导数题型总结（解析版）

体型一:

关于二次函数的不等式恒成立的主要解法：

1、分离变量；2变更主元；3根分布；4判别式法

5、二次函数区间最值求法：（1）对称轴（重视单调区间）

与定义域的关系 （2）端点处和顶点是最值所在

其次，分析每种题型的本质，你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充分应用数形结合思想”，创建不等关系求出取值范围。

注意寻找关键的等价变形和回归的基础

一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立；

1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决：

第一步：令f(x)?0得到两个根；

第二步：画两图或列表；

第三步：由图表可知；

其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题，

2、常见处理方法有三种：

第一种：分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（>0,=0,<0）

第二种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----（已知谁的范围就把谁作为主元）；

例1：设函数y?f(x)在区间D上的导数为f?(x)，f?(x)在区间D上的导数为g(x)，若在区间D上，g(x)?0恒成立，则称函数y?f(x)在区间D上为“凸函数”，已知实数m是常数，'

x4mx33x2

f(x)??? 1262

（1）若y?f(x)在区间?0,3?上为“凸函数”，求m的取值范围；

（2）若对满足m?2的任何一个实数m，函数f(x)在区间?a,b?上都为“凸函数”，求b?a的最大值.

x4mx33x2x3mx2

????3x 解:由函数f(x)? 得f?(x)?126232

?g(x)?x2?mx?3

（1） ?y?f(x)在区间?0,3?上为“凸函数”，

则 ?g(x)?x?mx?3?0 在区间[0,3]上恒成立

解法一：从二次函数的区间最值入手：等价于gmax(x)?0

2

?g(0)?0??3?0???m?2

?g(3)?09?3m?3?0??

解法二：分离变量法：

∵ 当x?0时, ?g(x)?x?mx?3??3?0恒成立,

当0?x?3时, g(x)?x?mx?3?0恒成立 22

x2?33等价于m??x?的最大值（0?x?3）恒成立， xx

而h(x)?x?3（0?x?3）是增函数，则hmax(x)?h(3)?2 x

?m?2

(2)∵当m?2时f(x)在区间?a,b?上都为“凸函数”

2则等价于当m?2时g(x)?x?mx?3?0 恒成立

变更主元法

2 再等价于F(m)?mx?x?3?0在m?2恒成立（视为关于m的一次函数最值问题）

2?F(?2)?0???2x?x?3?0????1?x?1 ??2F(2)?0???2x?x?3?0

?b?a?2

例2：设函数f(x)??13x?2ax2?3a2x?b(0?a?1,b?R) 3

（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间和极值；

（Ⅱ）若对任意的x?[a?1,a?2],不等式f?(x)?a恒成立，求a的取值范围. （二次函数区间最值的例子）

22解：（Ⅰ）f?(x)??x?4ax?3a???x?3a??x?a?

?0?a?1

令f?

(x)?0,得f(x)的单调递增区间为（a,3a）

令f?(x)?0,得f(x)的单调递减区间为（－?，a）和（3a，+?）

∴当x=a时，f(x)极小值=? 33a?b; 当x=3a时，f(x)极大值=b. 4

22 （Ⅱ）由|f?(x)|≤a，得：对任意的x?[a?1,a?2],?a?x?4ax?3a?a恒成立①

?gmax(x)?a22则等价于g(x)这个二次函数? g(x)?x?4ax?3a的对称轴x?2a ?gmin(x)??a

a?1?a?a?2a（放缩法） ?0?a?1,

即定义域在对称轴的右边，g(x)这个二次函数的最值问题：单调增函数的最值问题。

g(x)?x2?4ax?3a2在[a?1,a?2]上是增函数.

∴g(x)max?g(a?2)??2a?1.

g(x)min?g(a?1)??4a?4.

?1,

x?aa?2? 于是，对任意x?[a?1,a?2]，不等式①恒成立，等价于 ?g(a?2)??4a?4?a,4解得?a?1. ?5?g(a?1)??2a?1??a

又0?a?1,∴4?a?1. 5

点评：重视二次函数区间最值求法：对称轴（重视单调区间）与定义域的关系

第三种：构造函数求最值

题型特征：f(x)?g(x)恒成立?h(x)?f(x)?g(x)?0恒成立；从而转化为第一、二种题型

例3；已知函数f(x)?x3?ax2图象上一点P(1,b)处的切线斜率为?3，

g(x)?x3?t?62x?(t?1)x?32(t?0)

（Ⅰ）求a,b的值；

（Ⅱ）当x?[?1,4]时，求f(x)的值域；

（Ⅲ）当x?[1,4]时，不等式f(x)?g(x)恒成立，求实数t的取值范围。

?f/(1)??3?a??3解：（Ⅰ）f(x)?3x?2ax∴?， 解得? ?b??2?b?1?a/2

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f(x)在[?1,0]上单调递增，在[0,2]上单调递减，在[2,4]上单调递减

又f(?1)??4,f(0)?0,f(2)??4,f(4)?16

∴f(x)的值域是[?4,16] （Ⅲ）令h(x)?f(x)?g(x)??t2x?(t?1)x?32x?[1,4]

2思路1：要使f(x)?g(x)恒成立，只需h(x)?0，即t(x?2x)?2x?6分离变量

思路2：二次函数区间最值

二、参数问题

题型一：已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围

解法1：转化为f(x)?0或f(x)?0在给定区间上恒成立， 回归基础题型

解法2：利用子区间（即子集思想）；首先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求的增或减区间的子集；

做题时一定要看清楚“在（m,n）上是减函数”与“函数的单调减区间是（a,b）”，要弄清楚两句话的区别：前者是后者的子集

例4：已知a?R，函数f(x)?''13a?12x?x?(4a?1)x． 122

（Ⅰ）如果函数g(x)?f?(x)是偶函数，求f(x)的极大值和极小值；

（Ⅱ）如果函数f(x)是(??,

解：f?(x)???)上的单调函数，求a的取值范围． 12x?(a?1)x?(4a?1). 4

131 （Ⅰ）∵ f?(x)是偶函数，∴ a??1. 此时f(x)?x?3x，f?(x)?x2?3， 124

令f?(x)?0，解得：x??23.

列表如下：

可知：f(x)的极大值为f(?23)?43， f(x)的极小值为f(23)??43. （Ⅱ）∵函数f(x)是(??,

∴f?(x)???)上的单调函数， 12x?(a?1)x?(4a?1)?0，在给定区间R上恒成立判别式法 4

122则??(a?1)?4??(4a?1)?a?2a?0， 解得：0?a?2. 4

综上，a的取值范围是{a0?a?2}.

例5、已知函数f(x)?131x?(2?a)x2?(1?a)x(a?0). 32

（I）求f(x)的单调区间；

（II）若f(x)在[0，1]上单调递增，求a的取值范围。子集思想

（I）

f?(x)?x?(2?a)x?1?a?(x?1)(x?1?a).

2 1、当a?0时,f?(x)?(x?1)?0恒成立, 2

当且仅当x??1时取“=”号，f(x)在(??,??)单调递增。

2、当a?0时,由f?(x)?0,得x1??1,x2?a?1,且x1?x2,

单调增区间：(??,?1),(a?1,??) 单调增区间：(?1,a?1)

（II）当?f(x)在[0,1]上单调递增, 则?0,1?是上述增区间的子集：

1、a?0时，f(x)在(??,??)单调递增 符合题意

2、?0,1???a?1,???，?a?1?0 ?a?1

综上，a的取值范围是[0，1]。

三、题型二：根的个数问题

题1函数f(x)与g(x)（或与x轴）的交点======即方程根的个数问题

解题步骤

第一步：画出两个图像即“穿线图”（即解导数不等式）和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后减再增”还是“先减后增再减”；

第二步：由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式（组）；主要看极大值和极小值与0的关系； 第三步：解不等式（组）即可；

例6、已知函数f(x)?13(k?1)21x?x，g(x)??kx，且f(x)在区间(2,??)上为增函数． 323

（1） 求实数k的取值范围；

（2） 若函数f(x)与g(x)的图象有三个不同的交点，求实数k的取值范围．

解：（1）由题意f?(x)?x?(k?1)x ∵f(x)在区间(2,??)上为增函数，

∴f?(x)?x?(k?1)x?0在区间(2,??)上恒成立（分离变量法）

即k?1?x恒成立，又x?2，∴k?1?2，故k?1∴k的取值范围为k?1 22

x3(k?1)21?x?kx?， （2）设h(x)?f(x)?g(x)?323

h?(x)?x2?(k?1)x?k?(x?k)(x?1)

令h?(x)?0得x?k或x?1由（1）知k?1，

①当k?1时，h?(x)?(x?1)?0，h(x)在R上递增，显然不合题意?

②当k?1时，h(x)，h?(x)随x的变化情况如下表：

2

由于k?1?0，欲使f(x)与g(x)的图象有三个不同的交点，即方程h(x)?0有三个不同的实根，故2

?k?1k3k212需?，解得k?1?3 ???0，即(k?1)(k?2k?2)?0 ∴?2623?k?2k?2?0

综上，所求k的取值范围为k?1?

根的个数知道，部分根可求或已知。

例7、已知函数f(x)?ax?33 12x?2x?c 2

（1）若x??1是f(x)的极值点且f(x)的图像过原点，求f(x)的极值；

（2）若g(x)?12bx?x?d，在（1）的条件下，是否存在实数b，使得函数g(x)的图像与函数f(x)的2

图像恒有含x??1的三个不同交点？若存在，求出实数b的取值范围；否则说明理由。

解：（1）∵f(x)的图像过原点，则f(0)?0?c?0 f?(x)?3ax?x?2，

又∵x??1是f(x)的极值点，则f?(?1)?3a?1?2?0?a??1 2

?f?(x)?3x2?x?2?(3x?2)(x?1)?0 f极大值(x)?f(?1)?

3222 f极小值(x)?f?)? 237

（2）设函数g(x)的图像与函数f(x)的图像恒存在含x??1的三个不同交点，

等价于f(x)?g(x)有含x??1的三个根，即：f(?1)?g(?1)?d??1(b?1) 2

?x3?1211x?2x?bx2?x?(b?1)整理得：

222

1132即：x?(b?1)x?x?(b?1)?0恒有含x??1的三个不等实根 22

1132（计算难点来了：）h(x)?x?(b?1)x?x?(b?1)?0有含x??1的根， 22

则h(x)必可分解为(x?1)(二次式)?0，故用添项配凑法因式分解，

11x3?x2?x2?(b?1)x2?x?(b?1)?0 22

1?1?x2(x?1)??(b?1)x2?x?(b?1)??0 2?2?12x2(x?1)??(b?1)x?2x?(b?1)???0 2?

1 十字相乘法分解：x2(x?1)??(b?1)x?(b?1)??x?1??0 2

11??(x?1)?x2?(b?1)x?(b?1)??0 22??11?x3?(b?1)x2?x?(b?1)?0恒有含x??1的三个不等实根 22

112等价于x?(b?1)x?(b?1)?0有两个不等于-1的不等实根。 22

11?2??(b?1)?4?(b?1)?0??42???b?(??,?1)?(?1,3)?(3,??) 11?(?1)2?(b?1)?(b?1)?0??22

题2：切线的条数问题====以切点x0为未知数的方程的根的个数

例7、已知函数f(x)?ax?bx?cx在点x0处取得极小值－4，使其导数f'(x)?0的x的取值范围为(1,3)，求：（1）f(x)的解析式；（2）若过点P(?1,m)可作曲线y?f(x)的三条切线，求实数m的取值范围．

（1）由题意得：f'(x)?3ax?2bx?c?3a(x?1)(x?3),(a?0)

∴在(??,1)上f'(x)?0；在(1,3)上f'(x)?0；在(3,??)上f'(x)?0

因此f(x)在x0?1处取得极小值?4

∴a?b?c??4①，f'(1)?3a?2b?c?0②，f'(3)?27a?6b?c?0③ 232

?a??1?32由①②③联立得：?b?6，∴f(x)??x?6x?9x

?c??9?

（2）设切点Q(t,f(t))，y?f(t)?f(t)(x?t) ,

y?(?3t2?12t?9)(x?t)?(?t3?6t2?9t)

?(?3t2?12t?9)x?t(3t2?12t?9)?t(t2?6t?9)

?(?3t2?12t?9)x?t(2t2?6t)过(?1,m)

m?(?3t2?12t?9)(?1)?2t3?6t2

g(t)?2t3?2t2?12t?9?m?0

令g'(t)?6t?6t?12?6(t?t?2)?0，

求得：t??1,t?2，方程g(t)?0有三个根。 22

需：??g(?1)?0??2?3?12?9?m?0?m?16???? g(2)?016?12?24?9?m?0m??11???

故：?11?m?16；因此所求实数m的范围为：(?11,16)

题3：已知f(x)在给定区间上的极值点个数则有导函数=0的根的个数 解法：根分布或判别式法

例8、

17解：函数的定义域为R（Ⅰ）当m＝4时，f (x)＝ x3－2＋10x， 32

f?(x)＝x2－7x＋10，令f?(x)?0 ， 解得x?5,或x?2.

令f?(x)?0 ， 解得2?x?5

可知函数f(x)的单调递增区间为(??,2)和（5，＋∞），单调递减区间为?2,5?． （Ⅱ）f?(x)＝x2－(m＋3)x＋m＋6,

要使函数y＝f (x)在（1，＋∞）有两个极值点,?f?(x)＝x2－(m＋3)x＋m＋6=0的根在（1，＋∞）

根分布问题：

????(m?3)2?4(m?6)?0;?则?f?(1)?1?(m?3)?m?6?0;， 解得m＞3

?m?3??1.?2

例9、已知函数f(x)?a3121（2）令g(x)＝x4＋f（x）x?x，(a?R,a?0)（1）求f(x)的单调区间；432

（x∈R）有且仅有3个极值点，求a的取值范围．

解：（1）f(x)?ax?x?x(ax?1) '2

11或x?0，令f'(x)?0解得??x?0， aa

11所以f(x)的递增区间为(??,?)?(0,??)，递减区间为(?,0). aa11当a?0时，同理可得f(x)的递增区间为(0，?)，递减区间为(??,0)?(?,??). aa

14a312（2）g(x)?x?x?x有且仅有3个极值点 432当a?0时，令f(x)?0解得x??'

?g?(x)?x3?ax2?x?x(x2?ax?1)=0有3个根，则x?0或x2?ax?1?0，a??2 方程x?ax?1?0有两个非零实根，所以??a?4?0, 22

?a??2或a?2

而当a??2或a?2时可证函数y?g(x)有且仅有3个极值点

其它例题：

1、（最值问题与主元变更法的例子）.已知定义在R上的函数f(x)?ax?2ax?b在区间??2,1?（a?0）32

上的最大值是5，最小值是－11.

（Ⅰ）求函数f(x)的解析式；

（Ⅱ）若t?[?1,1]时，f?(x）?tx?0恒成立，求实数x的取值范围.

解：（Ⅰ）?f(x)?ax?2ax?b,?f(x)?3ax?4ax?ax(3x?4)

令f(x)=0,得x1?0,x2?'32'24???2,1? 3

因为a?0，所以可得下表：

因此f(0)必为最大值,∴f（0）?5因此b?5， ?f(?2)??16a?5,f(1)??a?5,?f(1)?f(?2)，

即f(?2)??16a?5??11，∴a?1，∴ f(x）?x?2x?5.

2（Ⅱ）∵f?(x)?3x?4x，∴f?(x）?tx?0等价于3x2?4x?tx?0，

232令g(t)?xt?3x?4x，则问题就是g(t)?0在t?[?1,1]上恒成立时，求实数x的取值范围，

?3x2?5x?0?g(?1)?0为此只需?，即?2， g（1)?0x?x?0??

解得0?x?1，所以所求实数x的取值范围是[0，1].

2、（根分布与线性规划例子）

（1）已知函数f(x)?23x?ax2?bx?c 3

(Ⅰ) 若函数f(x)在x?1时有极值且在函数图象上的点(0,1)处的切线与直线3x?y?0平行, 求f(x)的解析式；

(Ⅱ) 当f(x)在x?(0,1)取得极大值且在x?(1,2)取得极小值时, 设点M(b?2,a?1)所在平面区域为S, 经过原点的直线L将S分为面积比为1:3的两部分, 求直线L的方程.

解： (Ⅰ). 由f?(x)?2x?2ax?b, 函数f(x)在x?1时有极值 ,

∴ 2a?b?2?0

∵ f(0)?1 ∴ c?1 2

又∵ f(x)在(0,1)处的切线与直线3x?y?0平行,

∴ f?(0)?b??3 故 a?

∴ f(x)?1 22312x?x?3x?1 ……………………. 7分 32

2 (Ⅱ) 解法一: 由f?(x)?2x?2ax?b 及f(x)在x?(0,1)取得极大值且在x?(1,2)取得极小值,

?f?(0)?0?∴ ?f?(1)?0 即

?f?(2)?0??b?0??2a?b?2?0 令M(x,?4a?b?8?0??x?b?2 y), 则 ??y?a?1

?a?y?1∴ ? ∴ b?x?2?

易得A(?2,?x?2?0??2y?x?2?0 故点M所在平面区域S为如图△ABC, ?4y?x?6?0?30), B(?2,?1), C(2,?2), D(0,?1), E(0,?), S?ABC?2 2

同时DE为△ABC的中位线, S?DEC?1S四边形ABED 3

∴ 所求一条直线L的方程为: x?0

另一种情况设不垂直于x轴的直线L也将S分为面积比为1:3的两部分, 设直线L方程为y?kx,它与AC,BC分别交于F、G, 则 k?0, S四边形DEGF?1

?y?kx2由 ? 得点F的横坐标为: xF?? 2y?x?2?02k?1?

由 ??y?kx6 得点G的横坐标为: xG?? 4k?1?4y?x?6?0

∴S四边形DEGF解得: k??S?OGE?S?OFD ???13612??1??1即 16k2?2k?5?0 224k?122k?1151 或 k?? (舍去) 故这时直线方程为: y?x 282

1综上,所求直线方程为: x?0或y?x .…………….………….12分 2

(Ⅱ) 解法二: 由f?(x)?2x?2ax?b 及f(x)在x?(0,1)取得极大值且在x?(1,22)取得极小值,

?f?(0)?0?∴ ?f?(1)?0 即

?f?(2)?0??b?0??2a?b?2?0 令M(x,?4a?b?8?0??x?b?2

y), 则 ??y?a?1

?a?y?1∴ ? ∴ b?x?2?

易得A(?2,?x?2?0??2y?x?2?0 故点M所在平面区域S为如图△ABC, ?4y?x?6?0?30), B(?2,?1), C(2,?2), D(0,?1), E(0,?), S?ABC?2 2

同时DE为△ABC的中位线, S?DEC?1S四边形ABED ∴所求一条直线L的方程为: x?0 3

1x, 设直线BO与AC交于H , 2另一种情况由于直线BO方程为: y?

1?1?y?x由 ? 得直线L与AC交点为: H(?1,?) 22?2y?x?2?0?

∵ S?ABC?2, S?DEC?1111111??2?, S?ABH?S?ABO?S?AOH??2?1??2?? 2222222

1x 2

32 ∴ 所求直线方程为: x?0 或y?3、（根的个数问题）已知函数f(x)?ax?bx?(c?3a?2b)x?d (a?0)的图象如图所示。

（Ⅰ）求c、d的值；

（Ⅱ）若函数f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线方程为3x?y?11?0，

求函数f ( x )的解析式；

（Ⅲ）若x0?5,方程f(x)?8a有三个不同的根，求实数a的取值范围。

解：由题知：f?(x)?3ax?2bx+c-3a-2b

（Ⅰ）由图可知 函数f ( x )的图像过点( 0 , 3 )，且f??1?= 0 2

得??d?3?d?3 ??3a?2b?c?3a?2b?0c?0??

（Ⅱ）依题意 f??2?= – 3 且f ( 2 ) = 5

?12a?4b?3a?2b??3 解得a = 1 , b = – 6 ?8a?4b?6a?4b?3?5?所以f ( x ) = x3 – 6x2 + 9x + 3

（Ⅲ）依题意

f ( x ) = ax3 + bx2 – ( 3a + 2b )x + 3 ( a＞0 ) 由f??5?= 0?b = – 9a ①

f??x?= 3ax2 + 2bx – 3a – 2b

若方程f ( x ) = 8a有三个不同的根，当且仅当 满足f ( 5 )＜8a＜f ( 1 ) ② 由① ② 得 – 25a + 3＜8a＜7a + 3?所以 当1＜a＜3 111＜a＜3时，方程f ( x ) = 8a有三个不同的根。???? 12分 11

14、（根的个数问题）已知函数f(x)?x3?ax2?x?1(a?R) 3

（1）若函数f(x)在x?x1,x?x2处取得极值，且x1?x2?2，求a的值及f(x)的单调区间；

（2）若a?115，讨论曲线f(x)与g(x)?x2?(2a?1)x?(?2?x?1)的交点个数． 226

2 解：（1）f'(x)?x?2ax?1

?x1?x2?2a,x1?x2??

1

?x1?x2???2

?a?0???????????????????????????2分

f?(x)?x2?2ax?1?x2?1

令f?(x)?0得x??1,或x?1

令f?(x)?0得?1?x?1

∴f(x)的单调递增区间为(??,?1)，(1,??)，单调递减区间为(?1,1)????5分

（2）由题f(x)?g(x)得1315x?ax2?x?1?x2?(2a?1)x? 326

13121即x?(a?)x?2ax??0 326

13121令?(x)?x?(a?)x?2ax?(?2?x?1)????????6分 326

???(x)?x2?(2a?1)x?2a?(x?2a)(x?1)

令??(x)?0得x?2a或x?1?????????????????7分

?a?1 2

当2a??2即a??1时

9?0，a?0，有一个交点；??????????9分 2

1当2a??2即?1

?a?时， 此时，?8a?

?a2(3?2a)??0, 36

99∴当?8a??0即?1?a??时,有一个交点； 216

99当?8a??0，且a?0即??a?0时，有两个交点； 216

19 当0?a?时，?8a??0，有一个交点．?????????13分 22

91综上可知，当a??或0?a?时，有一个交点； 162

9 当??a?0时，有两个交点．?????????????14分 16

x325、（简单切线问题）已知函数f(x)?2图象上斜率为3的两条切线间的距离为，函数5a

g(x)?f(x)?3bx． ?3a2

（Ⅰ） 若函数g(x)在x?1处有极值，求g(x)的解析式；

（Ⅱ） 若函数g(x)在区间[?1,1]上为增函数，且b?mb?4?g(x)在区间[?1,1]上都成立，求实数m的取值范围．

2