重视解题反思 优化思维品质

作者 宫明星

单位 淮南市第十一中学

电话 139xxxxxxxx

【摘要】《数学课程标准》在“解决问题”这一基本目标中明确指出，要“着重培养学生回顾自己思考过程的习惯，初步学会分析思维过程中的得失，了解反思的含义，经历反思的活动，初步形成反思的意识”。 教师要重视学生解题后的反思，领悟这一要求，优化学生的思维品质，促进他们思维的发展。

【关键字】 解题反思 优化 思维品质

长期以来，数学解题一直都被认为是学习的巩固和提高的必要手段。在新课之后安排一定量的习题是知识掌握和能力提高的必要手段。但是很多学生往往只注重获取题目的正确答案，解题活动仅仅停留在经验水平上。还有不少老师和学生崇尚“题海战术”，认为学习数学必须做大量的有难度的习题，而忽略了从有限的习题中提取习题的精华，没有能够更深一步挖掘题目“命题的意图，考察的知识技能与思想，解决的方式方法，论证逻辑的是否严密以及有无最佳答案”等等。经常会出现学生做了大量习题，但是相当一部分是无用功，成绩没有明显提高，学习兴趣和信心反而被削弱。这些现象反映出，他们对待解题这一问题的态度过于单一化，没有能够多角度，多层次对问题及解决问题的思维过程进行全面的考察、分析与思考，从而深化对问题的理解，揭示问题的本质，探索解决问题的规律，没能有效提高个人的思维品质。著名美国数学家和数学教育家乔治?波利亚说过：“数学问题的解决仅仅只是一半，更重要的是解题之后的回顾”。我们解答数学题通常分四个步骤：审题——分析——解答——回顾，这个过程中的回顾就是解题反思。解题反思是对解题活动更深层次的思考，是再发现、再创造的过程。《数学课程标准》在“解决问题”这一基本目标中明确指出，要“着重培养学生回顾自己思考过程的习惯，初步学会分析思维过程中的得失，了解反思的含义，经历反思的活动，初步形成反思的意识”。所以，教师要重视学生解题后的反思，领悟这一要求，优化学生的思维品质，促进他们思维的发展。笔者结合长期的初中数学教学经验，谈谈我对解题反思的几点体会，请同行多多指教。

一 对解题疏漏进行反思，使思维的严密性得到优化

解数学题经常出现这一现象，对题目隐含的条件没能很好把握，以至于忽略了一些条件而使得解题结果不完备。虽然题目很容易、好理解，但是学生没能认真审题，没能对问题全面考虑而出现失误。

例1 已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像如图1所示，给出以下结论：①a+b+c﹤0；② a-b+c﹤0；③ b+2a﹤0；④ abc>0.其中正确结论的序号是（ ）

A. ③④ B. ②③ C. ①④ D. ①②③

b?1,c?0,故b>0，b+2a<0，2a

abc<0；又x=-1时y<0，故a-b+c<0；而x=1时y>0，故a+b+c>0，因

此②③正确.选B. 图

1

隐含条件的挖掘和利用，是近年中考数学中的“热点”问题。所谓隐含条件，就是在题目中未明确表达出来而客观上已存在的条件。解题时，这些条件往往容易被忽视而造成错解。若能挖掘出来，并充分利用，便可使问题获得正确解答。本题的隐含条件就在图中，如果没有认真审题而轻率解答，学生容易忽略图中当x=1或x=-1时函数值的正负。

例2 如图2，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大

可用长度为9米）围成一个中间隔有一道篱笆的长方形养

鸡场。设养鸡场的长BC为x米，面积为y米2。

①求y与x的函数关系式；

②当长方形的长为多少时，养鸡场的面积最大，最大面积是多少？

1b分析：易求得函数关系式y=?x2 +8x，根据“二次项系数 a＜0，当x=? 时，二次函数y有最32a

大值”得：当x=12时，y有最大值48。但此时研究实际问题中的函数关系，没有考虑到定义域（自变量的取值范围），忽略了附加条件“墙的最大可用长度为9米”，即在自变量的取值范围0＜ x ≤9内取不到x=12。所以正确的解答是要结合图象（如图3），从函数值变化的角度，才能确认当长方形的长最大值为9米时，养鸡场的面积最大为45米2。

因审题不清，概念模糊，忽视隐含条件，思维定势，套用相近知识，考虑不全面或计算出差错等，都能造成解题出现错误。知识缺漏、能力缺陷、思维逻辑混乱、非智力因素都可能造成解题疏漏。反思解题疏漏，就能充分利用“错误中往往孕育着的比正确更丰富的发现和创造因素”，找出错误的根源，分析出错的原因，从而有效避免思维的片面性，形成严谨全面的思维品质。

二 对解题思路进行反思，使思维的缜密性得到优化

数学是一个连贯性、条理性很强的学科，其中的问题也很具有类别性。而学生解题往往不注重对同一类问题解决思路的反思与归纳，以至于第二次、第三次甚至更多次地遇到同类问题还是束手无策。将同类问题的解答思路加以反思归纳，对学习极有帮助，对养成思维的良好习惯也很有意义。 例3 如图4，已知四边形ABCD是平行四边形，∠BCD的平分线CF交边AB于点F，∠ADC的角平分线DG交边AB于点G.

求证：（1）AF=GB；

（2）请你在已知条件的基础上再添加一个条件，使得△EFG为等腰三角形，并说明理由.

分析 由函数图像知：a﹤0，0﹤?

A F G B A F G B A E

B

图4 图6

分析：（1）与平行四边形内角平分线有关的，应该马上想到菱形，而且菱形的四条边相等对本题有帮助，所以可以尝试过F、G点做AD的平行线.易证四边形ADNG和四边形FMCB都是菱形，所以AG=AD=CB=BF,从而证明AF=GB，如图5.（2）要使得△EFG为等腰三角形，可以考虑将平行四边形与对称联想，而且只要使得∠EFG=∠EGF就可以，再有平行线性质，不难得出：将题目中的平行四边形条件加改为矩形就可以了，如图6.

与之类似，有这样一道练习题：在□ABCD中，AB=5,AD=7, ∠B、∠C的平分线交AD于E、F两点，则.在解决完上面的例题后，应该对其解题思路进行回顾和反思，思考在平行四边形这一知识框内，特殊的平行四边形与之有哪些联系与区别，遇到类似条件该如何应对等问题。这个练习题就与例题的条件比较接近，都含有“平行四边形、角平分线”等条件，如果没有对已学知识的整合与经验，对于一部分初中生来说，也许得花费一些时间。对解题思路的回顾反思，有助于对知识的整合，也是一个再提高的过程。学生养成解题后反思的习惯，有助于问题和思维的发散，达到能够举一反三、触类旁通的效果，这是思维品质优化的良好体现。

三 对解题的方法进行反思，灵活自己的思维

数学解题是“捕捉信息、提取条件、再组合”的三维一体的过程。很多题目有多种解法，解题时要善于寻求尽可能多的解法，在此基础上进行反思，将不同解法综合考虑，分析共同点和不同点，有哪些过程可以合并或转换，从不同方面、不同层次，多方面、多角度解决问题，殊途同归。有下面这样一道例题：

例4 如图7，在正三角形ABC的边BC、AC上分别 有点E、F，且满足BE=CF=a，EC=FA=b（a>b），当 a

BF平分AE时，则的值为（ ）

bF

A

?1

B 2

5?2

C 2

?1

D 2

?2

2

M

N 图5

D 解法1 由中点自然想到三角形的中位线，故构造以线段 MF为中位线的三角形.

如图8，不妨设AE与BF 的交点为点M，过点E作 DE∥BF交AC于点D，显然有 AF=DF=b， ∴DC=a-b.

又∵△CED∽△CBF， DCECba?bb

??，即?， ∴

DFBEaba

aaa5?1∴（）2--1=0，∴=.

bbb2

E 图7

C

F E 图8

C

M

解法2 以中点M为中心，构造△BME的全等三角形.

如图9，过点A作AH∥BC交BF的延长线于点H，则 △AHM≌△EBM，∴AH=BE=a.

AHAFab

??， 由△AHF∽△CBF，得：,即BCFCa?ba

化简得：a2-ab-b2=0.

视字母b为常数，由求根公式得

B

A

F

H

E 图9 A

B

C

a=

a5?1?1b，即=.

b22

解法3 以M为中心，构造△FAM的全等三角形.

如图10，过点E作EH∥AC交BF于点H，则 △EHM≌△AFM,HE=AF=b.

HEBE

?又∵△BEH∽△BCF，∴， CFBC

ba即?，化简得：a2-ab-b2=0. aa?b

a?1解得=.

b2

E 图10

本题用不同的辅助线帮助解决问题，此外，还有其他做法，如图11几个辅助线都可以将问题

解决.

F F F

B C C C E E E

图11

由于最终要求的是一个比值，所以不管是构造全等三角形，还是相似三角形，或者使用比例线段，都是为了用相等关系把a和b的关系建立起来.，最后用代数的方法求解.做完以后回过头反思这个题目的各种解法，不难得出它们之间有很多的联系，在寻找共同点的同时还要关注其不同点，这样才有助于学生锻炼发散思维。有时候，用不同方法解决问题后，发现最初的方法往往不是最优的。所以，我们要不断发掘学生的思维潜能，让他们在这样的学习方式下不断反思、提高，对解决问题的方法不断改进、优化，让他们在用最优方法解决问题的过程中得到成功的喜悦，提高思维的灵活性。

四 对习题的本质进行反思，深刻学生的思维

许多题目看似不同，但是本质问题都是一样的。在解题教学中，利用变式来改变题目的条件或结论，揭示条件、目标间的联系，解题思路中的方法之间的联系与规律，从而培养学生联想、转化、推理、归纳、探索的思维能力。学生在学习过程中要重视这类题目的搜集、整理，反思它们的本质共性，去异求同，寻求通法通解。 例5 （1）：如图12①，A是CD上一点，?ABC、?ADE都是正三角形，求证CE=BD；

（2）：如图12②，?ABD、?ACE都是正三角形，求证CD=BE；

（3）：如图12③，分别以?ABC的边AB、AC为一边画正方形AEDB和正方形ACFG，连接CE、BG，求证BG=CE；

（4）：如图12④，有公共顶点的两个正方形ABCD、BEFG，连接AG、EC，求证AG=EC；

（5）：如图12⑤，P是正方形ABCD内一点，?ABP绕点B顺时针方向旋转能与?CBP’重合，若PB=3，求PP’.

G

E

C ① ③ ② D

C ④ ⑤ 图12

上述题组中各小题都是将三角形旋转60°或90°，从而利用旋转的不变性使问题获得。由于借助旋转变化进行数学语言表达有一定难度，因此一般都是利用正三角形、正方形的性质，为证明全等三角形创造条件，并利用全等三角形的性质进行进一步的计算或证明。教师在教学时将之呈现给学生，让学生体会这些习题解答的共性。教学时没有必要告知学生生涩的思想方法，把它们寓于这些具体的习题中，学生便能够更容易地接受和驾驭。挖掘习题的本质，找寻其共性，并加工、整合，形成同类问题的通法，这才是教师应该引导学生逐渐形成的学习数学的思想方法，在这样的过程中不断提高，优化学生思维的深刻性。

《数学课程标准》要求着重培养学生回顾自己思考过程的习惯，初步学会分析思维过程中的得失，了解反思的含义，经历反思的活动，初步形成反思的意识。数学教师要注重引导学生解题反思，优化学生思维的品质。学习，实质上是学生学习习惯养成的过程。在数学课堂教学中，遵循学生认知发展规律，根据教学内容和目标加强解题之后的反思，对巩固基础、培养思维、提高能力有着重要的作用。

【参考文献】

1、《数学课程标准》(20xx年版) 北京师范大学出版社

2、《初中数学教与学》 扬州大学主办 2008.2

3、王东升 《解题反思－习题资源再生的催化剂》 中学数学教育 20xx年12期

4、余峥嵘 《重视反思，提高学习效率》 中小学数学 20xx年12期

5、柳海峰 《注重数学“解后感”，培养学生的创新思维》 数学网 2006.2

 

第二篇：反思反思

《季氏将伐颛臾》教学反思： 

    在学习《季氏将伐颛臾》一文时，我就设计了这样一个问题：孔子动怒的原因分析。大家围绕这个问题，结合课文，搜集材料，旁征博引，进行了广泛深入的讨论研究，终于找到了如下几点原因：其一，孔子治国的理念是“礼义教化”，他曾为此而周游列国，身体力行，明知不可为而为之；其二，孔子对当时“礼崩乐坏”的局面以及季氏伐附庸小国颛臾，是非常不满的；其三，孔子对冉有、季路既否认对季氏伐颛臾的赞同“吾二臣者皆不欲也”，又为其侵犯行为寻找借口“今夫颛臾，固而近于费，今不取，后世必为子孙忧”的两面派行为表示愤怒。一句话：孔子面对这种理念受阻，季氏无道，弟子不争气的状况必然要大动肝火。通过这一问题的研讨，学生不但深入了解了课文，而且研究能力也得到了有效的提高。

《在马克思墓前的讲话》教学反思
 
    在新课程背景下，经常提及的“预设”与“非预设”是一组相对概念，切忌重其一点，不及其余。绝对的“非预设”是虚无，绝对的“预设”是单边活动；“预设”的最高境界是“一切皆似无意间”，“非预设”的最高境界是“不着一字，尽得风流”。虽然时下对于“非预设”的呼声很高，但我认为规定了具体教学内容的课堂，其教学环节还是应该仔细揣摩、精心设计的。 
    好的语文课之所以姓语，在很大程度上是因为其紧紧抓住了文本语言这条主根。有了这条主根作为依托，再联合其他提供养料和水分的侧根、须根，才构成了枝繁叶茂的植株在地下的有力支撑。相反，如果削弱乃至缺少了这一支撑，植株的生命力可想而知。本课教学环节的设计紧紧围绕文本，相对独立又互相支持，力求使学生的读写能力在梯度合理、形式多样的活动训练中不断提高，从而全面提升学生的语文素养。  
    在环节实施和课堂运作中，教师不能只追求课堂形式上的活跃，只满足于口头上热闹愉悦的“来言去语”，应该想方设法将文本的学习体验落到实处，让我们的课堂教学留下“真正的痕迹”。力求把我们的语文课上成“扎实、平实、丰实、充实、真实”的课。本着“有趣、有序、有益、有效”的原则，将文本学习“物化”为一个个活动，引导学生在活动中学习语文，在活动中完善自我，进而完成语文素养和人格境界的全面提升。  
    回顾课堂运作及生成情况，感觉本课的教学存在以下缺憾与不足：
    1、过于关注文本语言的品味揣摩，对于文本内容严密的逻辑性挖掘不够。
    2、课堂上书面积累较少。
    3、对于文本的阅读探究与合作交流体现一般。

登高》教学反思

    杜甫的《登高》是学生比较熟悉的一节课，学生大多都已经会背诵这篇文章。上课似乎也因此没有什么充分的思考和准备，导致课堂上学生有没有动起来，课堂热不热闹。有多少东西次之。说得有理，课堂的精简和学生的活跃确实很重要。前半节学生思维活跃，互动较好，后半节就明显感到学生讲得太少，气氛不够热烈。这跟教师安排的内容太多，学生思考时间不够有必然的联系。课堂教学最重要的一条就是要懂得取舍，把重点拿过来，理解深透就行了。千万不要面面俱到，所谓“伤其十指，不如断其一指”，就是这个道理。还有就是，课堂要紧凑，不能散，要用几个层层递进的大问题串起来，问题不要多，要整体。其中的内容，让学生去体会发言，教师适当做一点引导。  

《锦瑟》教学反思： 
    “一篇《锦瑟》解人难”（王渔洋《论诗绝句》），李商隐这首短短的七言律诗，仅仅五十六字，却引出历代诗家的纷纭众说，有的以为是歌咏瑟声的“适、怨、清、和”的音乐意境的；有的以为是为一个名为锦瑟的侍婢而作的情歌；有的以为是诗人悼念亡妻的挽歌；也有的以为其诗是诗人回顾反思平生遭际之作。诗中的象征意义如何，那就有待专家们各抒己见了，更是莫衷一是，其语近乎虚无了。 
   《锦瑟》不易讲解，这是事实，就连金代大诗人元好问，也发出过如此的慨叹：“诗家总爱西昆好，独恨无人作郑笺”，但不易讲解绝不等于不能讲解，那我们在教学的时候，就应该鼓励学生形成自己的认识，没有必要把主题定位。但是，话说回来，这种主题的定位也要有一定的理论依据，不能让学生天马行空地乱说，教师还是要做好掌舵人的角色的。

《滕王阁序》教学反思

    就文章而言，《滕王阁序》是奇文妙文，但是就教学来说，又是一篇难文硬文。我们最怕辛辛苦苦教下来，学生的感觉却是一句“有什么好的”。《滕王阁序》就常常遭受这样的命运。这次重新碰到它，我原先也想不出好的花招，上网查了一下资料，也没有什么建设性的意见，顶多就整理文中的典故，以它为钥匙打开滕王阁的大门。但这样一来，学生要花很大的时间去打理，恐怕那点兴趣也被蚕食得差不多了。后来静下心来仔细地阅读课文，居然发现一条亦真亦假亦明亦暗亦断亦续的感情线索。相对典故相对文采这些“技”上的东西，它应该是“道”，是最根本的。那么能否以情感为“纲”，纲举目张，带动全文的教学，让学生体会王勃陆海潘江之才下的痛苦不安？  
    由于文章确实在文字理解上有难度，为了便于课堂上的教学，我布置学生预习时画一副王勃情感变化的心电图。因为以前从没干过类似的事情，从课堂上两个学生在黑板上的展示看，学生还是非常感兴趣的，而且，基本能把握王勃的心路历程。当两条情感变化图呈现在大家面前的时候，接下来的教学就简单了：一问是不是这样的情感，二问为什么会有这样的情感，三问这样的情感变化说明了什么，哪种情感是最真最根本？举最初的情感为例，绝大部分的学生概括为“兴”，也有学生认为兴中有悲。这样的理解无疑是对的，但又无疑以前者为主。那它从何而来？学生指出源自原原本本的两句话，“遥襟甫畅，逸兴遄飞”“兴尽悲来”，从文中筛选信息体现了学生的一种阅读技巧，不过教师不能到此为止，应该引导学生具体深入文本，在自主的基础上开展探究性学习。经过讨论，学生是能概括出这么几点的：盛地、盛宴、盛景、“盛”人。这样一来，王勃的“兴”就有了落脚点。  
    可以说，王勃在最初表现出来的逸兴只是斯时斯地的感触，真的是“躬逢盛宴”而已，最后对宾主的客套寒暄也是表面文章，对《滕王阁序》而言，这些均不足观。足观的是“失路之人”在强烈的渴望“望长安于日下”，在热切的盼望“奉宣室以何年”；足观的是“时运不齐，命途多舛”之人，在痛苦又慷慨地自己给自己加油鼓劲呐喊助威，“老当益壮”“穷且益坚”；足观的是“有怀投笔”者“无路请缨”，只好“奉晨昏于万里”，无奈到绝望。引导学生深入体会那一个个典故背后真正的意图，体会笑脸背后不堪回首的坎坷经历，年轻后的沧桑，辉煌后的伤痕。只有这样的情感才是最真的，只有这样的千古同悲才是文章真正的魅力所在，也只有这样读出来才算对得起王勃。  
    这样两节课下来，自己觉得上的较为轻松，也较为沉重。轻松的是纲举目张，一气呵成；沉重的是为王勃的失意与伤感，挣扎和自慰，为一颗不甘的灵魂。  

 秋声赋》教学反思： 
    《秋声赋》相对于《滕王阁序》来说是一篇比较简单的文言文，文中以对话的形式，把文章全部结合在一起。但是对秋声的描摹方面，有些难度，学生无法体会那种意境。本课的教学，我采用比较传统的教学方法，因为毕竟是文言文，落实字词是最为重要的，诵读也是必不可少的，平时的随堂课，似乎有些花样也失去了公开课时的重要性了。第一课时，先疏通文字，第二课时就文章思想内容上做进一步的深化。 
    以往在不同的场合听过许多节语文课，听课时我常常换位思考：如果是我，我该怎么上；如果我是学生，我希望老师怎么上。这样，就自以为发现这样两个问题：一是不少教师的讲课没有深度和新意，没有自己的学术思想和个性（或许原本也有，却不敢贸然在公开课上展示），缺少人文气息与魅力，课堂氛围表面的“虚假繁荣”难以保障上课质量的落实。二是教师讲课程式化，仿佛大家不约而同的一定要遵循某种套路，不难设想，长时间带领学生用固定的方式解读课文，会不可避免的束缚学生的思维多样性，这是很可悲的，也许，语文在学生心目中的学科地位很差和以上两点不无关系，所以，我主张能够用一些新的思路、新的角度来观照文本，那样，就会柳暗花明，获取新的教学灵感。以这节课为例：我尝试采用从哲学和美学两个层面来构建教学框架，强调教学的深度、广度和审美动能，强调对学生独立鉴赏能力与方法的培养，并相应介绍有关哲学、美学原理，拓展学生的学术视野和研读新天地。