在实数b，使得函数g(x)的图像与函数f(x)的

2

解：（1）∵f(x)的图像过原点，则f(0)?0?c?0 f?(x)?3ax2?x?2，

又∵x??1是f(x)的极值点，则f?(?1)?3a?1?2?0?a??1

2

?f?(x)?3x?x?2?(3x?2)(x?1)?0

f极大值(x)?f(?1)?

32

f极小值(x)?f?)?

3

2227

（2）设函数g(x)的图像与函数f(x)的图像恒存在含x??1的三个不同交点，

等价于f(x)?g(x)有含x??1的三个根，即：f(?1)?g(?1)?d??

?x?

33

12

(b?1)

12

x?2x?12

2

12

2

bx?x?

12

2

12

(b?1)整理得：

即：x?(b?1)x?x?

(b?1)?0恒有含x??1的三个不等实根

12

(b?1)x?x?

2

（计算难点来了：）h(x)?x3?

12

(b?1)?0有含x??1的根，

则h(x)必可分解为(x?1)(二次式)?0，故用添项配凑法因式分解，

x?x?x?

3

2

2

12

(b?1)x?x?

2

12

(b?1)?0

1?1?22

x(x?1)??(b?1)x?x?(b?1)??0

2?2?x(x?1)?

1

2

1

?(b?1)x2?2x?(b?1)??0 ?2?

1 ?

)?b(???1)x?? 十字相乘法分解：x2(x?1)??(b?1x

2

1?21?

(x?1)?x?(b?1)x?(b?1)??0

22??

?x?

3

12

(b?1)x?x?

2

2

1212

(b?1)?0恒有含x??1的三个不等实根 (b?1)?0有两个不等于-1的不等实根。

等价于x?

12

(b?1)x?

11?2

??(b?1)?4?(b?1)?0??42???b?(??,?1)?(?1,3)?(3,??

) ?(?1)2?1(b?1)?1(b?1)?0??22

题2：切线的条数问题====以切点x0为未知数的方程的根的个数

例7、已知函数f(x)?ax3?bx2?cx在点x0处取得极小值－4，使其导数f'(x)?0的x的取值范围为(1,3)，求：（1）f(x)的解析式；（2）若过点P(?1,m)可作曲线y?f(x)的三条切线，求实数m的取值范围．

（1）由题意得：f'(x)?3ax2?2bx?c?3a(x?1)(x?3),(a?0)

∴在(??,1)上f'(x)?0；在(1,3)上f'(x)?0；在(3,??)上f'(x)?0 因此f(x)在x0?1处取得极小值?4

∴a?b?c??4①，f'(1)?3a?2b?c?0②，f'(3)?27a?6b?c?0③

?a??1

?由①②③联立得：?b?6，∴f(x)??x3?6x2?9x

?c??9?

（2）设切点Q(t,f(t))，y?f(t)?f,(t)(x?t)

y?(?3t?12t?9)(x?t)?(?t?6t?9t)

?(?3t?12t?9)x?t(3t?12t?9)?t(t?6t?9) ?(?3t?12t?9)x?t(2t?6t)过(?1,m)

m?(?3t?12t?9)(?1)?2t?6t

g(t)?2t?2t?12t?9?m?0 3223222222232

令g'(t)?6t2?6t?12?6(t2?t?2)?0，

求得：t??1,t?2，方程g(t)?0有三个根。

需：??g(?1)?0??2?3?12?9?m?0?m?16????

?g(2)?0?16?12?24?9?m?0?m??11故：?11?m?16；因此所求实数m的范围为：(?11,16) 题3：已知f(x)在给定区间上的极值点个数则有导函数=0的根的个数 解法：根分布或判别式法

例8、

1372解：函数的定义域为R（Ⅰ）当m＝4时，f (x)＝ x－x＋10x， 32

2f?(x)＝x－7x＋10，令f?(x)?0 ， 解得x?5,或x?2.

令f?(x)?0 ， 解得2?x?5

可知函数f(x)的单调递增区间为(??,2)和（5，＋∞），单调递减区间为?2,5?． （Ⅱ）f?(x)＝x2－(m＋3)x＋m＋6,

要使函数y＝f (x)在（1，＋∞）有两个极值点,?f?(x)＝x－(m＋3)x＋m＋6=0的根在（1，＋∞）

2

根分布问题：

?

???(m?3)2?4(m?6)?0;?

则?f?(1)?1?(m?3)?m?6?0;， 解得m＞3 ?m?3??1.?2

例9、已知函数f(x)?

a3x?

3

12

（2）令g(x)＝x，(a?R,a?0)（1）求f(x)的单调区间；

2

14

x＋f

4

（x）（x∈R）有且仅有3个极值点，求a的取值范围． 解：（1）f'(x)?ax2?x?x(ax?1)

当a?0时，令f'(x)?0解得x??所以f(x)的递增区间为(??,?

1a

1a

或x?0，令f(x)?0解得?

1a,0).

1a,??).

'

1a

?x?0，

)?(0,??)，递减区间为(?

1a

?当a?0时，同理可得f(x)的递增区间为(0，)，递减区间为(??,0)?(?

（2）g(x)?

14

x?

4

a3

x?

3

12

x有且仅有3个极值点

2

3222

?g?(x)?x?ax?x?x(x?ax?1)=0有3个根，则x?0或x?ax?1?0，a??2

方程x?ax?1?0有两个非零实根，所以??a?4?0,

?a??2或a?2

22

而当a??2或a?2时可证函数y?g(x)有且仅有3个极值点

其它例题：

1、（最值问题与主元变更法的例子）.已知定义在R上的函数f(x)?ax3?2ax2?b（a?0）在区间??2,1?上的最大值是5，最小值是－11.

（Ⅰ）求函数f(x)的解析式；

（Ⅱ）若t?[?1,1]时，f?(x）?tx?0恒成立，求实数x的取值范围

.

解：（Ⅰ）?f(x)?ax3?2ax2?b,?f'(x)?3ax2?4ax?ax(3x?4)

令f'(x)=0,得x1?0,x2?43???2,1?

因此f(0)必为最大值,∴f（0）?5因此b?5， ?f(?2)??16a?5,f(1)??a?5,?f(1)?f(?2)， 即f(?2)??16a?5??11，∴a?1，∴ f(x）?x3?2x2?5.

2（Ⅱ）∵f?(x)?3x2?4x，∴f?(x）?tx?0等价于3x?4x?tx?0，

令g(t)?xt?3x2?4x，则问题就是g(t)?0在t?[?1,1]上恒成立时，求实数x的取值范围，

?3x2?5x?0?g(?1)?0为此只需?，即?2， g（1)?0??x?x?0

解得0?x?1，所以所求实数x的取值范围是[0，1].

2、（根分布与线性规划例子）

（1）已知函数f(x)?2

3x?ax?bx?c 32

(Ⅰ) 若函数f(x)在x?1时有极值且在函数图象上的点(0,1)处的切线与直线3x?y?0平行, 求f(x)的解析式；

(Ⅱ) 当f(x)在x?(0,1)取得极大值且在x?(1,2)取得极小值时, 设点M(b?2,a?1)所在平面区域为S, 经过原点的直线L将S分为面积比为1:3的两部分, 求直线L的方程.

2解： (Ⅰ). 由f?(x)?2x?2ax?b, 函数f(x)在x?1时有极值 ,

∴ 2a?b?2?0

∵ f(0)?1 ∴ c?1

又∵ f(x)在(0,1)处的切线与直线3x?y?0平行,

∴ f?(0)?b??3 故 a?

∴ f(x)?2

3x?312 1

2x?3x?1 ……………………. 7分 2

2 (Ⅱ) 解法一: 由f?(x)?2x?2ax?b 及f(x)在x?(0,1)取得极大值且在x?(1,2)取得极小值,

??∴ ?

??

f?(0)?0

?b?0?

f?(1)?0 即 ?2a?b?2?0 令M(x,

?4a?b?8?0f?(2)?0?

?x?b?2

y), 则 ?

y?a?1?

?x?2?0

?a?y?1?∴ ? ∴ ?2y?x?2?0 故点M所在平面区域S为如图△ABC,

?b?x?2?4y?x?6?0

?

易得A(?2,0), B(?2,?1), C(2,?2), D(0,?1), E(0,?

32

), S?ABC?2

同时DE为△ABC的中位线, S?DEC?∴ 所求一条直线L的方程为:

x?0

13

S四边形ABED

另一种情况设不垂直于x轴的直线L也将S分为面积比为1:3的两部分, 设直线L方程为y?kx,它与AC,BC分别交于F、G, 则 k?0, S四边形DEGF?1

由 ?

?y?kx?2y?x?2?0

得点F的横坐标为: xF??

22k?1

?y?kx6

由 ? 得点G的横坐标为: xG??

4y?x?6?04k?1?

∴S四边形DEGF?S?OGE?S?OFD ?解得: k?

12

12

?

32

?

64k?1

?

12

?1?

22k?1

12

?1即 16k2?2k?5?0

或 k??

58

(舍去) 故这时直线方程为: y?

12

x

综上,所求直线方程为: x?0或y?x .…………….………….12分

2

(Ⅱ) 解法二: 由f?(x)?2x?2ax?b 及f(x)在x?(0,1)取得极大值且在x?(1,

2)取得极小值,

??∴ ?

??

f?(0)?0

?b?0?

f?(1)?0 即 ?2a?b?2?0 令M(x,

?4a?b?8?0f?(2)?0?

?x?b?2

y), 则 ?

y?a?1?

?x?2?0

?a?y?1?∴ ? ∴ ?2y?x?2?0 故点M所在平面区域S为如图△ABC,

?b?x?2?4y?x?6?0

?

易得A(?2,0), B(?2,?1), C(2,?2), D(0,?1), E(0,?

32

), S?ABC?2

同时DE为△ABC的中位线, S?DEC?

13

S四边形ABED ∴所求一条直线L的方程为: x?0

另一种情况由于直线BO方程为: y?

12

x, 设直线BO与AC交于H ,

1?y?x?由 ? 得直线L与AC交点为: H(?1,2

?2y?x?2?0?

12

12

12

?

12

)

∵ S?ABC?2, S?DEC?

??2?

12

, S?ABH?S?ABO?S?AOH?

12

?2?1?

12

?2?

12

?

12

∴ 所求直线方程为: x?0 或y?x

3、（根的个数问题）已知函数f(x)?ax3?bx2?(c?3a?2b)x?d (a?0)的图象如图所示。

（Ⅰ）求c、d的值；

（Ⅱ）若函数f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线方程为3x?y?11?0，求函数f ( x )的解析式；

（Ⅲ）若x0?5,方程f(x)?8a有三个不同的根，求实数a的取值范围。 解：由题知：f?(x)?3ax2?2bx+c-3a-2b

（Ⅰ）由图可知 函数f ( x )的图像过点( 0 , 3 )，且f??1?= 0

?d?3?d?3

??得?

c?03a?2b?c?3a?2b?0??

（Ⅱ）依题意

f??2?= – 3 且f ( 2 ) = 5

?12a?4b?3a?2b??3

解得a = 1 , b = – 6 ?

8a?4b?6a?4b?3?5?

3

2

所以f ( x ) = x – 6x + 9x + 3

（Ⅲ）依题意 f ( x ) = ax3 + bx2 – ( 3a + 2b )x + 3 ( a＞0 )

2

f??x?= 3ax + 2bx – 3a – 2b

由f??5?= 0?b = – 9a

①

若方程f ( x ) = 8a有三个不同的根，当且仅当 满足f ( 5 )＜8a＜f ( 1 ) ② 由① ② 得 – 25a + 3＜8a＜7a + 3?所以 当

111

111

＜a＜3

＜a＜3时，方程f ( x ) = 8a有三个不同的根。???? 12分

13

x?ax?x?1(a?R)

3

2

4、（根的个数问题）已知函数f(x)?

（1）若函数f(x)在x?x1,x?x2处取得极值，且x1?x2?2，求a的值及f(x)的单调区间； （2）若a?

12

，讨论曲线f(x)与g(x)?

12

x?(2a?1)x?

2

56

(?2?x?1)的交点个数．

解：（1）f'(x)?x2?2ax?1

?x1?x2?2a,x1?x2??

1

?x1?x2???2 ?a?0???????????????????????????2分

22f?(x)?x?2ax?1?x?1

令f?(x)?0得x??1,或x?1

令f?(x)?0得?1?x?1

∴f(x)的单调递增区间为(??,?1)，(1,??)，单调递减区间为(?1,1)????5分

（2）由题f(x)?g(x)得

即1

3x?(a?

1

33313x?ax?x?1?16?0 163212x?(2a?1)x?256 12)x?2ax?1222令?(x)?x?(a?

2)x?2ax?(?2?x?1)????????6分 ???(x)?x?(2a?1)x?2a?(x?2a)(x?1)

令??(x)?0得x?2a或x?1?????????????????7分 ?a?1

2

2a??2a??1

此时，?8a?9

2?0，a?0，有一个交点；??????????9分

1

当2a??2即?1?a?

时，

?2

3a(3?2a)?

9

2

9

2216?0, 916916∴当?8a?当?8a??0即?1?a??时,有一个交点； ?a?0时，有两个交点； ?0，且a?0即?

1

2

9

16 当0?a?综上可知，当a?? 当?9

16时，?8a?或0?a?922?0，有一个交点．?????????13分 1时，有一个交点； ?a?0时，有两个交点．?????????????14分

5、（简单切线问题）已知函数f(x)?

g(x)?f(x)?3bx

2xa32图象上斜率为3的两条切线间的距离为25，函数a

（Ⅰ） 若函数g(x)在x?1处有极值，求g(x)的解析式； ?3． （Ⅱ） 若函数g(x)在区间[?1,1]上为增函数，且b2?mb?4?g(x)在区间[?1,1]上都成立，求实数m的取值范围．