《双曲线及其标准方程》教学反思

教学期望：

教学目标：双曲线是圆锥曲线中最复杂的一种，作为最后一种圆锥曲线学习。本节课主要内容是：（1）探求轨迹（双曲线）；（2）学习双曲线概念；（3）推导双曲线标准方程；（4）学习通过双曲线标准方程确定焦点的位置、通过已知条件确定双曲线方程的方法——这四个内容类比椭圆学习。通过本节课的学习期望实现以下目标：

在知识技能方面：（1）能理解并掌握双曲线的定义，了解双曲线的焦点、焦距；（2）能掌握双曲线的标准方程，能够根据双曲线的标准方程确定焦点的位置；

（3）能根据已知条件求双曲线的标准方程。

在过程与方法方面：（1）经历双曲线轨迹的探究，培养观察能力和探索发现能力；（2）在双曲线定义和标准方程的学习过程中培养类比推理能力、归纳能力，体会求轨迹方程过程中数形结合等数学思想方法的运用。

在情感态度方面：（1）经历双曲线及其标准方程的获得过程，感受数学的对称美和简单美；（2）通过主动探索，感受探索的乐趣，体会数学的理性和严谨；

（3）经历双曲线定义的获得过程，养成实事求是的科学态度，形成学习数学知识的积极态度

设计思路：本节课课堂教学期望采用学生主体——教师主导的双主模式，首先，复习椭圆的定义，提出问题“将椭圆定义中‘之和’改为‘之差’，轨迹是什么？”，通过拉链动画演示探究双曲线的轨迹，引入课题“双曲线及其标准方程”。其次采用启发式教学法与学生一起探究双曲线的定义，帮助学生深刻理解双曲线定义中“差的绝对值”和“常数大于0小于两定点距离”的条件。再次类比椭圆标准方程的推导过程，给出双曲线的标准方程，同时类比椭圆的标准方程进行理解学习，在此过程让学生总结椭圆和双曲线焦点位置判断和a、b、c关系的不同。最后对知识进行检测巩固，通过例题向学生示范规范解题过程，通过练习检测巩固学生是否突破难点，即通过双曲线的标准方程确定焦点位置和根据条件求双曲线的标准方程。

学生关系：通过活动组织、语言鼓励、正面评价，与学生形成良性互动，调动起学生参与课堂的积极性，把课堂的主体地位还给学生，促使知识生成由学生

自主完成。

教学效果反思：

教学期望实现情况：（1）教学目标：从双曲线定义的探究过程可以看出学生已经理解并掌握双曲线的定义；从课堂检测环节学生的练习情况可以看出学生已经学会通过双曲线的标准方程判断焦点的位置，同时能够根据已知条件求双曲线的标准方程；通过课堂小结环节，可以看出本节课三个教学目标基本实现。（2）设计思路：课堂知识通过一系列启发式问题让学生自主生成，实现双主模式；从课堂的引入到定义的探究、标准方程的学习以及知识的应用，各个环节均能按照教学设计顺利展开。（3）学生关系：课堂提出的问题能够启发学生积极的思考，通过语言鼓励、正面评价及热情感染，与学生形成了良性互动，调动起学生参与课堂的积极性，把课堂的主体地位还给学生，促使知识生成由学生自主完成。

教学成功之处：

教学方法上： 本节课采用启发探究式、互动式教学法进行教学，体现了认知心理学中“突出教学内容中主要的、本质的东西；将每堂课具体任务与整个教学任务合理地结合起来；选择最合理的教学方法和手段”的基本理论。

学习主体上：本节课为学生的主动参与提供了充分的时间和空间，让不同程度的学生勇于发表自己的各种观点，无论对错，凡是学生能够自己学习的、观察的、说明的、思考探究的，尽量都放手让给学生去做、去活动、去完成，调动起了学生学习积极性，拉近了师生距离，提高了知识的可接受度，让学生体会到了自己是学习的主体。从课堂上学生的表现来看，真正实现了将课本的知识、老师的知识转化为学生自己的知识。

学法指导上：本节课讲解与探究相结合、交流与练习互穿插，采用启发式探究法让学生始终处于问题探索研究状态，激情引趣。在和谐、愉悦的环境中给予学生适当的引导，促进学生说、想、做，注重“引、思、探、练”的结合，鼓励学生发现问题，大胆分析问题和解决问题。

学生评价上：本节课从操作能力、概括能力、学习兴趣、情绪情感方面对学习效果进行过程评价。对出现问题的学生，能够及时指出其可取之处并耐心引导，培养学生勇于面对挫折，持之以恒地探索精神；当学生做得精彩有创新，教师给予学生充分的鼓励，因此本节课学生在学习过程中兴趣浓厚，学得积极主动，课

堂气氛相对活跃。

教学不足之处与再设计：

1.课程导入环节

不足之处：通过动画演示完双曲线的图形后没有向学生强调两支曲线合起来叫双曲线，左边一支叫双曲线左支，右边一支叫双曲线右支。

原因分析：在设计时忽视了学生在这里会出现问题。

再设计：演示完双曲线图形，板书“双曲线及其标准方程”后向学生强调以上内容。

2.双曲线定义讲解环节

不足之处：在探究常数的条件时，对于不满足条件的情况——常数等于0和常数等于两定点间距离，学生没有分析出这两种情况下的轨迹图形，最后由教师给出。

原因分析：图形问题，学生仅凭想象不容易找出答案。

再设计：本环节先让学生思考，若学生想象不出，借用几何画板演示常数趋于0和趋于两定点间距离时点的轨迹，帮助学生猜想点的轨迹并说明猜想理由。

3.标准方程探究环节

不足之处：在双曲线和椭圆的标准方程比较时没有强调在椭圆中，分式较大的分母为a2；而双曲线中，正号分式的分母是a2。

原因分析：在双曲线和椭圆的标准方程比较时，学生已经分析出分母为a2的式子始终是正的，于是便默认学生可以反推正号分式的分母即为a2，没有再强调。

再设计：在比较双曲线和椭圆的标准方程时强调椭圆中，分式较大的分母为a2；而双曲线中，正号分式的分母是a2。

4.练习检测环节

不足之处：对学生说出的c等于正负4为及时进行更正。

原因分析：紧张导致只集中注意力听了学生的解题思路，对细节问题没有听出。

再设计：对学生容易出现错误的地方要谨慎，及时发现错误更正。

本节课经历了多次试讲打磨，是我们全组老师智慧的凝结。本节的成品课比

第一次的雏形课进步很大，由此我深深的体会到了集体的力量之巨大，合作的成效之显著。希望以后有更多的集体合作的机会。

 

第二篇：双曲线及其标准方程(2)的教学设计及教学反思

双曲线及其标准方程（二）的教学设计及教学反思

教学设计：

教学目标

1.进一步掌握双曲线的定义及其标准方程的求法，特别是用定义法和待定系数法；

2.了解双曲线定义及其标准方程知识在实际中的应用.

教学重点  双曲线的定义及其标准方程

教学难点  双曲线定义及其标准方程知识在实际中的应用

教学过程

1、复习回顾

（1）双曲线定义

（2）两种形式的标准方程

⑶根据下列条件，求双曲线的标准方程

①过点P(3,15/4),Q(－16/3,5)，且焦点在坐标轴上；

②经过点(－5,2)，且焦点在x轴上；

③与双曲线x²/16－y²/4＝1有相同的焦点，且经过点。

分析：①设双曲线方程为mx²＋ny²＝1(mn＜0)，则

解得∴所求方程为－x²/16＋y²/9＝1

小结：“巧设”方程为“为mx²＋ny²＝1(mn＜0)”避免分两种情况进行讨论。

②∵且焦点在x轴上，∴设标准方程为x²/m－y²/(6－m)＝1（0＜m＜6）

∵双曲线经过(－5,2)，∴25/m－4/(m－6)＝1，解得m＝5或m＝30（舍去）

∴所求方程为x²/5－y²＝1

③∵与双曲线x²/16－y²/4＝1有相同的焦点，

∴设所求双曲线的标准方程为

∵双曲线经过点，，解得λ＝4或λ＝－1(舍去)

∴所求方程为x²/12－y²/8＝1

小结：注意到了与双曲线 x²/16－y²/4＝1共焦点的双曲线系方程为后，便有了上述巧妙的设法。

⑷已知双曲线x²/a²－y²/b²＝1（a>0,b>0）,  求过它的焦点且垂直于x  轴的弦长

分析：设双曲线的一个焦点为F（c,0），过F且垂直于x轴的弦为AB，要求AB的长，

只需确定弦的一个端点A或B的纵坐标即可

|AB|＝2a²/c

变：双曲线x²/4－y²/12＝1上的点P到左焦点的距离为6，这样的点有＿个。

⑸①一动圆P过定点M（－4，0），且与已知圆N：(x－4)²＋y²＝16相切，求动圆圆心P的轨迹。

分析：由题意，列出动圆圆心满足的几何条件，若能由此条判断出动点的轨迹是哪种曲线，则可直接求出其轨迹方程来

内切时，定圆N在动圆P的内部，有|PC|＝|PM|－4，

外切时，有|PC|＝|PM|＋4，故点P的轨迹是双曲线x²/4－y²/12＝1。

②已知动圆P与定圆C₁：(x＋5)²＋y²＝49,C₂：(x－5)²＋y²＝1 都相切，求动圆圆心的轨迹的方程

分析：外切有|PC₁|＝7＋r, |PC₂|＝1＋r，∴|PC₁|－|PC₂|＝6，

内切有|PC₁|＝r－7, |PC₂|＝r －1，∴|PC₂|－|PC₁|＝6

故点P的轨迹是双曲线x²/9－y²/16＝1

2、探索研究：

例（课本）一炮弹在某处爆炸，在A处听到爆炸声的时间比在B处晚2 s.

（1）爆炸点应在什么样的曲线上？

（2）已知A、B两地相距800 m，并且此时声速为340 m/s，求曲线的方程.

解（1）由声速及A、B两处听到爆炸声的时间差，可知A、B两处与爆炸点的距离的差，因此爆炸点应位于以A、B为焦点的双曲线上.

因为爆炸点离A处比离B处更远，所以爆炸点应在靠近B处的一支上.

（2）如图8—14，建立直角坐标系xOy，使A、B两点在x轴上，并且点O与线段AB的中点重合.

设爆炸点P的坐标为（x,y），则

即2a=680,a=340.

又∴2c=800,c=400, b²=c²－a²=44400.

∵∴x>0.

所求双曲线的方程为：

   (x>0).

说明：该例表明，利用两个不同的观测点测得同一炮弹爆炸声的时间差，可以确定爆炸点所在的双曲线的方程，但不能确定爆炸点的准确位置.而现实生活中为了安全，我们最关心的则是爆炸点的准确位置，那么我们如何解决这个问题呢？

如果再增设一个观测点C，利用B、C（或A、C）两处测得的爆炸声的时间差，可以求出另一个双曲线的方程，解这两个方程组成的方程组，就能确定爆炸点的准确位置.这是双曲线的一个重要应用.

如果A、B两点同时听到爆炸声，说明爆炸点到A、B的距离相等，那么爆炸点应在怎样的曲线上？

AB的中垂线。

4、归纳总结

数学思想方法：数形结合，待定系数法，分类讨论

掌握双曲线的定义及其标准方程的推导，并利用焦点、焦距与方程关系确定双曲线方程.

5、课后作业　　习题8.3  4,5,6.

教学反思：

一、教学过程回顾

依据“一个为本，四个调整”（以学生发展为本，新型的师生关系、新型的教学目标、新型的教学方式、新型的呈现方式）的新的教学理念和教学目标设计教学过程。

1、导入新课：以在双曲线发展史中穿插对双曲线的定义及其标准方程的复习导入，双曲线的定义及其标准方程的内容，由两名学生分别发言给出的。预热用待定系数法求“双曲线”标准方程的“最近发展区”的两个引例，由三名学生先后补充完成。然后在老师引导下，全班学生经过讨论后，共同总结出待定系数法求方程的一般步骤：先定位后定量。此时师生共同消除了因随堂录象和优质课评选造成的紧张心理。课堂教学气氛也相当活跃，渐入佳境，非常轻松地进入了新课。

2、进入新课：教师投影106页例2，并引导学生分析已知条件设出方程组后，鼓励学生动手解答方程组，全班学生都非常积极地思考、讨论，当教师问学生：想到解决办法没有？有十多名学生回答：想到解法了。于是我就采用这几年来在课堂上经常采用的办法，让学生上讲台亲自为班上同学讲解，学生选出的代表上讲台后边讲边写出：由于所求解的是关于待定系数的一个分式方程组，并且分母的次数是2，用换元法可将它化为二元一次方程组，我对该生给予充分的鼓励和表扬，此时学生们思维活跃，情感和态度都进入佳境，之后另一名学生又非常大方地上黑板板书出二元一次方程组的解，进而写出双曲线的标准方程。学生们充分讨论、交流后，自己总结出待定系数法求双曲线标准方程和换元法解分母是2次的分式方程组的一般方法。学生们创新的火花不断闪现，先是自己对该例变式，解答后进行交流。老师适机给出一道练习题，帮助学生自己查找学习中的漏洞，接着学生又自己巩固、升华，归纳出一般式解法。进而探讨课本106页例3，在按照课本思路学习完该例后，再围绕本节重点知识双曲线定义对课本例3探究，开展研究性学习。探讨如下：若A、B两地相距680m，其余条件不变，曲线方程是什么？这个问题提出后，学生发现若爆炸点位于双曲线上，则方程中分母为0，一石激起前层浪，学生马上展开了激烈的讨论，教师引导学生再次回到双曲线的定义上，并用几何画板帮助学生加深对该定义的理解，最后学生观察、实验、计算、交流、归纳后指出双曲线定义中若将常数改为等于|F1F2|，则轨迹是以F1,F2为端点的两条射线，进而质疑课本上第一问答案，提出答案应为：爆炸点位于靠近B处的一支双曲线上或线段AB的延长线上的猜想．教师给予肯定。 

教师作为热烈讨论的平等氛围中的引导者，鼓励学生大胆探究、勇于创新，积极谈论和参与体验，留给学生更多的思考和探索，转变学习方式。验证学生的结果。

终结阶段：教师引导学生一起总结本节课，作业分为三种形式，体现作业的巩固性和发展性原则，弹性作业不作统一要求。

二、成功之处：

1、教学方法上：参考巴班斯基的“教学过程最优化”理论：“突出教学内容中主要的、本质的东西；将每堂课具体任务与整个教学任务合理地结合起来；选择最合理的教学方法和手段。”结合本节课的具体内容，确立启发探究式教学、互动式教学法进行教学。这两种教学方法，体现了认知心理学的基本理论。

2. 学习的主体上：课堂不再成为“一言堂”，学生也不再是教师注入知识的“容器瓶”，课堂上为学生的主动参与提供充分的时间和空间，让不同程度的学生勇于发表自己的各种观点（无论对错），选出代表上讲台讲解等做法，真正做到了“六让”：凡是学生能够自己学习的、观察的、讲的（口头表达）、思考探究的、合作交流的、动手操作的，尽量都放手让给学生去做、去活动、去完成，这样可以调动学生学习积极性，拉近师生距离，提高知识的可接受度，让学生体会到他们是学习的主体。进而完成知识的转化，变书本的知识、老师的知识成为自己的知识。

3、学生参与度上：课堂教学真正面向全体学生，让每个学生都享受到发展的权利。在我的启发鼓励下：全班40多个学生都争先恐后地举手回答，毫不掩饰地互相讨论，积极主动地上讲台表演讲解，练习巩固时，每个学生都经过独立思考后在前后左右的同学形成小组中进行了交流讨论，共同进步。

4、学生参与的“质量”上：课堂气氛不但很活跃，而且真正激发学生深层次的思维和情感的投入。捕捉住了学生发言中的闪光点和思维的火花，不只满足学生此起彼伏的热烈场面 。

5、“三维”课程目标的实现上：既关注掌握知识技能的过程与方法，又关注在这过程中学生情感态度价值观形成的情况。以双曲线发展史导入，让学生感受数学文化，呈现方式具有新异性，激发学习兴趣，通过对课本例2、例3的学习及变式探究，激发了学生将所学知识应用于实际的求知欲，体会数学的科学价值、应用价值、人文价值，开阔视野，体会数学的系统性、严密性，了解数学真理的相对性；崇尚数学的理性精神。

6、课程资源开发上：介绍数学史，培养浓厚的学习兴趣。寻求数学进步的历史轨迹，激发对于数学创新原动力的认识，接受优秀文化的熏陶，领会数学的美学价值，从而提高自身的文化素养和创新意识。备课时，对课本106页例3第一问进行认真研究，再次研读了大学《空间解析几何》中《双曲面》的有关知识，向有关专家请教，最后独立解决了这个问题。保证了知识的科学性。                                                

7、媒体运用上：利用多媒体形象动态的演示功能提高教学的直观性和趣味性，以提高课堂效益。老师学生在黑板上板书，向学生呈现出可操作性强的思维和解题过程。教材中对双曲线定义尽管很严密，但不够直观，所以用了几何画板辅助作图，声音、动画、影像等多种形式强化对学生感观的刺激，可以极大提高学习兴趣，变抽象为直观，加大一堂课的信息容量。

8、学生评价上：从操作能力、概括能力、学习兴趣、交流合作、情绪情感方面对学习效果进行过程评价。对出现问题的学生，教师指出其可取之处并耐心引导，这样有助于培养他们勇于面对挫折，持之以恒地科学探索精神；当学生做得精彩有创新，教师给予学生充分的鼓励，使得本节课学生在学习过程中兴趣浓厚,学得积极主动，课堂气氛活跃！从而进一步激发学生创造的潜能，提高他们的创新能力。

9、学法指导上：采用激发兴趣、主动参与、积极体验、自主探究的讲解讨论相结合，交流练习互穿插的活动课形式，学生始终处于问题探索研究状态之中，激情引趣。教师创设和谐、愉悦的环境及辅以适当的引导。促进学生说、想、做，注重“引、思、探、练”的结合，鼓励学生发现问题，大胆分析问题和解决问题.进行主动探究学习，形成师生互动的教学氛围。

10.教学实效上：既让学生在第一课时的基础上巩固、深化、应用双曲线的定义并掌握待定系数法求标准方程，又可加强对代数运算能力的培养，在此体验方程、化归、数形结合、分类整合等数学思想，为下一节《双曲线的几何性质》的学习即“由数到形”作了坚实铺垫和准备。解方程（方程组）直接影响圆锥曲线乃至解析几何的学习。通过创设情景、启发诱导、动手操作、练习巩固、总结归纳，应用提升等探究性活动，培养学生的数学创新精神和实践能力，使学生掌握待定系数法求解方程的规律，掌握换元法或整体代入的方法进行消元降次解分母是二次的分式方程组。本节课加强这方面的训练，起到承上启下的重要作用，保证下一阶段解析几何学习的顺利进行。

三、不足之处：

1．本节课的知识量比较大，而且是建立在上一课时双曲线定义和标准方程基础之上。这些知识学生都已经学过了，在课堂上只做了一个简单的复习(利用多媒体幻灯片演示，老师渗透数学史和学生一起回忆一遍)。但是在接下来的课堂上发现一部分学生由于课前预习的工作不够落实，导致课堂上简单的复习效果不好，从而影响到学生在第二个过程的例题讲解中反映出的思维比较的缓慢及无法进行有效的思考的问题，因此在以后的较学中要加强对学生学习习惯的培养，特别是课前预习的好的学习习惯，加强对上节课程的复习。

2．本节课课堂容量(安排的知识容量)偏大，在思维上也有比较特殊的地方，从而导致学生在课堂上的思考的时间不够，课堂时间比较紧张。因此今后在课时上应该合理地安排每一节课的课堂容量，给学生更多的思考时间和空间，提高课堂的效果。同时还要重视探究题的作用，因为班上有一部分同学体现出基础比较扎实，而且对数学也比较有兴趣，出一些比较难的思考题，能够让这部分学有余力的同学能有所提高。

3．从课堂的效果来看学生对运算的熟练还不够，他们总是担心会出问题，特别是解方程题缺乏化简的能力，教学上我的处理是在教学的过程中如果出现了这类问题，就具体跟学生讲解，然后让学生练习总结。今后还要加强对学生这方面能力的培养。

4、教学结束时对课本上例3第一问处理上还值得研究。

5、个别关注做得不够。

四、教学机智与学生创新

在课堂教学过程中，学生是学习的主体，学生总会有“创新的火花”在闪烁，这节课当讲完课本上例2学生练习时，我发现：学生将所求双曲线方程设为一般式，于是我马上问他是如何想到的，学生提出换元法的本质就是将所求双曲线方程设为，既避免了讨论又降低了方程组中未知数的次数，大大减少所需的运算。备课时原计划是讲完课本解法后，再把一般式作为单独解法介绍给学生，我马顿时受到启发，不必单独讲解一般式，现在只需回到课本上，把作为整体求解即可。这样，学生帮助我既节约了原本较紧的课堂用时，也提高了教学水平。更令人满意的是，学生们对课本例3第1问可以准确给出答案，弥补了不足，并能准确地说出理由，这是我没有想到的。故教师应当充分重视课堂上学生提出的一些独特见解，这样不仅使学生的好方法、好思路得以推广，而且对学生也是一种赞赏和和激励。还有这些难能可贵的见解也是对课堂教学的补充与完善，可以拓宽教师的教学思路。

五、再教设计

1、新课导入：首先，仍然用原来的方式，但要删掉引例中第1题，为后面多留点时间。以对双曲线定义和方程形式的复习来引导学生，指明双曲线两种不同形式的标准方程的统一形式是待定系数法解题的基础。

这样的引入方式，既保证本节课以数学文化为背景，又抓住了双曲线两种不同形式的标准方程的实质，确保学生解题的速度和准确性。此外，明白新知识来源于旧知识，促使学生运用模块思想和基本员的方法学习双曲线的标准方程，为顺利完成教学作好思维上的准备。

2、新课讲授：对课本例2的教法学法不变，让学生上黑板练习，更充分地暴露运算上的不足，给出练习答案后，仍然由学生交流算理，小结方法。但对课本例3应加大分析力度，让学生讨论得更清楚一点，知其然更知其所以然，对第1问答案的探讨要比原来教学淡化一点。这样设计的好处是：更能符合学生的认识水平，突出重点（巩固双曲线概念、掌握待定系数法求双曲线标准方程），突破难点（分母是2次的分式方程组的解法），达到教学目的。

3、终结阶段：作业布置不变，仍然分为三种形式，通过作业反馈学生掌握知识的效果，以利课后解决学生不掌握的地方。体现作业的巩固性和发展性原则。弹性作业不作统一要求，目的是帮助学生进一步深化对双曲线定义的理解，达到本堂课的教学目标。