2.1.1等差数列

一、自学指导

1、  等差数列的定义：如果一个数列从第      项起，每一项与它的前一项的差都等于          ，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的        ，通常用字母      表示；其符号语言为              

2、  等差数列的通项公式：

若等差数列的首项是，公差是，则其通向公式为               

等差数列的通项公式可表示为关于的一次函数形式       

取等差数列中的任意两项，公差是，则有          

3、  等差中项：如果三个数组成等差数列，那么叫做的等差中项，且有         

4、  等差数列的前项和公式：若已知首项和末项，则             ，

等差数列的首项是，公差是，则前n项和公式为            

所以，还可表示为关于的二次函数形式_________________。

5、 等差数列的性质：   已知数列是等差数列，是其前n项和

   （1）若，则 _______ 若，则  _________

   （2）仍是等差数列，公差为________；

(3)数列也是等差数列。

(4) ①若项数为，则，且，．

②若项数为，则，且，（其中，）．

二、课堂研究

例1、已知等差数列10,7,4，.....:

(1)试求此数列的第10项;

(2)-40是不是这个数列的项?-56是不是这个数列的项?如果是,是第几项?

例2、若等差数列{a_n}满足下列条件，求前n项和S_n：

（1）a₁=5，a_n=95，n=10；   （2）a₁=100，d=-2，n=50；

三、课堂练习

1.已知等差数列{} 中， ，则 (     )

A.－４　　　B.４　　　C.－８　　D.８

2.在数列{}中，是方程的两根，若{}是等差数列，则_______.

3. 设等差数列中，,则的值等于                  （    ）

A、11          B、22         C、29          D、12

4.在等差数列{a_n}中，若a₃+a₄+a₅+a₆+a₇=450，则a₂+a₈等于               （    ）

A.45            B.75            C.180          D.300

5. 等差数列{a_n}中，若a₂+a₄+a₉+a₁₁=32，则a₆+a₇=                        (     )

（A）9            （B）12           （C）15          （D）16

6.等差数列{}中，下列关系恒成立的是                               (     )

A.      B.     C.     D.

7.若等差数列中，则

8、等差数列中，…，…，则为（    ）

A．                B．                         C．             D．

9、已知某等差数列共有项，其奇数项之和为，偶数项之和为，则公差为（    ）

A．                              B．              C．                              D．

9、已知等差数列的首项为，公差是整数，从第项开始为负值，则公差为（    ）

A．                             B．                 C．                 D．

10、设是等差数列的前项和，若，则（    ）

A．                           B．                               C．                                     D．

10、若等差数列共有项，且奇数项的和为，偶数项的和为，则项数为

A．                              B．                 C．                D．

11、已知数列的通项公式为，则的前项和等于（    ）

A．            B．           C．         D．

12.设是等差数列的前n项和，已知，，则等于(   )

A．13            B．35               C．49                D． 63

   

13.等差数列的前n项和为，且 =6，=4， 则公差d等于

A．1         B                C.- 2                D 3

14.已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为   (   )

A.5          B.4           C. 3               D. 2

15.已知数列的通项为。若要使此数列的前n项和最大，则n的值为（）

（A）12  （B）13  （C）12或13    （D）14

16.等差数列{}中，若=+，则=            。

17.等差数列的前n项和．则此数列的公差  　　   。

18.已知数列{a_n}的前n项和S_n＝3n²－2n，求           。

19.已知等差数列{}的公差为正数，且·＝ －12，+=－4，求

20.等差数列{}的前m项的和为 30 ，2m项的和为 100 ，求它的前3m项的和为______ 。

21.已知等差数列的前项和为，若，则       ．

22.已知等差数列{}中，求．

23.在等差数列{}中，若+=9, =7, 求 ,

24.已知数列{}，若= 2n + 13 ，求达到最大值时n的值，并求的最大值。

25、在等差数列中，若，求该数列前项和．

 

第二篇：等差数列总结

二、等差数列 (高中重点总结)

1.等差数列的定义：an?an?1?d（d为常数）（n?2）；

2．等差数列通项公式：

an?a1?(n?1)d?dn?a1?d(n?N*) ， 首项:a1，公差:d，末项:an

推广： an?am?(n?m)d． 从而d?

3．等差中项

（1）如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项．即：A?

（2）等差中项：数列?an?是等差数列?2an?an-1?an?1(n?2)?2an?1?an?an?2

4．等差数列的前n项和公式： a?b或2A?a?b 2an?am； n?m

Sn?n(a1?an)n(n?1)d1?na1?d?n2?(a1?d)n?An2?Bn 2222

（其中A、B是常数，所以当d≠0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0）

特别地，当项数为奇数2n?1时，an?1是项数为2n+1的等差数列的中间项

S2n?1??2n?1??a1?a2n?1??2?2n?1?an?1（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项）

? 5．等差数列的判定方法 （1） 定义法：若an?an?1?d或an?1?an?d(常数n?N)? ?an?是等差数列．

⑶数列?an?是等差数列?an?kn?b（其中k,b是常数）。 （2） 等差中项：数列?an?是等差数列?2an?an-1?an?1(n?2)?2an?1?an?an?2．

（4）数列?an?是等差数列?Sn?An2?Bn,（其中A、B是常数）。

6．等差数列的证明方法

定义法：若an?an?1?d或an?1?an?d(常数n?N)? ?an?是等差数列． ?

7.提醒：

（1）等差数列的通项公式及前n和公式中，涉及到5个元素：a1、d、n、an及Sn，其中a1、d称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。

（2）设项技巧：

①一般可设通项an?a1?(n?1)d

②奇数个数成等差，可设为?，a?2d,a?d,a,a?d,a?2d?（公差为d）；

③偶数个数成等差，可设为?，a?3d,a?d,a?d,a?3d,?（注意；公差为2d）

8..等差数列的性质：

（1）当公差d?0时，

等差数列的通项公式an?a1?(n?1)d?dn?a1?d是关于n的一次函数，且斜率为公差d；

前n和Sn?na1?n(n?1)ddd?n2?(a1?)n是关于n的二次函数且常数项为0. 222

（2）若公差d?0，则为递增等差数列，若公差d?0，则为递减等差数列，若公差d?0，则为常数列。

（3）当m?n?p?q时,则有am?an?ap?aq，特别地，当m?n?2p时，则有am?an?2ap.

注：a1?an?a2?an?1?a3?an?2????，

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（4）若?an?、?bn?为等差数列，则??an?b?，??1an??2bn?都为等差数列

(5) 若{an}是等差数列，则Sn,S2n?Sn,S3n?S2n ，?也成等差数列

（6）数列{an}为等差数列,每隔k(k?N)项取出一项(am,am?k,am?2k,am?3k,???)仍为等差数列

（7）设数列?an?是等差数列，d为公差，S奇是奇数项的和，S偶是偶数项项的和，Sn是前n项的和

1.当项数为偶数2n时， *

n?a1?a2n?1?S奇?a1?a3?a5?????a2n?1??nan 2

n?a2?a2n?S偶?a2?a4?a6?????a2n??nan?1 2

S偶?S奇?nan?1?nan?n?an?1?an?

S奇nana??n S偶nan?1an?1

2、当项数为奇数2n?1时，则

?S奇n?1?S2n?1?S奇?S偶?(2n?1)an+1??S奇?(n?1)an+1??? ??S?S?aS?naSnn+1n+1?奇偶偶?偶??

（其中an+1是项数为2n+1的等差数列的中间项）．

（8）、{bn}的前n和分别为An、Bn，且

则

（9）等差数列{an}的前n项和Sm?n，前m项和Sn?m，则前m+n项和Sm?n???m?n?

(10)求Sn的最值

法一：因等差数列前n项是关于n的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性An?f(n)， Bnan(2n?1)anA2n?1???f(2n?1). nn2n?1n?N*。

法二：（1）“首正”的递减等差数列中，前n项和的最大值是所有非负项之和

即当a1?0，d?0， 由??an?0可得Sn达到最大值时的n值．

?an?1?0

?an?0可得Sn达到最小值时的n值． ?an?1?0 （2） “首负”的递增等差数列中，前n项和的最小值是所有非正项之和。 即 当a1?0，d?0， 由?

或求?an?中正负分界项

法三：直接利用二次函数的对称性：由于等差数列前n项和的图像是过原点的二次函数，故n取离二次函数对称轴最近的整数时，Sn取最大值（或最小值）。若S p = S q则其对称轴为n?

注意：解决等差数列问题时，通常考虑两类方法：

①基本量法：即运用条件转化为关于a1和d的方程；

②巧妙运用等差数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量．

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