求通项公式

题型1：等差、等比数列通项公式求解

1. 已知：等差数列{an}中，a3 + a4 = 15，a2a5 = 54，公差d < 0，求数列{an}的通项公式an

2. 已知{an}为等差数列，且a4?14,a5?a8?48.

（I）求{an}的通项公式；

（II）设

Sn是等比数列{bn}的前n项和，若成等差数列，求S4

3. 设等差数列{an}的前n项和为sn，公比是正数的等比数列{bn}的前n项和为Tn，已知

a1?1,b1?3,a3?b3?17,T3?S3?12,求{an},{bn}的通项公式

4. 已知等差数列{an}的公差不为零，且a3?5，a1,a2,a5成等比数列，求数列{an}的通项公式

5. 已知等比数列{an}中，a2?3,a5?81，求数列{an}的通项公式

题型2：由Sn与an关系求通项公式

（?S1n?1)利用公式法求数列的通项：①an?? S?S(n?2)n?1?n

例：设数列?an?的前n项和为Sn，且满足S1?2,Sn?1?3Sn?2.求通项公式an

211. 若数列?an?的前n项和Snan，则?an?的通项公式an＝________ 33

22. 已知数列{an}的前n项和Sn?n?n，正项等比数列{bn}中，b2?a3，bn?3bn?1?4bn(n?2,n?N?)，则2

log2bn?（ ）

A．n?1 B．2n?1 C．n?2 D．n

B．

3. 已知Sn为数列?an?的前n项和，求下列数列?an?的通项公式

2n （2）S?2n?3n?1S?2?1 n（1）n

4. 数列{an}的前n项和为Sn，a1?1,an?1?2Sn(n?N*).

（1）求数列{an}的通项an；

（2）求数列{nan}的前n项和Tn.

5. 已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn?a(Sn?an?1)（a为常数，a?0,a?1) （Ⅰ）求?an?的通项公式；

2（Ⅱ）设bn?an?Sn?an，若数列{bn}为等比数列，求a的值

6. 设各项为正数的数列?an?的前n和为Sn,且Sn满足.Sn2?(n2?n?3)Sn?3(n2?n)?0,n?N*

（1）求a1的值;

（2）求数列?an?的通项公式

（3）证明:对一切正整数n,有

题型3：迭代法求解

迭加法：适用于数列的后一项与前一项之间满足an?1?an?f(n)的关系

令an?1111?????a1(a1?1)a2(a2?1)an(an?1)3 ?(a

k?2nk?ak?1)+a1?(an?an?1)?(an?1?an?2)?......(a2?a1)?a1即可；

迭乘法：适用于数列的后一项与前一项之间满足an?1?anf(n).的关系. 令an?anan?1a?......2?a1即可 an?1an?2a1

例1：已知数列?an?中，a1?2,an?an?1?2n?1(n?2)，求数列?an?的通项公式

例2：数列?an?中，a1?1,an?n(an?1?an)，则数列?an?的通项an?( )

A.2n?1 B.n2 C.(

n?1n?1) nD.n

例3：已知Sn为数列?an?的前n项和，a1?1，Sn?n2?an，求数列?an?的通项公式.

例4：已知数列{an}满足a1?0，a2?1，an?2?3an?1?2an，则{an}的前n项和Sn=（ ）

nnnn A.2?n?1 B.2?n?1 C.2?2n?1 D.2?1

练习：

1. 数列?an?的首项为3，?bn?为等差数列且bn?an?1?an(n?N*)，若则b3??2，b10?12，则a8?

A．0 B．3 C．8 D．11

2. 已知数列?an?满足a1?33,an?1?an?2n,则

3. 已知数列?an?中，a1?2,(n?2)an?1?(n?1)an?0(n?N?)，求数列?an?的通项公式

4. 已知数列?an?满足a1?

an的最小值为__________ n2n,an?1?an，求an的通项公式 3n?1

5. 已知数列?an?中a1?

6. 设数列?an?满足a1?2,an?1?an?3?22n?1，求数列?an?的通项公式

7. 已知数列{an}、{bn}满足a1?1，a2?3，

（1）求数列{bn}的通项公式；

（2）数列{cn}满足cn?bn?log2(an?1)(n?N)，求Sn?c1?c2?......?cn

8. 等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5?45,S6?60.

（1）求{an}的通项公式an；

（2）若数列{an}满足bn?1?bn?an(n?N),且b1?3,求{

*11,an?1?an?2，求?an?的通项公式 24n?1bn?1?2(n?N*)，bn?an?1?an. bn*1的前n项和Tn.. bn

9. 若数列?an?的前n项和为Sn，对任意正整数n都有6Sn?1?2an，记bn?log1an．

2

（1）求a1,a2的值；

（2）求数列{bn}的通项公式；

10. 设公比大于零的等比数列?an?的前n项和为Sn，且a1?1， S4?5S2，数列?bn? 的前n项和为Tn，满足

b1?1，Tn?n2bn，n?N?，求数列?an?、?bn?的通项公式

题型4：待定系数法（构造等差、等比数列求通项） ① an?1?pan?q；②an?1?pan?qn；③an?1?pan?f(n)；④an?2?p?an?1?q?an.）

1. 适用范围：若an?1?pan?q,其中p,q为常数,pq(p?1)?0，则采用待定系数法求通项公式.

2. 解题思路：先利用待定系数法将递推公式转化为an?1?t?p(an?t),其中t?

再利用换元法转化为等比数列求解.

例1：数列?an?中，an?1?3an?2(n?N?),且a10?8，则a4?( ) q， 1?p

A.

180126 B.? D.? C.8181 2727

1. 已知数列?an?，a1?1,an?1?2an?3，求an.

2. 已知数列?an?中，a1?1,an?1?

3. 已知数列?an?满足a1=1,an+1=3an+1. (I) 证明{ an +

例2：已知数列?an?中，a1?1,an?1?2an?3n，求证：数列an?3n是等比数列，并求数列?an?的通项公式.

2an?2，求数列?an?的通项公式 31}是等比数列，并求{an}的通项公式 2??

n1. 已知数列?an?满足a1?1，且an?2an?1?2（n?2且n∈N*），求证：数列??an?是等差数列，并求数列?an?n??2?

的通项公式

2. 已知数列?an?的相邻两项an,an?1是关于x的方程x2?2nx?bn?0,(n?N?)的两根，且a1?1，求证：数列

1n??a??2?是等比数列，并求数列?an?的通项公式 ?n3??

3. 数列{an}满足：a1 = 5，an+1－an =

列{an}的通项公式

4. 数列?an?中，a1?1,an?an?1? 2(an+1＋an)＋15(n?N)，证明：数列{an+1－an}是一个等差数列，并求出数*nan?1(n?N?)，则?an?的通项an?

n2

5. 数列?an?前n项和Sn?，数列?bn?满足3bn?bn?1?n（n?2,n?N?）， 4

（1）求数列?an?的通项公式；

（2）求证：当b1?1时，数列?bn?an?为等比数列； 4

（3）在题（2）的条件下，设数列?bn?的前n项和为Tn，若数列?Tn?中只有T3最小,求b1的取值范围.

题型5：取倒数法：若an?1?pan，则两边取倒数可求通项公式 qan?s

2an,求an an?2例1：已知数列{an}满足a1?2,an?1?

1. 数列?an?中，a1?1,an?1?

2. 已知数列?an?的首项a1?

2an(n?N?)，则?an?的通项an? 2?an3an3，an?1?，求数列?an?的通项公式 52an?1

课后小测

1已知数列?an?的前n项和为Sn，且a1?1，an?1?2Sn．

（1）求a2,a3,a4的值；

（2）求数列

（3）设bn

?nan，求数列?bn?的前n项和Tn． ?an?的通项公式an；

2【07福建文】数列{an}的前n项和为Sn，a1?1,an?1?2Sn(n?N*)。

（2）求数列{an}的通项an； （2）求数列{nan}的前n项和Tn。

3设数列?an?满足a1?2,an?1?an?3?22n?1。

（1）求数列?an?的通项公式；

（2）令bn?nan，求数列?bn?的前n项和Sn。

4.已知数列{an}满足a1?1,Sn?

5已知数列?an?满足a1?3，anan?1?2an?1?1.

（1）求a2，a3， a4；

（2）求证：数列?(n?1)an,(n?N)，求{an}的通项公式 2?1??是等差数列，并求出?an?的通项公式。

?an?1?

n（3）若bn?(2n?1)2an,求?bn?的前n项和Tn

6.数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1?1，2Sn?(n?1)an.

（1）求{an}的通项公式； （2）求和Tn =

111. ????2a13a2(n?1)an

7数列{an}满足a1?2,a2?5,an?2?3an?1?2an.

（1）求证：数列{an?1?an}是等比数列；

（2）求数列{an}的通项公式；

（3）若bn?nan,求数列{bn}的前n项和Sn.

 

第二篇：求数列通项公式方法总结

求数列通项公式的方法总结：

1)     观察法。例如1、3、5、7、9……

2)     公式法。对于等差数列：a_n=a₁+(n-1)d;对于等比数列：a_n=a_1·q^n-1。

3)     形如a_n+1=pa_n+q,变形为（a_n+1+k）=p(a_n+k),其中k=q／(p-1)

构造数列｛a_n+k｝是以a₁+k为首项，p为公比的等比数列。

4)     形如a_n+2=pa_n+1+qa_n,,变形为a_n+2+ma_n+1=n(a_n+1+ma_n),自行解出m和n

构造数列｛a_n+1+ma_n｝是以a₂+ma₁为首项，n为公比的等比试列。 

5)     形如a_n+1=pa_n+qⁿ,变形为a_n+1/qⁿ=p/q·a_n/q^n-1+1,再利用3）的步

骤即可求出通项公式。

6)     形如a_n+1=pa_n+qⁿ+tⁿ,变形为a_n+1/qⁿ=p/q·a_n/q^n-1+（t/q）ⁿ+1,则先

忽略（t/q）ⁿ这一项,利用3）的方法配出3）的形式，然后再同时除以（t/q）ⁿ，再利用3）的步骤即可求出通项公式。

7)     a_n+1=ta_n/(p+qa_n)变形为1/a_n+1=p/t·1/a_n+q/t, 再利用3）的步

骤即可求出通项公式。

8)     利用s_n-s_n-1=a_n的关系求出通项公式。

利用以上方法求通项公式时，要用到数列求和的方法，下面

予以归纳：

1)     公式法。对于等差数列s_n=na₁+n·(n-1)d或s_n=n(a₁+a_n)/2,对

于等比数列s_n=a_1·q^n-I。

2)     常用的几个基本求和公式

a)     1+2+3+……+n=n·(n+1)/2

b)     1²+2²+3²+……+n²=n·(n+1)·(2n+1)/6

c)     1³+2³+3³+……+n³=n²·(n+1)²/4

d)     1+3+5+……+（2n-1）=n²

3)     倒序相加法。主要用于等差数列或组合数列。

4)     错位相减法。主要用于组合数列。

形如：s_n=a₁b₁+a₂b₂+……a_nbn(其中a₁,a₂…a_n为等差数

列,b₁,b₂…b_n为等比数列)

对上式两边同乘以等比数列的公比q得qs_n=a₁b₂+a₂b₃+…

+a_nb_n+1,两式再相减即可求出s_n。

5）分项求和。主要用于数列的通项是以分段形式给出或数列为摆动数列。

例如：数列｛a_n｝的前n项和为s_n=10n-n²

6)拆项相消法。主要用于通项为分式或无理式的数列求和。

形如1/n(n+k)=1/k·（1/n-1/(n+k)。