高一数学 等差数列
一、考点、热点回顾
1.等差通项公式:;;递推公式:;
2.等差数列前n项公式:==
3.数列的关系:
4.(m+n=p+q);(m+n=2k)
5.若三个数成等差数列,则这三个数一般可设为;
若四个数成等差数列,则这四个数一般可设为。
6.公差为d的等差数列前n项和为,则仍成等差数列,公差为
7.已知是以公差为d的等差数列,若
,…,则成等差数列,公差为kd.即等差数列分成若干段后仍成等差数列。
8.等差数列若项数为奇数项,则;(设共有2n+1项);
若项数为偶数项,则; (设共有2n项)。
9.对等差数列前项和的最值问题有两种方法:
(1)利用:当>0,d<0,前n项和有最大值(可由≥0且≤0,求得n的值)
当<0,d>0,前n项和有最小值(可由≤0且≥0,求得n的值)
(2)利用:由二次函数配方求得最值时的n值。
10.已知两个等差数列前2n-1项和之比等于通项公式之比:
二、典型例题
例1.【与的关系】已知数列的前n项和为,求它的通项公式.
变式:已知数列的前n项和为,求它的通项公式.
例2.【整体思想】若一个等差数列前3项和为34,最后三项和为146,且所有项的和为390,则这个数列共有______项。
例3.【比值问题】已知两个等差数列{an},{bn},它们的前n项和分别是Sn,Tn,若
例4.在等差数列中,,,求。
方法一【方程思想】:
方法二【仍成等差数列】:
例5.【最值问题】已知一个等差数列满足且>0,求当n为何值时其前n项和取最大值。
方法一:
方法2:
例6.含有2n+1个项数的等差数列,其奇数项的和与偶数项的和之比为( )
A. B. C. D.
笔记:
三、实战演练
1.在等差数列中,公差,,则的值为(B )
(A)40 (B)45 (C)50 (D)55
2.一个项数是偶数的等比数列,它的偶数项的和是奇数项和的2倍,又它的首项为1,且中间两项的和为24,则此等比数列的项数为( C )
(A)12 (B)10 (C)8 (D)6
3.设Sn是等差数列{an}的前n项和,若=,则 = ( A )
(A) (B) (C) (D)
4.数列的前项和记为,求的通项公式。
5.在等差数列中,
6.在等差数列中,,,
(1)该数列第几项开始为正?
(2)前多少项和最小,并求其最小值?
(3)求前项和Sn?
(4)求前项和Tn?
7.等差数列中,,求使得Sn>0成立的最大自然数n。
8.各项均为正数的等差数列{an}中必有( )
A. B. C. D.
9.已知{an}是以公差为的等差数列,若
,…,则新数列的公差为 。
10.数列{an}的通项公式,它的前n项和为Sn=9,则n=( )
(A)9 (B)10 (C)99 (D)100
11.数列{an}、{bn}都是等差数列,它们的前n项的和为,则这两个数列的第5项的比为 ( )
(A) (B) (C) (D)以上结论都不对
二、等差数列 (高中重点总结)
1.等差数列的定义:an?an?1?d(d为常数)(n?2);
2.等差数列通项公式:
an?a1?(n?1)d?dn?a1?d(n?N*) , 首项:a1,公差:d,末项:an
推广: an?am?(n?m)d. 从而d?
3.等差中项
(1)如果a,A,b成等差数列,那么A叫做a与b的等差中项.即:A?
(2)等差中项:数列?an?是等差数列?2an?an-1?an?1(n?2)?2an?1?an?an?2
4.等差数列的前n项和公式: a?b或2A?a?b 2an?am; n?m
Sn?n(a1?an)n(n?1)d1?na1?d?n2?(a1?d)n?An2?Bn 2222
(其中A、B是常数,所以当d≠0时,Sn是关于n的二次式且常数项为0)
特别地,当项数为奇数2n?1时,an?1是项数为2n+1的等差数列的中间项
S2n?1??2n?1??a1?a2n?1??2?2n?1?an?1(项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项)
? 5.等差数列的判定方法 (1) 定义法:若an?an?1?d或an?1?an?d(常数n?N)? ?an?是等差数列.
⑶数列?an?是等差数列?an?kn?b(其中k,b是常数)。 (2) 等差中项:数列?an?是等差数列?2an?an-1?an?1(n?2)?2an?1?an?an?2.
(4)数列?an?是等差数列?Sn?An2?Bn,(其中A、B是常数)。
6.等差数列的证明方法
定义法:若an?an?1?d或an?1?an?d(常数n?N)? ?an?是等差数列. ?
7.提醒:
(1)等差数列的通项公式及前n和公式中,涉及到5个元素:a1、d、n、an及Sn,其中a1、d称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个,便可求出其余2个,即知3求2。
(2)设项技巧:
①一般可设通项an?a1?(n?1)d
②奇数个数成等差,可设为?,a?2d,a?d,a,a?d,a?2d?(公差为d);
③偶数个数成等差,可设为?,a?3d,a?d,a?d,a?3d,?(注意;公差为2d)
8..等差数列的性质:
(1)当公差d?0时,
等差数列的通项公式an?a1?(n?1)d?dn?a1?d是关于n的一次函数,且斜率为公差d;
前n和Sn?na1?n(n?1)ddd?n2?(a1?)n是关于n的二次函数且常数项为0. 222
(2)若公差d?0,则为递增等差数列,若公差d?0,则为递减等差数列,若公差d?0,则为常数列。
(3)当m?n?p?q时,则有am?an?ap?aq,特别地,当m?n?2p时,则有am?an?2ap.
注:a1?an?a2?an?1?a3?an?2????,
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(4)若?an?、?bn?为等差数列,则??an?b?,??1an??2bn?都为等差数列
(5) 若{an}是等差数列,则Sn,S2n?Sn,S3n?S2n ,?也成等差数列
(6)数列{an}为等差数列,每隔k(k?N)项取出一项(am,am?k,am?2k,am?3k,???)仍为等差数列
(7)设数列?an?是等差数列,d为公差,S奇是奇数项的和,S偶是偶数项项的和,Sn是前n项的和
1.当项数为偶数2n时, *
n?a1?a2n?1?S奇?a1?a3?a5?????a2n?1??nan 2
n?a2?a2n?S偶?a2?a4?a6?????a2n??nan?1 2
S偶?S奇?nan?1?nan?n?an?1?an?
S奇nana??n S偶nan?1an?1
2、当项数为奇数2n?1时,则
?S奇n?1?S2n?1?S奇?S偶?(2n?1)an+1??S奇?(n?1)an+1??? ??S?S?aS?naSnn+1n+1?奇偶偶?偶??
(其中an+1是项数为2n+1的等差数列的中间项).
(8)、{bn}的前n和分别为An、Bn,且
则
(9)等差数列{an}的前n项和Sm?n,前m项和Sn?m,则前m+n项和Sm?n???m?n?
(10)求Sn的最值
法一:因等差数列前n项是关于n的二次函数,故可转化为求二次函数的最值,但要注意数列的特殊性An?f(n), Bnan(2n?1)anA2n?1???f(2n?1). nn2n?1n?N*。
法二:(1)“首正”的递减等差数列中,前n项和的最大值是所有非负项之和
即当a1?0,d?0, 由??an?0可得Sn达到最大值时的n值.
?an?1?0
?an?0可得Sn达到最小值时的n值. ?an?1?0 (2) “首负”的递增等差数列中,前n项和的最小值是所有非正项之和。 即 当a1?0,d?0, 由?
或求?an?中正负分界项
法三:直接利用二次函数的对称性:由于等差数列前n项和的图像是过原点的二次函数,故n取离二次函数对称轴最近的整数时,Sn取最大值(或最小值)。若S p = S q则其对称轴为n?
注意:解决等差数列问题时,通常考虑两类方法:
①基本量法:即运用条件转化为关于a1和d的方程;
②巧妙运用等差数列的性质,一般地运用性质可以化繁为简,减少运算量.
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