复数知识点小结

一、知识要点：

1.虚数单位:(1)它的平方等于＿＿＿，即　；  (2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立.

2.与－1的关系: 就是－1的一个平方根，即方程x²=＿＿＿的一个根，方程x²=－1的另一个根是＿＿＿.

3.的周期性：⁴ⁿ⁺¹=＿＿＿, ⁴ⁿ⁺²=＿＿＿,  ⁴ⁿ⁺³=＿＿＿,  ⁴ⁿ=＿＿.

4.复数的定义：形如的数叫复数，＿＿＿叫复数的实部，＿＿叫复数的虚部.全体复数所成的集合叫做复数集，用字母＿＿＿表示.　

5.复数的代数形式: 复数通常用字母z表示，即，把复数表示成a+bi的形式，叫做复数的＿＿＿形式.

6.复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：

对于复数，当且仅当＿＿＿时，复数a+bi(a、b∈R)是实数a；当＿＿＿时，复数z=a+bi叫做虚数；当＿＿＿时，z=bi叫做纯虚数；当且仅当＿＿＿时，z就是实数0.

7.复数集与其它数集之间的关系：N＿＿＿Z＿＿＿Q＿＿＿R＿＿＿C.

8.两个复数相等的定义：

如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等.

即：如果a，b，c，d∈R，那么a+bi=c+di＿＿＿

一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如果两个复数都是实数，就可以比较大小.　只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小.　

9.复平面、实轴、虚轴：

点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi(a、b∈R)可用点Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴.实轴上的点都表示实数.

对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为(0，0)， 它所确定的复数是z=0+0i=0表示是实数.故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.

10.复数z₁与z₂的和的定义：z₁+z₂=(a+bi)+(c+di)= ＿＿＿.

复数z₁与z₂的差的定义：z₁-z₂=(a+bi)-(c+di)= ＿＿＿.

11.复数的加法运算满足交换律: z₁+z₂=＿＿＿.复数的加法运算满足结合律: (z₁+z₂)+z₃=＿＿＿.

12.乘法运算规则：设z₁=a+bi，z₂=c+di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)= ＿＿＿. 两个复数的积仍然是一个复数.

13.乘法运算律：

(1)z₁(z₂z₃)=(z₁z₂)z₃ ; (2)z₁(z₂+z₃)=z₁z₂+z₁z_3;  (3)z₁(z₂+z₃)=z₁z₂+z₁z₃.

14.除法运算规则：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.

15.共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为＿＿＿＿时，这两个复数叫做互为共轭复数，虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数.

16.共轭复数的运算性质：

(1) 互为共轭复数的两个复数在复平面上的对应点关于实轴对称.

(2)   ;(3);

(4) ;(5);

(6)   (7);(8)非零复数为纯虚数;

(9)若是实系数方程的根，则也是方程的根.

17. 复数加法的几何意义：如果复数z₁，z₂分别对应于向量、，那么，以OP₁、OP₂为两边作平行四边形OP₁SP₂，对角线OS表示的向量就是z₁+z₂的＿＿所对应的向量。  

18.复数减法的几何意义：两个复数的差与连接这两个向量终点并指向＿＿的向量对应.   ││的几何意义：复数差的模即复平面内复数对应的两点之间的距离。

19.复数的模：＿＿＿；=_____________。

20.复数集内的三角形不等式是：，其中左边在复数z₁、z₂对应的向量共线且反向（同向）时取等号，右边在复数z₁、z₂对应的向量共线且同向（反向）时取等号。

21.复数代数形式开平方：

复数开平方，只要令其平方根为，

由，解出有两组解

22.实系数一元二次方程的解：

对于实系数一元二次方程，记

（1）_____________________(2) ______________________

(3) _____________________(4) 韦达定理____________________

23.复平面内复数z对应的点的几个基本轨迹：

（1）z对应的点的轨迹是一个______________。

（2）圆面（不包括圆周）：。

（3）圆环面：，其中为r₁内半径，r₂为外半径，左边等号成立，包括内圆周；右边等号不成立，不包括外圆周。

（4）z对应的点的轨迹是线段的__________。

（5）z对应的点的轨迹有三种可能情形：

a)当时，轨迹为___________；

b)当时，z对应的点的轨迹为__________；

c)当时，z对应的点的轨迹为__________。

（6）z对应的点的轨迹有三种可能情形：

a)当时，z对应的点的轨迹为__________；

b) 当时，z对应的点的轨迹为___________；

c) 当时，z对应的点的轨迹为___________。

 

第二篇：复数知识点总结

复数

一、复数的概念

1.   虚数单位i

（1）  它的平方等于，即 ；

（2）  实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、乘法运算仍然成立，即满足交换律与结合律．

（3）  i的乘方： ，它们不超出的形式．

2.   复数的定义 

形如的数叫做复数， 分别叫做复数的实部与虚部

3.   复数相等 ，即，那么这两个复数相等

4.   共轭复数  时，．

性质：；；；

二、复平面及复数的坐标表示

1.   复平面 

在直角坐标系里，点z的横坐标是，纵坐标是，复数可用点来表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴为实轴，y轴出去原点的部分称为虚轴．

2.   复数的坐标表示   点

3.   复数的向量表示   向量．

4.   复数的模

在复平面内，复数对应点，点Z到原点的距离叫做复数z的模，记作．由定义知，．

三、复数的运算

1.   加法   ．

几何意义：设对应向量，对应向量，则对应的向量为．因此复数的和可以在复平面上用平行四边形法则解释．

2.   减法    ．

几何意义： 设对应向量，对应向量，则对应的向量为．

表示、两点之间的距离，也等于向量的模．

3.   乘法     

4.   乘方           

5.   除法 

6.   复数运算的常用结论

（1）  ，

（2）  ，

（3）  ，

（4）  ， ， ，．

（5）  ，

（6） 

（7）  ，，

四、复数的平方根与立方根

1.   平方根    若，则是的一个平方根，也是的平方根．  （1的平方根是．）

2.   立方根   如果复数、满足，则称是的立方根．

（1）  1的立方根：   ．

，，．         ．

（2）  的立方根： ．

五、复数方程

1.   常见图形的复数方程

（1）  圆：（，为常数），表示以对应的点为圆心，为半径的圆

（2）  线段的中垂线：（其中分别对应点）

（3）  椭圆： （其中且），表示以对应的点F1、F2为焦点，长轴长为的椭圆

（4）  双曲线： （其中且），表示以对应的点F1、F2为焦点，实轴长为的双曲线

2.   实系数方程在复数范围内求根

（1）       求根公式：

（2）       韦达定理：