导数题型

题型一:

例1：设函数y?f(x)在区间D上的导数为f?(x)，f?(x)在区间D上的导数为g(x)，若在区间D上，g(x)?0恒成立，则称函数y?f(x)在区间D上为“凸函数”，已知实数m是常数，

x4mx33x2

f(x)???1262

（1）若y?f(x)在区间?0,3?上为“凸函数”，求m的取值范围；

（2）若对满足m?2的任何一个实数m，函数f(x)在区间?a,b?上都为“凸函数”，求b?a的最大值.

例2：设函数f(x)??13x?2ax2?3a2x?b(0?a?1,b?R) 3

（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间和极值；

（Ⅱ）若对任意的x?[a?1,a?2],不等式f?(x)?a恒成立，求a的取值范围.

题型特征：f(x)?g(x)恒成立?h(x)?f(x)?g(x)?0恒成立；从而转化为第一、二种题型 例3；已知函数f(x)?x3?ax2图象上一点P(1,b)处的切线斜率为?3，

g(x)?x3?t?62x?(t?1)x?32(t?0)

（Ⅰ）求a,b的值；

（Ⅱ）当x?[?1,4]时，求f(x)的值域；

（Ⅲ）当x?[1,4]时，不等式f(x)?g(x)恒成立，求实数t的取值范围。

二、参数问题

题型一：已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围

解法1：转化为f(x)?0或f(x)?0在给定区间上恒成立， 回归基础题型

解法2：利用子区间（即子集思想）；首先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求的增或减区间的子集；

做题时一定要看清楚“在（m,n）上是减函数”与“函数的单调减区间是（a,b）”，要弄清楚两句话的区别：前者是后者的子集

例4：已知a?R，函数f(x)?''13a?12x?x?(4a?1)x． 122

（Ⅰ）如果函数g(x)?f?(x)是偶函数，求f(x)的极大值和极小值；

（Ⅱ）如果函数f(x)是(??,

例5、已知函数f(x)???)上的单调函数，求a的取值范围． 131x?(2?a)x2?(1?a)x(a?0). 32

（I）求f(x)的单调区间；

（II）若f(x)在[0，1]上单调递增，求a的取值范围。

三、题型二：根的个数问题

题1函数f(x)与g(x)（或与x轴）的交点======即方程根的个数问题

解题步骤

第一步：画出两个图像即“穿线图”（即解导数不等式）和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后减再增”还是“先减后增再减”；

第二步：由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式（组）；主要看极大值和极小值与0的关系； 第三步：解不等式（组）即可；

例6、已知函数f(x)?113(k?1)2x?x，g(x)??kx，且f(x)在区间(2,??)上为增函数． 332

（1） 求实数k的取值范围；

（2） 若函数f(x)与g(x)的图象有三个不同的交点，求实数k的取值范围．

例7、已知函数f(x)?ax3?12x?2x?c 2

（1）若x??1是f(x)的极值点且f(x)的图像过原点，求f(x)的极值；

（2）若g(x)?12bx?x?d，在（1）的条件下，是否存在实数b，使得函数g(x)的图像与函数f(x)的2

图像恒有含x??1的三个不同交点？若存在，求出实数b的取值范围；否则说明理由。

题2：切线的条数问题====以切点x0为未知数的方程的根的个数

例7、已知函数f(x)?ax?bx?cx在点x0处取得极小值－4，使其导数f'(x)?0的x的取值范围为(1,3)，求：（1）f(x)的解析式；（2）若过点P(?1,m)可作曲线y?f(x)的三条切线，求实数m的取值范围．

题3：已知f(x)在给定区间上的极值点个数则有导函数=0的根的个数

解法：根分布或判别式法

例8、

32

例9、已知函数f(x)?a3121（2）令g(x)＝x4＋f（x）x?x，(a?R,a?0)（1）求f(x)的单调区间；432

（x∈R）有且仅有3个极值点，求a的取值范围．

其它例题：

1、（最值问题与主元变更法的例子）.已知定义在R上的函数f(x)?ax?2ax?b在区间??2,1?（a?0）32

上的最大值是5，最小值是－11.

（Ⅰ）求函数f(x)的解析式；

（Ⅱ）若t?[?1,1]时，f?(x）?tx?0恒成立，求实数x的取值范围.

2、（根的个数问题）已知函数f(x)?ax?bx?(c?3a?2b)x?d (a?0)的图象如图所示。

（Ⅰ）求c、d的值；

（Ⅱ）若函数f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线方程为3x?y?11?0，

求函数f ( x )的解析式；

（Ⅲ）若x0?5,方程f(x)?8a有三个不同的根，求实数a的取值范围。

3、（根的个数问题）已知函数f(x)?3213x?ax2?x?1(a?R) 3

（1）若函数f(x)在x?x1,x?x2处取得极值，且x1?x2?2，求a的值及f(x)的单调区间；

（2）若a?

1125，讨论曲线f(x)与g(x)?x?(2a?1)x?(?2?x?1)的交点个数． 226

x324、（简单切线问题）已知函数f(x)?2图象上斜率为3的两条切线间的距离为，函数5a

g(x)?f(x)?3bx． ?32a

（Ⅰ） 若函数g(x)在x?1处有极值，求g(x)的解析式；

（Ⅱ） 若函数g(x)在区间[?1,1]上为增函数，且b?mb?4?g(x)在区间[?1,1]上都成立，求实数m的取值范围．

2

 

第二篇：高考导数问题常见题型总结

高考有关导数问题解题方法总结

一、考试内容

导数的概念，导数的几何意义，几种常见函数的导数；

两个函数的和、差、基本导数公式，利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值。

二、热点题型分析

题型一：利用导数研究函数的极值、最值。

1． 在区间上的最大值是  2               

2．已知函数处有极大值，则常数c＝    6   ；

3．函数有极小值 －1  ,极大值    3  

         

题型二：利用导数几何意义求切线方程

1．曲线在点处的切线方程是              

2．若曲线在P点处的切线平行于直线，则P点的坐标为   （1，0）              

3．若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为                                   

4．求下列直线的方程：

 （1）曲线在P(-1,1)处的切线；   （2）曲线过点P(3,5)的切线；

解：（1）

        所以切线方程为

 （2）显然点P（3，5）不在曲线上，所以可设切点为，则①又函数的导数为，

所以过点的切线的斜率为，又切线过、P(3,5)点，所以有②，由①②联立方程组得，，即切点为（1，1）时，切线斜率为；当切点为（5，25）时，切线斜率为；所以所求的切线有两条，方程分别为

题型三：利用导数研究函数的单调性，极值、最值

1．已知函数的切线方程为y=3x+1 

   （Ⅰ）若函数处有极值，求的表达式；

   （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数在[－3，1]上的最大值；

   （Ⅲ）若函数在区间[－2，1]上单调递增，求实数b的取值范围 

解：（1）由

过的切线方程为：

 

而过

故     

∵  ③

由①②③得  a=2，b=－4，c=5      ∴  

（2）

当

  又在[－3，1]上最大值是13。

（3）y=f(x)在[－2，1]上单调递增，又由①知2a+b=0。 

依题意在[－2，1]上恒有≥0，即

①当；

②当；

③当 

综上所述，参数b的取值范围是

2．已知三次函数在和时取极值，且．

(1) 求函数的表达式；

(2) 求函数的单调区间和极值；

(3) 若函数在区间上的值域为，试求、应满足的条件．

解：(1) ，                                   

由题意得，是的两个根，解得，．   

再由可得．∴．                       

(2) ，

当时，；当时，；

当时，；当时，；

当时，．∴函数在区间上是增函数；

在区间上是减函数；在区间上是增函数．

函数的极大值是，极小值是．                

(3) 函数的图象是由的图象向右平移个单位，向上平移4个单位得到的，

所以，函数在区间上的值域为（）．

而，∴，即．                       

于是，函数在区间上的值域为．

令得或．由的单调性知，，即．

综上所述，、应满足的条件是：，且．        

3．设函数．

（1）若的图象与直线相切，切点横坐标为２，且在处取极值，求实数 的值；

（2）当b=1时，试证明：不论a取何实数，函数总有两个不同的极值点．

解：（1）     

由题意，代入上式，解之得：a=1，b=1．　　

（2）当b=1时，　　　　　　　

因故方程有两个不同实根．　　

不妨设，由可判断的符号如下：

当＞０；当＜０；当＞０

因此是极大值点，是极小值点．，当b=1时，不论a取何实数，函数总有两个不同的极值点。

题型四：利用导数研究函数的图象

1．如右图：是f（x）的导函数， 的图象如右图所示，则f（x）的图象只可能是（ D  ）

（A）           （B）           （C）          （D）

2．函数( A  )

3．方程                                ( B   )

 A、0           B、1              C、2              D、3

题型五：利用单调性、极值、最值情况，求参数取值范围

1．设函数

    （1）求函数的单调区间、极值.

（2）若当时，恒有，试确定a的取值范围.

解：（1）=，令得                                   

列表如下：

                                                              

∴在（a，3a）上单调递增，在（-∞，a）和（3a，+∞）上单调递减

时，，时，                

（2）∵，∴对称轴，

∴在[a+1，a+2]上单调递减                                

∴，

依题，    即

解得，又      ∴a的取值范围是

2．已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－与x＝1时都取得极值（1）求a、b的值与函数f（x）的单调区间

（2）若对xÎ〔－1，2〕，不等式f（x）<c2恒成立，求c的取值范围。

解：（1）f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c，f¢（x）＝3x2＋2ax＋b

由f¢（）＝，f¢（1）＝3＋2a＋b＝0得a＝，b＝－2

f¢（x）＝3x2－x－2＝（3x＋2）（x－1），函数f（x）的单调区间如下表：

所以函数f（x）的递增区间是（－¥，－）与（1，＋¥），递减区间是（－，1）

（2）f（x）＝x3－x2－2x＋c，xÎ〔－1，2〕，当x＝－时，f（x）＝＋c

为极大值，而f（2）＝2＋c，则f（2）＝2＋c为最大值。

要使f（x）<c2（xÎ〔－1，2〕）恒成立，只需c2>f（2）＝2＋c，解得c<－1或c>2

题型六：利用导数研究方程的根

1．已知平面向量=(,－1).  =(,).

（1）若存在不同时为零的实数k和t，使=+(t2－3)，=-k+t，⊥，

试求函数关系式k=f(t) ；

(2) 据(1)的结论，讨论关于t的方程f(t)－k=0的解的情况.

解：(1)∵⊥，∴=0  即[+(t2-3) ]·(-k+t)=0.

整理后得-k+[t-k(t2-3)] + (t2-3)·=0

∵=0，=4，=1，∴上式化为-4k+t(t2-3)=0，即k=t(t2-3)

(2)讨论方程t(t2-3)-k=0的解的情况，可以看作曲线f(t)= t(t2-3)与直线y=k的交点个数. 

于是f′(t)= (t2-1)= (t+1)(t-1).    

令f′(t)=0,解得t1=-1,t2=1.当t变化时，f′(t)、f(t)的变化情况如下表：

当t=－1时，f(t)有极大值，f(t)极大值=.

当t=1时，f(t)有极小值，f(t)极小值=－

函数f(t)=t(t2-3)的图象如图13－2－1所示，

可观察出：

(1)当k＞或k＜－时,方程f(t)－k=0有且只有一解；

(2)当k=或k=－时,方程f(t)－k=0有两解；

(3) 当－＜k＜时,方程f(t)－k=0有三解. 

题型七：导数与不等式的综合　

1．设在上是单调函数.

（1）求实数的取值范围；

（2）设≥1，≥1，且，求证：.

解：（1） 若在上是单调递减函数，则须这样的实数a不存在.故在上不可能是单调递减函数.

若在上是单调递增函数，则≤，

由于.从而0<a≤3.

（2）方法1、可知在上只能为单调增函数.  若1≤，则 若1≤矛盾，故只有成立.

方法2：设，两式相减得≥1,u≥1，

，

2．已知为实数，函数

（1）若函数的图象上有与轴平行的切线，求的取值范围

（2）若，（Ⅰ）求函数的单调区间

（Ⅱ）证明对任意的，不等式恒成立

解：，

  函数的图象有与轴平行的切线，有实数解

   ，，所以的取值范围是

，，，

由或；由

的单调递增区间是；单调减区间为

易知的最大值为，的极小值为，又

在上的最大值，最小值

对任意，恒有

题型八：导数在实际中的应用

1．请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥（如右图所示）。试问当帐篷的顶点O到底面中心的距离为多少时，帐篷的体积最大？

解：设OO1为，则

由题设可得正六棱锥底面边长为：，（单位：）

故底面正六边形的面积为：=，（单位：）

帐篷的体积为：（单位：）

求导得。

令，解得（不合题意，舍去），，

当时，，为增函数；

当时，，为减函数。

∴当时，最大。

答：当OO1为时，帐篷的体积最大，最大体积为。

2．统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量（升）关于行驶速度（千米/小时）的函数解析式可以表示为：

已知甲、乙两地相距100千米。

（I）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？

（II）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？

解：（I）当时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，

    要耗没（升）。

    （II）当速度为千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为升，

    依题意得

   

    令得

    当时，是减函数；

    当时，是增函数。

    当时，取到极小值

    因为在上只有一个极值，所以它是最小值。

    答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升。当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升。

题型九：导数与向量的结合

1．设平面向量若存在不同时为零的两个实数s、t及实数k，使

（1）求函数关系式；

（2）若函数在上是单调函数，求k的取值范围。

解：（1）

（2）

则在上有

由；

由。

因为在t∈上是增函数，所以不存在k，使在上恒成立。故k的取值范围是。