导数题型总结

题型一:

关于二次函数的不等式恒成立的主要解法：

1、分离变量；     2变更主元；    3根分布；       4判别式法

5、二次函数区间最值求法：（1）对称轴（重视单调区间）与定义域的关系         

                         （2）端点处和顶点是最值所在

其次，分析每种题型的本质，你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充分应用数形结合思想”，创建不等关系求出取值范围。

注意寻找关键的等价变形和回归的基础

一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立；

1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决：

第一步：令得到两个根；  第二步：画两图或列表；  第三步：由图表可知；

其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题，

2、常见处理方法有三种：

第一种：分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（>0,=0,<0）

第二种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----（已知谁的范围就把谁作为主元）；

例1：设函数在区间D上的导数为，在区间D上的导数为，若在区间D上，恒成立，则称函数在区间D上为“凸函数”，已知实数m是常数，

（1）若在区间上为“凸函数”，求m的取值范围；

（2）若对满足的任何一个实数，函数在区间上都为“凸函数”，求的最大值.

    

例2：设函数

（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间和极值；

（Ⅱ）若对任意的不等式恒成立，求a的取值范围.

第三种：构造函数求最值

题型特征：恒成立恒成立；从而转化为第一、二种题型

例3；已知函数图象上一点处的切线斜率为，

（Ⅰ）求的值；        （Ⅱ）当时，求的值域；

（Ⅲ）当时，不等式恒成立，求实数t的取值范围。

二、参数问题

题型一：已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围

解法1：转化为在给定区间上恒成立， 回归基础题型

解法2：利用子区间（即子集思想）；首先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求的增或减区间的子集；

例4：已知，函数．

（Ⅰ）如果函数是偶函数，求的极大值和极小值；

（Ⅱ）如果函数是上的单调函数，求的取值范围．

                            

例5、已知函数

（I）求的单调区间；

（II）若在[0，1]上单调递增，求a的取值范围。

三、题型二：根的个数问题

题1函数f(x)与g(x)（或与x轴）的交点======即方程根的个数问题

解题步骤

第一步：画出两个图像即“穿线图”（即解导数不等式）和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后减再增”还是“先减后增再减”；

第二步：由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式（组）；

主要看极大值和极小值与0的关系；

第三步：解不等式（组）即可；

例6、已知函数，，且在区间上为增函数．

（1）求实数的取值范围；

（2）若函数与的图象有三个不同的交点，求实数的取值范围．

根的个数知道，部分根可求或已知。

例7、已知函数

（1）若是的极值点且的图像过原点，求的极值；

（2）若，在（1）的条件下，是否存在实数，使得函数的图像与函数的图像恒有含的三个不同交点？若存在，求出实数的取值范围；否则说明理由。

题2：切线的条数问题====以切点为未知数的方程的根的个数

例7、已知函数在点处取得极小值－4，使其导数的的取值范围为，求：

（1）的解析式；

（2）若过点可作曲线的三条切线，求实数的取值范围．

题3：已知在给定区间上的极值点个数则有导函数=0的根的个数

解法：根分布或判别式法

例8、已知函数，（为常数）。

（）当时，求函数的单调区间；

（）若函数的区间上有两个极值点，求实数的取值范围。

例9、已知函数，

3．求的单调区间；

（2）令＝x⁴＋f（x）（x∈R）有且仅有3个极值点，求a的取值范围．

其它例题：

1、（最值问题与主元变更法的例子）.已知定义在上的函数在区间上的最大值是5，最小值是－11.

（Ⅰ）求函数的解析式；

（Ⅱ）若时，恒成立，求实数的取值范围.

2、（根分布与线性规划例子）已知函数

(Ⅰ) 若函数在时有极值且在函数图象上的点处的切线与直线平行, 求的解析式；

(Ⅱ) 当在取得极大值且在取得极小值时, 设点所在平面区域为S, 经过原点的直线L将S分为面积比为1:3的两部分, 求直线L的方程.

    

3、（根的个数问题）已知函数的图象如图所示。

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若函数的图象在点处的切线方程为，求函数f ( x )的解析式；

（Ⅲ）若方程有三个不同的根，求实数a的取值范围。

4、（根的个数问题）已知函数

（1）若函数在处取得极值，且，求的值及的单调区间；

（2）若，讨论曲线与的交点个数．

5、（简单切线问题）已知函数图象上斜率为3的两条切线间的距离为，函数．

（Ⅰ） 若函数在处有极值，求的解析式；

（Ⅱ） 若函数在区间上为增函数，且在区间上都成立，求实数的取值范围．

6、已知函数是上的奇函数，当时取得极值.

（1）求的单调区间和极大值；

（2）证明对任意不等式恒成立

 

第二篇：全国计算机等级考试二级C语言题型总结(一)——数的处理的有关案例

题型总结：

第一章：

1、数字的处理（个位、十位、百位数据处理）

    （案例1）合并两从键盘输入的两个整数a，b，生成新的四位整数c，合并方法是把a数的十位放到c数的千位，a数的个位放到c数的十位，b数的十位放到c数的百位，b数的个位放到c数的个位，编程实现转换。

    （练习）拆分一个四位数x，生成新数a，b；拆分方法，x的千位和百位属怒组成a数，x的十位和个位组成b数，请编程实现功能。

2、小数的四舍五入处理

   （案例2）输入一个实数，按要求保留小数点后2位小数，对小数点后第三位进行四舍五入。

3、数的整除问题判断。

    （案例3）从键盘输入一个数，判断该数是否能同时被3和7同时整除。

    （练习）求1到1000之间能被7或11整除但不能同时被7和11整除的所有数，并统计这些数的个数。

4、素数的判断问题：

   （案例3）从键盘输入一个任意整数，判断该整数是否是素数。

    

          

     （练习）查找指定范围内的非素数。

（课后练习）

已知有二元一次方程：ax2+bx+c=0;请编程实现二元一次方程的根的求解;a,b,c的值要求从键盘输入。

案例1：

#include <stdio.h>

void fun(int a, int b, long *c)

{

       *c=a/10*1000+a%10*10+b/10*100+b%10;

}

main()

{  int   a,b; long   c;

   printf("Input a, b:");

   scanf("%d%d", &a, &b);

   fun(a, b, &c);

   printf("The result is: %ld\n", c);

}

案例2：

main()

{

double x;

scanf("%ld",&x);

x=x*100;

x=x+0.5;

x=(int)x;

x=x/100;

printf("x=%.2lf\n",x);

}

案例3

# include <stdio.h>

void main()

{

       int a,i,flag;

       flag=0;

scanf("%d",&a);

for(i=2;i<a/2;i++)

{

       if(a%i==0)

       {

              flag=1;

              break;

       }

}

if(flag==1)

printf("非素数");

else

printf("素数");

}