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七年级数学(下)期末复习知识点整理
5.1相交线
1、邻补角与对顶角
注意点:⑴对顶角是成对出现的,对顶角是具有特殊位置关系的两个角;
⑵如果∠α与∠β是对顶角,那么一定有∠α=∠β;反之如果∠α=∠β,那么∠α与∠β不一定是对顶角
⑶如果∠α与∠β互为邻补角,则一定有∠α+∠β=180°;反之如果∠α+∠β=180°,则∠α与∠β不一定是邻补角。
⑶两直线相交形成的四个角中,每一个角的邻补角有两个,而对顶角只有一个。
2、垂线
⑴定义,当两条直线相交所成的四个角中,有一个角是直角时,就说这两条直线互相垂直,其中的一条直线叫做另一条直线的垂线,它们的交点叫做垂足。 符号语言记作:
C 如图所示:AB⊥CD,垂足为O
B A
D
⑵垂线性质1:过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 (与平行公理相比较记)
⑶垂线性质2:连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短。简称:垂线段最短。
3、垂线的画法:
⑴过直线上一点画已知直线的垂线;⑵过直线外一点画已知直线的垂线。
注意:①画一条线段或射线的垂线,就是画它们所在直线的垂线;②过一点作线段的垂线,垂足可在线段上,也可以在线段的延长线上。
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画法:⑴一靠:用三角尺一条直角边靠在已知直线上,⑵二移:移动三角尺使一点落在它的另一边直角边上,⑶三画:沿着这条直角边画线,不要画成给人的印象是线段的线。
4、点到直线的距离
直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离
记得时候应该结合图形进行记忆。
P
O A
如图,PO⊥AB,同P到直线AB的距离是PO的长。PO是垂线段。PO是点P到直线AB所有线段中最短的一条。
现实生活中开沟引水,牵牛喝水都是“垂线段最短”性质的应用。
5、如何理解“垂线”、“垂线段”、“两点间距离”、“点到直线的距离”这些相近而又相异的概念
分析它们的联系与区别
⑴垂线与垂线段 区别:垂线是一条直线,不可度量长度;垂线段是一条线段,可以度量长度。 联系:具有垂直于已知直线的共同特征。(垂直的性质)
⑵两点间距离与点到直线的距离 区别:两点间的距离是点与点之间,点到直线的距离是点与直线之间。 联系:都是线段的长度;点到直线的距离是特殊的两点(即已知点与垂足)间距离。
⑶线段与距离 距离是线段的长度,是一个量;线段是一种图形,它们之间不能等同。
5.2平行线
1、平行线的概念:
在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线,直线a与直线b互相平行,记作a∥b。
2、两条直线的位置关系
在同一平面内,两条直线的位置关系只有两种:⑴相交;⑵平行。
因此当我们得知在同一平面内两直线不相交时,就可以肯定它们平行;反过来也一样(这里,我们把重合的两直线看成一条直线)
判断同一平面内两直线的位置关系时,可以根据它们的公共点的个数来确定:
①有且只有一个公共点,两直线相交;
②无公共点,则两直线平行;
③两个或两个以上公共点,则两直线重合(因为两点确定一条直线)
3、平行公理――平行线的存在性与惟一性
经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行 3eud教育网 教学资源集散地。可能是最大的免费教
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4、平行公理的推论:
如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行
a
如左图所示,∵b∥a,c∥a
b ∴b∥c
注意符号语言书写,前提条件是两直线都平行于第三条直线,才c 会结论,这两条直线都平行。
5、三线八角
两条直线被第三条直线所截形成八个角,它们构成了同位角、内错角与同旁内角。
如图,直线a,b被直线l所截
①∠1与∠5在截线l的同侧,同在被截直线a,b的上方,
b ②∠5与∠3在截线l的两旁(交错),在被截直线a,b之间(内)叫做同位角(位置相同) 内且交错)
③∠5与∠4在截线l的同侧,在被截直线a,b之间(内),叫做同旁内角。
④三线八角也可以成模型中看出。同位角是“A”型;内错角是“Z”型;同旁内角是“U”型。
6、如何判别三线八角
判别同位角、内错角或同旁内角的关键是找到构成这两个角的“三线”,有时需要将有关的部分“抽出”或把无关的线略去不看,有时又需要把图形补全。
例如:
E
如图,判断下列各对角的位置关系:⑴∠1与∠2;⑵∠1与∠7;⑶∠1与∠BAD;⑷∠2与∠6;⑸∠5与∠8。
我们将各对角从图形中抽出来(或者说略去与有关角无关的线),得到下列各图。
如图所示,不难看出∠1与∠2是同旁内角;∠1与∠7是同位角;∠1与∠BAD是同旁内角;∠2与∠6是内错角;∠5与∠8对顶角。
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F
E
注意:图中∠2与∠9,它们是同位角吗?
不是,因为∠2与∠9的各边分别在四条不同直线上,不是两直线被第三条直线所截而成。
7、两直线平行的判定方法
方法一 两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行
简称:同位角相等,两直线平行
方法二 两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么这两条直线平行
简称:内错角相等,两直线平行
方法三 两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行 简称:同旁内角互补,两直线平行
几何符号语言:
∵ ∠3=∠2 ∴ AB∥CD(同位角相等,两直线平行)
∵ ∠1=∠2 ∴ AB∥CD(内错角相等,两直线平行)
∵ ∠4+∠2=180°
∴ AB∥CD(同旁内角互补,两直线平行)
请同学们注意书写的顺序以及前因后果,平行线的判定是由角相等,然后得出平行。平行线的判定是写角相等,然后写平行。
注意:⑴几何中,图形之间的“位置关系”一般都与某种“数量关系”有着内在的联系,常由“位置关系”决定其“数量关系”,反之也可从“数量关系”去确定“位置关系”。上述平行线的判定方法就是根据同位角或内错角“相等”或同旁内角“互补”这种“数量关系”,判定两直线“平行”这种“位置关系”。
⑵根据平行线的定义和平行公理的推论,平行线的判定方法还有两种:①如果两条直线没有交点(不相交),那么两直线平行。②如果两条直线都平行于第三条直线,那么这两条直线平行。
典型例题:判断下列说法是否正确,如果不正确,请给予改正:
⑴不相交的两条直线必定平行线。
⑵在同一平面内不相重合的两条直线,如果它们不平行,那么这两条直线一定相交。 ⑶过一点可以且只可以画一条直线与已知直线平行
解答:⑴错误,平行线是“在同一平面内不相交的两条直线”。“在同一平面内”是一项重要条件,不能遗漏。
⑵正确
⑶不正确,正确的说法是“过直线外一点”而不是“过一点”。因为如果这一点不在已知直线上,是作不出这条直线的平行线的。
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典型例题:如图,根据下列条件,可以判定哪两条直线平行,并说明判定的根据是什么?
解答:⑴由∠2=∠B可判定AB∥DE,根据是同位角相等,两直线平行; ⑵由∠1=∠D可判定AC∥DF,根据是内错角相等,两直线平行;
⑶由∠3+∠F=180°可判定AC∥DF,根据同旁内角互补,两直线平行。
5.3平行线的性质
1、平行线的性质:
性质1:两直线平行,同位角相等;
性质2:两直线平行,内错角相等;
性质3:两直线平行,同旁内角互补。
几何符号语言:
∵AB∥CD
∴∠1=∠2(两直线平行,内错角相等)
∵AB∥CD ∴∠3=∠2(两直线平行,同位角相等)
∵AB∥CD
∴∠4+∠2=180°(两直线平行,同旁内角互补)
2、两条平行线的距离
如图,直线AB∥CD,EF⊥AB于E,EF⊥CD于F,则称线段EF的长度为两平行线AB与CD间的距离。
注意:直线AB∥CD,在直线AB上任取一点G,过点G作CD的垂线段GH,则垂线段GH的长度也就是直线AB与CD间的距离。
3、命题:
⑴命题的概念:
判断一件事情的语句,叫做命题。
⑵命题的组成
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每个命题都是题设、结论两部分组成。题设是已知事项;结论是由已知事项推出的事项。命题常写成“如果??,那么??”的形式。具有这种形式的命题中,用“如果”开始的部分是题设,用“那么”开始的部分是结论。
有些命题,没有写成“如果??,那么??”的形式,题设和结论不明显。对于这样的命题,要经过分析才能找出题设和结论,也可以将它们改写成“如果??,那么??”的形式。 注意:命题的题设(条件)部分,有时也可用“已知??”或者“若??”等形式表述;命题的结论部分,有时也可用“求证??”或“则??”等形式表述。
4、平行线的性质与判定
①平行线的性质与判定是互逆的关系
两直线平行
同位角相等;
两直线平行内错角相等; 两直线平行同旁内角互补。
其中,由角的相等或互补(数量关系)的条件,得到两条直线平行(位置关系)这是平行线的判定;由平行线(位置关系)得到有关角相等或互补(数量关系)的结论是平行线的性质。
典型例题:已知∠1=∠B,求证:∠2=∠C
证明:∵∠1=∠B(已知)
∴DE∥BC(同位角相等,
两直线平行) ∴∠2=∠C(两直线平行
同位角相等) 注意,在了DE∥BC,不需要再写一次了,得到了DE∥BC,这可以把它当作条件来用了。
典型例题:如图,AB∥DF,DE∥BC,∠1=65°
求∠2、∠3的度数
3
解答:∵DE∥BC(已知)
∴∠2=∠1=65°(两直线平行,内错角相等)
∵AB∥DF(已知)
∴AB∥DF(已知)
∴∠3+∠2=180°(两直线平行,同旁内角互补)
∴∠3=180°-∠2=180°-65°=115°
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5.4平移
1、平移变换
①把一个图形整体沿某一方向移动,会得到一个新的图形,新图形与原图形的形状和大小完全相同。
②新图形的每一点,都是由原图形中的某一点移动后得到的,这两个点是对应点 ③连接各组对应点的线段平行且相等
2、平移的特征:
①经过平移之后的图形与原来的图形的对应线段平行(或在同一直线上)且相等,对应角相等,图形的形状与大小都没有发生变化。
②经过平移后,对应点所连的线段平行(或在同一直线上)且相等。
典型例题:如图,△ABC经过平移之后成为△DEF,那么:
⑴点A的对应点是点_________;⑵点B的对应点是点______。
⑶点_____的对应点是点F;⑷线段AB的对应线段是线段_______; ⑸线段BC的对应线段是线段_______;⑹∠A的对应角是______。 ⑺____的对应角是∠F。
解答:
⑴D;⑵E;⑶C;⑷DE;⑸EF;⑹∠D;⑺∠ACB。
思维方式:利用平移特征:平移前后对应线段相等,对应点的连线段平行或在同一直线上解答。
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摘要:注意点:⑴对顶角是成对出现的,对顶角是具有特殊位置关系的两个角;⑵如果是对顶角,那么一定有;反之如果,那么不一定是对顶角,⑶如果互为邻补角,则一定有;反之如果,则不一定是邻补角。⑶两直线相交形成的四个角中,每一个角的邻补角有两个,而对顶角只有一个。
5.1相交线
1、邻补角与对顶角
两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系的角,它们的概念及性质如下表:
注意点:⑴对顶角是成对出现的,对顶角是具有特殊位置关系的两个角;
⑵如果∠α与∠β是对顶角,那么一定有∠α=∠β;反之如果∠α=∠β,那么∠α与∠β不一定是对顶角
⑶如果∠α与∠β互为邻补角,则一定有∠α+∠β=180°;反之如果∠α+∠β=180°,则∠α与∠β不一定是邻补角。
⑶两直线相交形成的四个角中,每一个角的邻补角有两个,而对顶角只有一个。
1.如图所示,∠1和∠2是对顶角的图形有( )毛
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.如图1-1,直线AB、CD、EF都经过点O,
图中有几对对顶角?
3.如图1-2,若∠AOB与∠BOC是一对邻补角,OD平分∠AOB,
OE在∠BOC内部,并且∠BOE=∠COE,∠DOE=72°。
求∠COE的度数。
2、垂线
⑴定义,当两条直线相交所成的四个角中,有一个角是直角时,就说这两条直线互相垂直,其中的一条直线叫做另一条直线的垂线,它们的交点叫做垂足。
符号语言记作:
如图所示:AB⊥CD,垂足为O
⑵垂线性质1:过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 (与平行公理相比较记)
⑶垂线性质2:连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短。简称:垂线段最短。
3、垂线的画法:
⑴过直线上一点画已知直线的垂线;⑵过直线外一点画已知直线的垂线。
注意:①画一条线段或射线的垂线,就是画它们所在直线的垂线;②过一点作线段的垂线,垂足可在线段上,也可以在线段的延长线上。
画法:⑴一靠:用三角尺一条直角边靠在已知直线上,⑵二移:移动三角尺使一点落在它的另一边直角边上,⑶三画:沿着这条直角边画线,不要画成给人的印象是线段的线。
4、点到直线的距离
直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离
记得时候应该结合图形进行记忆。
如图,PO⊥AB,同P到直线AB的距离是PO的长。PO是垂线段。PO是点P到直线AB所有线段中最短的一条。
现实生活中开沟引水,牵牛喝水都是“垂线段最短”性质的应用。
5、如何理解“垂线”、“垂线段”、“两点间距离”、“点到直线的距离”这些相近而又相异的概念
分析它们的联系与区别
⑴垂线与垂线段 区别:垂线是一条直线,不可度量长度;垂线段是一条线段,可以度量长度。 联系:具有垂直于已知直线的共同特征。(垂直的性质)
⑵两点间距离与点到直线的距离 区别:两点间的距离是点与点之间,点到直线的距离是点与直线之间。 联系:都是线段的长度;点到直线的距离是特殊的两点(即已知点与垂足)间距离。
⑶线段与距离 距离是线段的长度,是一个量;线段是一种图形,它们之间不能等同。
已知:如图,在一条公路的两侧有A、B两个村庄.
<1>现在乡政府为民服务,沿公路开通公交汽车,并在路边修建一个公共汽车站P,同时修建车站P到A、B两个村庄的道路,并要求修建的道路之和最短,请你设计出车站的位置,在图中画出点P的位置,(保留作图的痕迹).并在后面的横线上用一句话说明道理. .
<2>为方便机动车出行,A村计划自己出资修建一条由本村直达公路的机动车专用道路,你能帮助A村节省资金,设计出最短的道路吗?,请在图中画出你设计修建的最短道路,并在后面的横线上用一句话说明道理. .
5.2平行线
1、平行线的概念:
在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线,直线与直线互相平行,记作∥。
2、两条直线的位置关系
在同一平面内,两条直线的位置关系只有两种:⑴相交;⑵平行。
因此当我们得知在同一平面内两直线不相交时,就可以肯定它们平行;反过来也一样(这里,我们把重合的两直线看成一条直线)
判断同一平面内两直线的位置关系时,可以根据它们的公共点的个数来确定:
①有且只有一个公共点,两直线相交;
②无公共点,则两直线平行;
③两个或两个以上公共点,则两直线重合(因为两点确定一条直线)
3、平行公理——平行线的存在性与惟一性
经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行
4、平行公理的推论:
如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行
如左图所示,∵∥,∥
∴∥
注意符号语言书写,前提条件是两直线都平行于第三条直线,才会结论,这两条直线都平行。
5、三线八角
两条直线被第三条直线所截形成八个角,它们构成了同位角、内错角与同旁内角。
如图,直线被直线所截
①∠1与∠5在截线的同侧,同在被截直线的上方,
叫做同位角(位置相同)
②∠5与∠3在截线的两旁(交错),在被截直线之间(内),叫做内错角(位置在内且交错)
③∠5与∠4在截线的同侧,在被截直线之间(内),叫做同旁内角。
④三线八角也可以成模型中看出。同位角是“A”型;内错角是“Z”型;同旁内角是“U”型。
6、如何判别三线八角
判别同位角、内错角或同旁内角的关键是找到构成这两个角的“三线”,有时需要将有关的部分“抽出”或把无关的线略去不看,有时又需要把图形补全。
例如:
如图,判断下列各对角的位置关系:⑴∠1与∠2;⑵∠1与∠7;⑶∠1与∠BAD;⑷∠2与∠6;⑸∠5与∠8。
我们将各对角从图形中抽出来(或者说略去与有关角无关的线),得到下列各图。
如图所示,不难看出∠1与∠2是同旁内角;∠1与∠7是同位角;∠1与∠BAD是同旁内角;∠2与∠6是内错角;∠5与∠8对顶角。
注意:图中∠2与∠9,它们是同位角吗?
不是,因为∠2与∠9的各边分别在四条不同直线上,不是两直线被第三条直线所截而成。
三、同位角、内错角和同旁内角的判断
四、1.如图3-1,按各角的位置,下列判断错误的是( )
(A)∠1与∠2是同旁内角 (B)∠3与∠4是内错角
(C)∠5与∠6是同旁内角 (D)∠5与∠8是同位角
2.如图3-2,与∠EFB构成内错角的是_ ___,与∠FEB构成同旁内角的是_ ___.
7、两直线平行的判定方法
方法一 两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行
简称:同位角相等,两直线平行
方法二 两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么这两条直线平行
简称:内错角相等,两直线平行
方法三 两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行
简称:同旁内角互补,两直线平行
几何符号语言:
∵ ∠3=∠2
∴ AB∥CD(同位角相等,两直线平行)
∵ ∠1=∠2
∴ AB∥CD(内错角相等,两直线平行)
∵ ∠4+∠2=180°
∴ AB∥CD(同旁内角互补,两直线平行)
请同学们注意书写的顺序以及前因后果,平行线的判定是由角相等,然后得出平行。平行线的判定是写角相等,然后写平行。
注意:⑴几何中,图形之间的“位置关系”一般都与某种“数量关系”有着内在的联系,常由“位置关系”决定其“数量关系”,反之也可从“数量关系”去确定“位置关系”。上述平行线的判定方法就是根据同位角或内错角“相等”或同旁内角“互补”这种“数量关系”,判定两直线“平行”这种“位置关系”。
⑵根据平行线的定义和平行公理的推论,平行线的判定方法还有两种:①如果两条直线没有交点(不相交), 那么两直线平行。②如果两条直线都平行于第三条直线,那么这两条直线平行。
例题:判断下列说法是否正确,如果不正确,请给予改正:
⑴不相交的两条直线必定平行线。
⑵在同一平面内不相重合的两条直线,如果它们不平行,那么这两条直线一定相交。
⑶过一点可以且只可以画一条直线与已知直线平行
5.3平行线的性质
1、平行线的性质:
性质1:两直线平行,同位角相等;
性质2:两直线平行,内错角相等;
性质3:两直线平行,同旁内角互补。
几何符号语言:
∵AB∥CD
∴∠1=∠2(两直线平行,内错角相等)
∵AB∥CD
∴∠3=∠2(两直线平行,同位角相等)
∵AB∥CD
∴∠4+∠2=180°(两直线平行,同旁内角互补)
2、两条平行线的距离
如图,直线AB∥CD,EF⊥AB于E,EF⊥CD于F,则称线段EF的长度为两平行线AB与CD间的距离。
注意:直线AB∥CD,在直线AB上任取一点G,过点G作CD的垂线段GH,则垂线段GH的长度也就是直线AB与CD间的距离。
4、平行线的性质与判定
①平行线的性质与判定是互逆的关系
两直线平行 同位角相等;
两直线平行 内错角相等;
两直线平行 同旁内角互补。
其中,由角的相等或互补(数量关系)的条件,得到两条直线平行(位置关系)这是平行线的判定;由平行线(位置关系)得到有关角相等或互补(数量关系)的结论是平行线的性质。
练习题
1.已知两个角的两边分别平行,其中一个角为52°,
则另一个角为_______.
2.两条平行直线被第三条直线所截时,产生的八个角中,
角平分线互相平行的两个角是( )
A.同位角 B.同旁内角
C.内错角 D. 同位角或内错角
3.如图4-2,要说明 AB∥CD,需要什么条件?
试把所有可能的情况写出来,并说明理由。
4.如图4-3,EF⊥GF,垂足为F,∠AEF=150°,
∠DGF=60°。试判断AB和CD的位置关系,并说明理由。
5.如图4-4,AB∥DE,∠ABC=70°,∠CDE=147°,求∠C的度数.
6.如图4-5,CD∥BE,则∠2+∠3?∠1的度数等于多少?
7.如图4-6:AB∥CD,∠ABE=∠DCF,求证:BE∥CF.
9.⑴如图,已知∠1=∠2 求证:a∥b.⑵直线,求证:.
8.如图,AB∥DE,试问∠B、∠E、∠BCE有什么关系.
解:∠B+∠E=∠BCE
过点C作CF∥AB,
则____( )
又∵AB∥DE,AB∥CF,
∴____________( )
∴∠E=∠____( )
∴∠B+∠E=∠1+∠2
即∠B+∠E=∠BCE.
10.阅读理解并在括号内填注理由:
如图,已知AB∥CD,∠1=∠2,试说明EP∥FQ.
证明:∵AB∥CD,
∴∠MEB=∠MFD( )
又∵∠1=∠2,
∴∠MEB-∠1=∠MFD-∠2,
即 ∠MEP=∠______
∴EP∥_____.( )
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