高中数学数列知识点总结

1.等差数列的有关概念：

（1）等差数列的判断方法：定义法或。

（2）等差数列的通项：或。

如等差数列中，，，则通项　　　　；

（3）等差数列的前和：，。

（4）等差中项：若成等差数列，则A叫做与的等差中项，且。

提醒：（1）等差数列的通项公式及前和公式中，涉及到5个元素：、、、及，其中、称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。

（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为…，…（公差为）；偶数个数成等差，可设为…，,…（公差为2）

2.等差数列的性质：

（1）当公差时，等差数列的通项公式是关于的一次函数，且斜率为公差；前和是关于的二次函数且常数项为0.

（2）若公差，则为递增等差数列，若公差，则为递减等差数列，若公差，则为常数列。

（3）当时,则有，特别地，当时，则有.

(4) 若是等差数列，则 ，…也成等差数列

如等差数列的前n项和为25，前2n项和为100，则它的前3n和为             。

（5）若等差数列、的前和分别为、，且，

则.

如设{}与{}是两个等差数列，它们的前项和分别为和，若，那么___________；

(6)“首正”的递减等差数列中，前项和的最大值是所有非负项之和；“首负”的递增等差数列中，前项和的最小值是所有非正项之和。法一：由不等式组确定出前多少项为非负（或非正）；法二：因等差数列前项是关于的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性。上述两种方法是运用了哪种数学思想？（函数思想），由此你能求一般数列中的最大或最小项吗？

3.等比数列的有关概念：

（1）等比数列的判断方法：定义法，其中或。

（2）等比数列的通项：或。

如设等比数列中，，，前项和＝126，求和公比.

（3）等比数列的前和：当时，；当时，。

如等比数列中，＝2，S₉₉=77，求；

特别提醒：等比数列前项和公式有两种形式，为此在求等比数列前项和时，首先要判断公比是否为1，再由的情况选择求和公式的形式，当不能判断公比是否为1时，要对分和两种情形讨论求解。

（4）等比中项：若成等比数列，那么A叫做与的等比中项。

4.等比数列的性质：

（1）当时，则有，特别地，当时，则有.

如①在等比数列中，，公比q是整数，则=___；

②各项均为正数的等比数列中，若，则      。

(2) 若是等比数列，则数列 ，…也是等比数列。

如在等比数列中，为其前n项和，若，则的值为___；

(3)若，则为递增数列；若, 则为递减数列；若 ，则为递减数列；若, 则为递增数列；若，则为摆动数列；若，则为常数列.

 (4)如果数列既成等差数列又成等比数列，那么数列是非零常数数列，故常数数列仅是此数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件。

5.数列的通项的求法：

⑴公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。

如已知数列试写出其一个通项公式：__________；

⑵已知（即）求，用作差法：。

如①已知的前项和满足，求；

②数列满足，求

⑶已知求，用作商法：。

如数列中，对所有的都有，则______    ；

⑷若求用累加法：

。

如已知数列满足，，则=________   ；

⑸已知求，用累乘法：。

如已知数列中，，前项和，若，求

⑹已知递推关系求，用构造法（构造等差、等比数列）。特别地，（1）形如、（为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为的等比数列后，再求。

如已知，求；

（2）形如的递推数列都可以用倒数法求通项。

如已知，求；

注意：（1）用求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（，当时，）；

（2）一般地当已知条件中含有与的混合关系时，常需运用关系式，先将已知条件转化为只含或的关系式，然后再求解。

如数列满足，求；

6.数列求和的常用方法：

（1）   公式法：①等差数列求和公式；②等比数列求和公式，

特别声明：运用等比数列求和公式，务必检查其公比与1的关系，必要时需分类讨论.；③常用公式：，，.

如等比数列的前项和S_ｎ＝2^ｎ－１，则＝_____    ；

（2）分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和.

如求和：

（3）倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前和公式的推导方法）.

 如 已知，则＝______；

（4）错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前和公式的推导方法）.

 如 设为等比数列，，已知，，①求数列的首项和公比；②求数列的通项公式.；

（5）裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有：

①； ②；

如①求和：                         ；

②在数列中，，且S_ｎ＝９，则n＝_____               ；

 

第二篇：高中数学知识点总结与题库(数列)

第六章  数列

二、重难点击

本章重点：数列的概念，等差数列，等比数列的定义，通项公式和前项和公式及运用，等差数列、等比数列的有关性质。注重提炼一些重要的思想和方法，如：观察法、累加法、累乘法、待定系数法、倒序相加求和法、错位相减求和法、裂项相消求和法、函数与方程思想、分类与讨论思想、化归与转化思想等。

知识网络

 

第一课时    数列

四、数列通项与前项和的关系

1．

2．

课前热身

3．数列的通项公式为 ,则数列各项中最小项是(   B   )

A．第４项　　B．第５项　　C．第６项　　D．第７项

4．已知数列是递增数列，其通项公式为,则实数的取值范围是

5．数列的前项和,，则

题型一  归纳、猜想法求数列通项

【例1】根据下列数列的前几项，分别写出它们的一个通项公式

     ⑴7，77，777，7777，…

⑶1，3，3，5，5，7，7，9，9…

解析：⑴将数列变形为，

⑶将已知数列变为1+0，2+1，3+0，4+1，5+0，6+1，7+0，8+1，9+0，…。可得数列的通项公式为

点拨：本例的求解关键是通过分析、比较、联想、归纳、转换获得项与项数的一般规律，从而求得通项。

题型二 应用求数列通项

例2．已知数列的前项和，分别求其通项公式.

⑴     

解析：⑴当，

当

又不适合上式，故 

三、利用递推关系求数列的通项

【例3】根据下列各个数列的首项和递推关系，求其通项公式

⑴

解析：⑴因为，所以

所以

…，…，

以上个式相加得

 

即：

点拨：在递推关系中若求用累加法，若求用累乘法，若，求用待定系数法或迭代法。

课外练习

3设，()，则的大小关系是(  C  )

A．　　B．

C．　　D．不能确定

解：因为

所以，选Ｃ．

二、填空题           

5．已知数列的前项和则

7．已知数列的通项（），则数列的前30项中最大项和最小项分别是

解：构造函数

由函数性质可知，函数在上递减，且

函数在上递增且

三、解答题

6.2 等差数列

知识要点

2．递推关系与通项公式

是数列成等差数列的充要条件。

３．等差中项：

若成等差数列，则称的等差中项，且；成等差数列是的充要条件。

４．前项和公式

 ；

是数列成等差数列的充要条件。

5．等差数列的基本性质

⑴反之，不成立。

⑵

⑶

⑷仍成等差数列。

６．判断或证明一个数列是等差数列的方法：

①定义法：

是等差数列

②中项法：

是等差数列

③通项公式法：

是等差数列

④前项和公式法：

是等差数列

课前热身

2．等差数列中，

A．14　　B．15　　C．16　　D．17

。

3．等差数列中，，则前10或11项的和最大。

解：

∴为递减等差数列∴为最大。

4．已知等差数列的前10项和为100，前100项和为10，则前110项和为－110

解：∵

　成等差数列，公差为D其首项为

，前10项的和为

   

６．设等差数列的前项和为，已知

 

①求出公差的范围，

②指出中哪一个值最大，并说明理由。

解：①

         

②

 

课外练习

一、 选择题

1．  已知数列是等差数列，，其前10项的和，则其公差等于(  D  )

2．  已知等差数列中，等于（  A  ）

A．15   B．30   C．31   D．64

二、填空题

3．  设为等差数列的前项和，=54

4．  已知等差数列的前项和为，若

5．  设F是椭圆的右焦点，且椭圆上至少有21个不同点

组成公差为的等差数列，则的取值范围为

解：椭圆的焦点F到椭圆上的点最大、最小距离分别为，由题意得：

三、解答题

6．  等差数列的前项和记为，已知

   ①求通项；②若=242，求

解：

由，=242

7．  甲、乙两物体分别从相距70的两处同时相向运动，甲第一分钟走2，以后每分钟比前一分钟多走1，乙每分钟走5，①甲、乙开始运动后几分钟相遇？②如果甲乙到对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前一分钟多走1，乙继续每分钟走5，那么，开始运动几分钟后第二次相遇？

解：①设分钟后第一次相遇，依题意有：

故第一次相遇是在开始运动后7分钟。

②设分钟后第二次相遇，则：

故第二次相遇是在开始运动后15分钟

10．已知数列中，前和

①求证：数列是等差数列

②求数列的通项公式

③设数列的前项和为，是否存在实数，使得对一切正整数都成立？若存在，求的最小值，若不存在，试说明理由。

解：①∵

∴数列为等差数列。

②

③

要使得对一切正整数恒成立，只要≥，所以存在实数使得对一切正整数

都成立，的最小值为。

6.3等比数列

知识要点

1． 定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，记为。

2． 递推关系与通项公式

3． 等比中项：若三个数成等比数列，则称为的等比中项，且为是成等比数列的必要而不充分条件。

4． 前项和公式

5． 等比数列的基本性质，

   ①反之不真！

   ②

   ③为等比数列，则下标成等差数列的对应项成等比数列。

   ④仍成等比数列。

6． 等比数列与等比数列的转化

  ①是等差数列是等比数列；

②是正项等比数列是等差数列；

   ③既是等差数列又是等比数列是各项不为零的常数列。

7． 等比数列的判定法

①定义法：为等比数列；

②中项法：为等比数列；

③通项公式法：为等比数列；④前项和法：为等比数列。

1．  

2． 已知数列是等比数列，且70   （问题引入）

猜想：是等比数列，公比为。

证明如下：∵

               

即：，∴是首项为，公比为的等比数列。

二、性质运用

例2：⑴在等比数列中，

①求，

②若

  ⑵在等比数列中，若，则有等式

成立，类比上述性质，相应的在等比数列中，若则有等式        成立。

 解：⑴①由等比数列的性质可知：

       

      ②由等比数列的性质可知，是等差数列，因为

⑵由题设可知，如果在等差数列中有

成立，我们知道，如果，而对于等比数列，则有所以可以得出结论，若

成立，在本题中

点拨：历年高考对性质考查较多，主要是利用“等积性”，题目“小而巧”且背景不断更新，要熟练掌握。

典例精析

一、 错位相减法求和

例1：求和：

 解：⑴

 ⑵

          ①

    ②

   由①－②得：

点拨：①若数列是等差数列，是等比数列，则求数列的前项和时，可采用错位相减法；

      ②当等比数列公比为字母时，应对字母是否为1进行讨论；

      ③当将与相减合并同类项时，注意错位及未合并项的正负号。

二、裂项相消法求和

例2：数列满足=8， （）

   ①求数列的通项公式；

则

所以，=8＋（－1）×（－2）＝—10－2

② 

 对一切恒成立。

故的最大整数值为5。

点拨：①若数列的通项能转化为的形式，常采用裂项相消法求和。

      ②使用裂项消法求和时，要注意正负项相消时，消去了哪些项，保留了哪些项。

三、 奇偶分析法求和

例3：设二次函数 

1．  在等差数列中，=1，前项和满足

   ①求数列的通项公式

   ②记，求数列的前项和。

解：①设数列的公差为，由

所以=

②由，有

 所以   ①

 

②

①－②得

课外练习

１． 数列的前项和为，若等于（  B  ）

４．的定义域为，且是以2为周期的周期函数，数列是首项为，公差为1的等差数列，那么的值为（  C  ）

A．－1    B．1    C．0    D．10

解：因为函数的定义域为，且是以2为周期的周期函数，

所以

又数列是首项为，公差为1的等差数列

故原式=0，选C。

二、填空题

５．设等比数列的公比与前项和分别为和，且≠1，

6．数列满足

，则数列的前项和为

= ）

７．数列的前100项的和为。（）

典例精析

一、 函数与数列的综合问题

    

①设是常数，求证：成等差数列；

   ②若，的前项和是，当时，求

解：①，

    

     ②

点拨：本例是数列与函数综合的基本题型之一，特                    征是以函数为载体构建数列的递推关系，通过由函数的解析式获知数列的通项公式，从而问题得到求解。

１．     已知正项数列的前项和为，的等比中项，

  ①求证：数列是等差数列；

  ②若，数列的前项和为，求

   ③在②的条件下，是否存在常数，使得数列为等比数列？若存在，试求出；若不存在，说明理由。

解：①的等比中项，

    

   

    所以数列是等差数列。

    ②

   

        

所以当且仅当3+=0，即=－3时，数列  为等比数列。

２． 已知在正项数列中，=2，且

在双曲线上，

数列中，

点（，）在直线上，其中是数列的前项和，①求数列的通项公式；②求证：数列是等比数列。③若。

解：①由已知带点在上知，

 －＝１，所以数列是以2为首项，以1为公差的等差数列。

所以

②因为点（,）在直线上，

       ③

        

一、选择题

1.（2009广东卷理）已知等比数列满足，且，则当时，           

A.             B.           C.              D.

【解析】由得，，则，  ，选C.           

答案  C

2.（2009辽宁卷理）设等比数列{ }的前n 项和为  ，若  =3 ，则   =        

A. 2       B.       C.          D.3

【解析】设公比为q ,则＝1＋q3＝3  Þ  q3＝2

        于是     

【答案】B

14.(2009湖北卷理)已知数列满足：（m为正整数），若，则m所有可能的取值为__________。    

答案 4  5  32

解析 （1）若为偶数，则为偶, 故

①当仍为偶数时，  故

②当为奇数时，

故得m=4。

（2）若为奇数，则为偶数，故必为偶数

，所以=1可得m=5

16.（2009陕西卷文）设等差数列的前n项和为,若,则                .     

解析:由可得的公差d=2,首项=2,故易得2n.

答案:2n

17.(2009陕西卷理)设等差数列的前n项和为,若,则                .

答案：1

22.（2009全国卷Ⅰ理）在数列中，

（I）设，求数列的通项公式

（II）求数列的前项和

分析：（I）由已知有

利用累差迭加即可求出数列的通项公式: ()

（II）由（I）知,

=

而,又是一个典型的错位相减法模型，

易得=

23.（2009北京理）已知数集具有性质；对任意的

，与两数中至少有一个属于.

（Ⅰ）分别判断数集与是否具有性质，并说明理由；

（Ⅱ）证明：，且；

（Ⅲ）证明：当时，成等比数列.

【解析】本题主要考查集合、等比数列的性质，考查运算能力、推理论证能力、分

分类讨论等数学思想方法．本题是数列与不等式的综合题，属于较难层次题.

（Ⅰ）由于与均不属于数集，∴该数集不具有性质P.

 由于都属于数集，

  ∴该数集具有性质P.

（Ⅱ）∵具有性质P，∴与中至少有一个属于A，

由于，∴，故.     

从而，∴.

∵， ∴，故.

由A具有性质P可知.

又∵，

∴，

从而，

∴.     

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当时，有，即，

 ∵，∴，∴，

由A具有性质P可知.

 ，得，且，∴，

∴，即是首项为1，公比为成等比数列.

    

25（2009江苏卷）对于正整数≥2，用表示关于的一元二次方程有实数根的有序数组的组数，其中（和可以相等）；对于随机选取的（和可以相等），记为关于的一元二次方程有实数根的概率。

（1）求和；

（2）求证：对任意正整数≥2，有.

【解析】 [必做题]本小题主要考查概率的基本知识和记数原理，考查探究能力。满分10分。

     

        

29.（2009江西卷理）各项均为正数的数列，，且对满足的正整数都有

（1）当时，求通项            

（2）证明：对任意，存在与有关的常数，使得对于每个正整数，都有

解：（1）由得

将代入化简得          

 

所以           

故数列为等比数列，从而

即

可验证，满足题设条件.

(2) 由题设的值仅与有关,记为则           

考察函数 ,则在定义域上有          

故对， 恒成立.           

又 ,

注意到,解上式得

取,即有  .           

30. (2009湖北卷理)已知数列的前n项和（n为正整数）。

（Ⅰ）令，求证数列是等差数列，并求数列的通项公式；

(Ⅱ）令，试比较与的大小，并予以证明。

解（I）在中，令n=1，可得，即

当时，，

.

  .                       

 又数列是首项和公差均为1的等差数列.

 于是.

(II)由（I）得，所以

由①-②得                  

于是确定的大小关系等价于比较的大小

由                   

可猜想当证明如下：

证法1：（1）当n=3时，由上验算显示成立。

（2）假设时

所以当时猜想也成立

综合（1）（2）可知 ，对一切的正整数，都有

证法2：当时

综上所述，当，当时

31.（2009四川卷文）设数列的前项和为，对任意的正整数，都有成立，记。                                        

（I）求数列与数列的通项公式；

（II）设数列的前项和为，是否存在正整数，使得成立？若存在，找出一个正整数；若不存在，请说明理由；

（III）记，设数列的前项和为，求证：对任意正整数都有；

解（I）当时，                                         

又

∴数列是首项为，公比为的等比数列，

∴，          …………………………………3分

（II）不存在正整数，使得成立。

证明：由（I）知                                         

∴当n为偶数时，设                                          

∴

当n为奇数时，设

∴

∴对于一切的正整数n，都有                                         

∴不存在正整数，使得成立。      …………………………………8分

（III）由得                                        

又，                                        

当时，，

当时，

32.（2009湖南卷文）对于数列,若存在常数M＞0,对任意的，恒有

,            则称数列为数列.

（Ⅰ）首项为1，公比为的等比数列是否为B-数列？请说明理由;

（Ⅱ）设是数列的前n项和.给出下列两组判断：

A组：①数列是B-数列,      ②数列不是B-数列;

B组：③数列是B-数列,      ④数列不是B-数列.

请以其中一组中的一个论断为条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题.

判断所给命题的真假，并证明你的结论；

(Ⅲ)若数列是B-数列，证明：数列也是B-数列。

解: （Ⅰ）设满足题设的等比数列为,则.于是

    

           

==

所以首项为1，公比为的等比数列是B-数列    .

（Ⅱ）命题1：若数列是B-数列，则数列是B-数列.此命题为假命题.

事实上设=1，，易知数列是B-数列，但=n，

       .

由n的任意性知，数列不是B-数列。

命题2：若数列是B-数列，则数列不是B-数列。此命题为真命题。

事实上，因为数列是B-数列，所以存在正数M，对任意的，有

       ,

       即.于是

,

所以数列是B-数列。

（注：按题中要求组成其它命题解答时，仿上述解法）          

 (Ⅲ)若数列是B-数列，则存在正数M，对任意的有

 .

因为

 .

记，则有

 .

因此.

故数列是B-数列.

33. (2009陕西卷理) 已知数列满足， .

猜想数列的单调性，并证明你的结论；

（Ⅱ)证明：。   

证明（1）由

由猜想：数列是递减数列

下面用数学归纳法证明：

（1）当n=1时，已证命题成立    （2）假设当n=k时命题成立，即

易知，那么

=

即

也就是说，当n=k+1时命题也成立，结合（1）和（2）知，命题成立

（2）当n=1时，，结论成立

当时，易知

     

35.（2009天津卷理）已知等差数列{}的公差为d（d0），等比数列{}的公比为q（q>1）。设=+…..+ ,=-+…..+(-1,n     

若== 1，d=2，q=3，求  的值；

若=1，证明（1-q）-（1+q）=，n；    

(Ⅲ)   若正数n满足2nq，设的两个不同的排列， ，   证明。

本小题主要考查等差数列的通项公式、等比数列的通项公式与前n项和公式等基础知识，考查运算能力，推理论证能力及综合分析和解决问题的能力的能力，满分14分。

（Ⅰ）解：由题设，可得

所以，     

（Ⅱ）证明：由题设可得则

                       ①

                 ②

式减去②式，得    

     

式加上②式，得

                     ③

式两边同乘q，得

     

所以，

     

                               

(Ⅲ)证明：   

                

因为所以

           

若，取i=n     

若，取i满足且

由（1）,(2)及题设知，且

    

当时，得

即，…，

又所以

     

因此

当同理可得，因此   

综上，

37.（20##年上海卷理）已知是公差为的等差数列，是公比为的等比数列。

若，是否存在，有说明理由；   

找出所有数列和，使对一切,,并说明理由；

若试确定所有的，使数列中存在某个连续项的和是数列中的一项，请证明。

[解法一]（1）由，得，                 ．．．．．．2分

整理后，可得，、，为整数， 

不存在、，使等式成立。                               ．．．．．．5分

（2）若，即，                         （*）

（ⅰ）若则。 

当{}为非零常数列，{}为恒等于1的常数列，满足要求。            ．．．．．．7分

（ⅱ）若，（*）式等号左边取极限得，（*）式等号右边的极限只有当时，才能等于1。此时等号左边是常数，，矛盾。

综上所述，只有当{}为非零常数列，{}为恒等于1的常数列，满足要求。．．．．．．10分

【解法二】设  

则

若d=0，则  

若（常数）即，则d=0，矛盾

综上所述，有，       10分

（3）  

设.

，

.               13分

取    15分

由二项展开式可得正整数M1、M2，使得（4-1）2s+2=4M1+1,

  

故当且仅当p=3s,sN时，命题成立.     

说明：第（3）题若学生从以下角度解题，可分别得部分分（即分步得分）

若p为偶数，则am+1+am+2+……+am+p为偶数，但3k为奇数

故此等式不成立，所以，p一定为奇数。

当p=1时，则am+1=bk,即4m+5=3k，

而3k=(4-1)k

=

当ｋ为偶数时，存在ｍ，使４ｍ＋５＝3k成立                        1分

当p=3时，则am+1+am+2+am+3=bk,即3am+2-bk,  

也即3（4m+9）=3k,所以4m+9=3k-1,4(m+1)+5=3k-1

由已证可知，当k-1为偶数即k为奇数时，存在m,  4m+9=3k成立      2分

当p=5时，则am+1+am+2+……+am+5=bk,即5am+3=bk

也即5（4m+13）=3k,而3k不是5的倍数，所以，当p=5时，所要求的m不存在

故不是所有奇数都成立.                                            2分

三、解答题

10.（2008全国I）设函数．数列满足，．

（Ⅰ）证明：函数在区间是增函数；

（Ⅱ）证明：；

（Ⅲ）设，整数．证明：．

（Ⅰ）证明：，

故函数在区间(0,1)上是增函数；

（Ⅱ）证明：（用数学归纳法）（i）当n=1时，，，

由函数在区间是增函数，且函数在处连续，则在区间是增函数，，即成立；

（ⅱ）假设当时，成立，即

那么当时，由在区间是增函数，得

.而，则，

，也就是说当时，也成立；

根据（ⅰ）、（ⅱ）可得对任意的正整数，恒成立.

 （Ⅲ）证明：由．可

若存在某满足，则由⑵知：

若对任意都有，则

，即成立.

11.（2008山东卷)将数列｛an｝中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：

a1

a2  a3

a4   a5  a6

a7  a8   a9    a10

……

记表中的第一列数a1，a2，a4，a7，…构成的数列为｛bn｝,b1=a1=1. Sn为数列｛bn｝的前n项和，且满足＝1=（n≥2）.

(Ⅰ)证明数列｛｝成等差数列，并求数列｛bn｝的通项公式；

（Ⅱ）上表中，若从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数.当时，求上表中第k(k≥3)行所有项和的和.

12.(2007湖南)已知（）是曲线上的点，，是数列的前项和，且满足，，…．

（I）证明：数列（）是常数数列；

（II）确定的取值集合，使时，数列是单调递增数列；

（III）证明：当时，弦（）的斜率随单调递增

解：（I）当时，由已知得．

因为，所以．                …… ①

于是．                                  ……②

由②－①得．                             …… ③

于是．                                 ……  ④

由④－③得，                                 …… ⑤

所以，即数列是常数数列．

（II）由①有，所以．由③有，，所以，．

而 ⑤表明：数列和分别是以，为首项，6为公差的等差数列，

所以，，，

数列是单调递增数列且对任意的成立．

且

．

即所求的取值集合是．

（III）解法一：弦的斜率为

任取，设函数，则

记，则，

当时，，在上为增函数，

当时，，在上为减函数，

所以时，，从而，所以在和上都是增函数．

由（II）知，时，数列单调递增，

取，因为，所以．

取，因为，所以．

所以，即弦的斜率随单调递增．

解法二：设函数，同解法一得，在和上都是增函数，

所以，．

故，即弦的斜率随单调递增．

5.（辽宁省沈阳二中20##—20##学年上学期高三期中考试）

数列若对任意恒成立，则正整数m的最小值             （    ）

A．10     B．9       C．8       D．7

答案：A.