导数各种题型方法总结

首先，关于二次函数的不等式恒成立的主要解法：

1、分离变量；2变更主元；3根分布；4判别式法

5、二次函数区间最值求法：（1）对称轴（重视单调区间） 与定义域的关系 （2）端点处和顶点是最值所在

其次，分析每种题型的本质，你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充分应用数形结合思想”，创建不等关系求出取值范围。 最后，同学们在看例题时，请注意寻找关键的等价变形和回归的基础

一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立；

1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决：

第一步：令f'(x)?0得到两个根；

第二步：画两图或列表；

第三步：由图表可知；

其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题，

2、常见处理方法有三种：

第一种：分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（>0,=0,<0） 第二种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----（已知谁的范围就把谁作为主元）； （请同学们参看2012省统测2）

例1：设函数y?f(x)在区间D上的导数为f?(x)，f?(x)在区间D上的导数为g(x)，若在区间D上，g(x)?0恒成立，则称函数y?f(x)在区间D上为“凸函数”，已知实数m是常数，x4mx33x2

f(x)??? 1262

（1）若y?f(x)在区间?0,3?上为“凸函数”，求m的取值范围；

（2）若对满足m?2的任何一个实数m，函数f(x)在区间?a,b?上都为“凸函数”，求b?a的最大值.

x4mx33x2x3mx2

????3x 解:由函数f(x)? 得f?(x)?126232

?g(x)?x2?mx?3

（1） y?f(x)在区间?0,3?上为“凸函数”，

则 ?g(x)?x?mx?3?0 在区间[0,3]上恒成立

解法一：从二次函数的区间最值入手：等价于gmax(x)?0

2

?0???30?g(0)

????m?2 g(3)?0?9m3??30??

解法二：分离变量法：

2∵ 当x?0时, ?g(x)?x?mx?3??3?0恒成立,

2 当0?x?3时, g(x)?x?mx?3?0恒成立

x2?33?x?的最大值（0?x?3）恒成立， 等价于m?xx

而h(x)?x?3（0?x?3）是增函数，则hmax(x)?h(3)?2 x

?m?2

(2)∵当m?2时f(x)在区间?a,b?上都为“凸函数” 则等价于当m?2时g(x)?x2?mx?3?0 恒成立

变更主元法

再等价于F(m)?mx?x2?3?0在m?2恒成立（视为关于m的一次函数最值问题）

2?0??F(?2)??x2?x??30????1?x?1

??2?2x?x?3?0?F(2)?0?

?b?a?2

请同学们参看2012第三次周考：

例2：设函数f(x)??13x?2ax2?3a2x?b(0?a?1,b?R) 3

（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间和极值；

（Ⅱ）若对任意的x?[a?1,a?2],不等式f?(x)?a恒成立，求a的取值范围.

（二次函数区间最值的例子）

解：（Ⅰ）f?(x)??x?4ax?3a???x?3a??x?a? 22

0?a?1

令f?(x)?0,得f(x)令f?(x)?0,得f(x)的单调递减区间为（－?，a）和（3a，+?）

∴当x=a时，f(x)极小值=?

233a?b; 当x=3a时，f(x)极大值=b. 42 （Ⅱ）由|f?(x)|≤a，得：对任意的x?[a?1,a?2],?a?x?4ax?3a?a恒成立①

则等价于g(x)这个二次函数??gmax(x)?a22 g(x)?x?4ax?3a的对称轴x?2a

?gmin(x)??a

0?a?1, a?1?a?a?2a（放缩法）

即定义域在对称轴的右边，g(x)这个二次函数的最值问题：单调增函数的最值问题。

g(x)?x2?4ax?3a2在[a?1,a?2]上是增函数.

∴g(x)max?g(a?2)??2a?1.

?1,

x?2aa?2? g(x)min?g(a?1)??4a?4. 于是，对任意x?[a?1,a?2]，不等式①恒成立，等价于

?g(a?2)??4a?4?a,4解得?a?1. ?5?g(a?1)??2a?1??a

又0?a?1,∴4?a?1. 5

点评：重视二次函数区间最值求法：对称轴（重视单调区间）与定义域的关系

第三种：构造函数求最值

题型特征：f(x)?g(x)恒成立?h(x)?f(x)?g(x)?0恒成立；从而转化为第一、二种题型

例3；已知函数f(x)?x3?ax2图象上一点P(1,b)处的切线斜率为?3，

t?62x?(t?1)x?3(t?0) 2

（Ⅰ）求a,b的值；

（Ⅱ）当x?[?1,4]时，求f(x)的值域；

（Ⅲ）当x?[1,4]时，不等式f(x)?g(x)恒成立，求实数t的取值范围。 g(x)?x3?

?f/(1)??3?a??3解：（Ⅰ）f(x)?3x?2ax∴?， 解得? b??2??b?1?a

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f(x)在[?1,0]上单调递增，在[0,2]上单调递减，在[2,4]上单调递减 又f(?1)??4,f(0)?0,f(2)??4,f(4)?16

∴f(x)的值域是[?4,16] t2x?[1,4] （Ⅲ）令h(x)?f(x)?g(x)??x?(t?1)x?32

思路1：要使f(x)?g(x)恒成立，只需h(x)?0，即t(x2?2x)?2x?6分离变量 /2

思路2：二次函数区间最值

二、题型一：已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围

解法1：转化为f'(x)?0或f'(x)?0在给定区间上恒成立， 回归基础题型

解法2：利用子区间（即子集思想）；首先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求的增或减区间的子集；

做题时一定要看清楚“在（m,n）上是减函数”与“函数的单调减区间是（a,b）”，要弄清楚两句话的区别：前者是后者的子集

例4：已知a?R，函数f(x)?13a?12x?x?(4a?1)x． 122

（Ⅰ）如果函数g(x)?f?(x)是偶函数，求f(x)的极大值和极小值；

（Ⅱ）如果函数f(x)是(??,

解：??)上的单调函数，求a的取值范围． f?(x)?

（Ⅰ）∵

令12x?(a?1)x?(4a?1). 4131x?3x，f?(x)?x2?3， f?(x)是偶函数，∴ a??1. 此时f(x)?124f?(x)?0，解得：x??23.

列表如下：

可知：f(x)的极大值为f(?2)?43， f(x)的极小值为f(2)??43.

f(x)是(??,??)上的单调函数， （Ⅱ）∵函数

∴f?(x)?12x?(a?1)x?(4a?1)?0，在给定区间R上恒成立判别式法 4

122则??(a?1)?4??(4a?1)?a?2a?0， 解得：0?a?2. 4

综上，a的取值范围是{a0?a?2}.

例5、已知函数f(x)?131x?(2?a)x2?(1?a)x(a?0). 32

（I）求f(x)的单调区间；

（II）若f(x)在[0，1]上单调递增，求a的取值范围。子集思想

（I）f?(x)?x?(2?a)x?

1?a?(x?1)(x?1?a).

1、当a?0时,f?(x)?(x?1)?0恒成立,

当且仅当x??1时取“=”号，f(x)在(??,??)单调递增。

2、当a?0时由,f?(x)?0,得x1??1,x2?a?1,且x1?x2, 22

,(?1,?? 单调增区间：(??,?1)a a?1) 单调增区间：(?1,

（II）当f(x)在[0,1]上单调递增, 则?0,1?是上述增区间的子

集：

1、a?0时，f(x)在(??,??)单调递增 符合题意

2、?0,1???a?1,???，?a?1?0 ?a?1

综上，a的取值范围是[0，1]。

三、题型二：根的个数问题

题1函数f(x)与g(x)（或与x轴）的交点======即方程根的个数问题

解题步骤

第一步：画出两个图像即“穿线图”（即解导数不等式）和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后减再增”还是“先减后增再减”；

第二步：由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式（组）；主要看极大值和极小值与0的关系；

第三步：解不等式（组）即可；

例6、已知函数f(x)?13(k?1)21x?x，g(x)??kx，且f(x)在区间(2,??)上为增函数． 323

（1） 求实数k的取值范围；

（2） 若函数f(x)与g(x)的图象有三个不同的交点，求实数k的取值范围．

解：（1）由题意f?(x)?x2?(k?1)x ∵f(x)在区间(2,??)上为增函数，

∴f?(x)?x2?(k?1)x?0在区间(2,??)上恒成立（分离变量法）

即k?1?x恒成立，又x?2，∴k?1?2，故k?1∴k的取值范围为k?1

x3(k?1)21?x?kx?， （2）设h(x)?f(x)?g(x)?323

h?(x)?x2?(k?1)x?k?(x?k)(x?1)

令h?(x)?0得x?k或x?1由（1）知k?1，

①当k?1时，h?(x)?(x?1)2?0，h(x)在R上递增，显然不合题意?

②当k?1时，h(x)，h?(x)随x的变化情况如下表：

由于k?1?0，欲使f(x)与g(x)的图象有三个不同的交点，即方程h(x)?0有三个不同的实根，2

?k?1k3k21???0，即(k?1)(k2?2k?2)?0 ∴?2故需?，解得k?1?3 623?k?2k?2?0

综上，所求k的取值范围为k?1?3

根的个数知道，部分根可求或已知。

例7、已知函数f(x)?ax?312x?2x?c 2

（1）若x??1是f(x)的极值点且f(x)的图像过原点，求f(x)的极值；

12bx?x?d，在（1）的条件下，是否存在实数b，使得函数g(x)的图像与函数f(x)的2

图像恒有含x??1的三个不同交点？若存在，求出实数b的取值范围；否则说明理由。 （2）若g(x)?解：（1）∵f(x)的图像过原点，则f(0)?0?c?0 f?(x)?3ax2?x?2， 又∵x??1是f(x)的极值点，则f?(?1)?3a?1?2?0?a??1

?f?(x)?3x2?x?2?(3x?2)(x?1)?0 f极大值(x)?f(?1)?3222)? f极小值(x)?f? 237

（2）设函数g(x)的图像与函数f(x)的图像恒存在含x??1的三个不同交点， 等价于f(x)?g(x)有含x??1的三个根，即：f(?1)?g(?1)?d??1(b?1) 2

?x3?1211x?2x?bx2?x?(b?1)整理得： 222

1132即：x?(b?1)x?x?(b?1)?0恒有含x??1的三个不等实根 22

11（计算难点来了：）h(x)?x3?(b?1)x2?x?(b?1)?0有含x??1的根， 22

则h(x)必可分解为(x?1)(二次式)?0，故用添项配凑法因式分解，

11x3?x2?x2?(b?1)x2?x?(b?1)?0 22

1?1?x2(x?1)??(b?1)x2?x?(b?1)??0 2?2?12x2(x?1)??(b?1)x?2x?(b?1)??0 ??2

1b?1x)?b(???1)x??1 十字相乘法分解：x2(x?1)?( ?20

11??(x?1)?x2?(b?1)x?(b?1)??0 22??11?x3?(b?1)x2?x?(b?1)?0恒有含x??1的三个不等实根 22

112等价于x?(b?1)x?(b?1)?0有两个不等于-1的不等实根。 22

11?2??(b?1)?4?(b?1)?0??42???b?(??,?1)?(?1,3)?(3,??

)

?(?1)2?1(b?1)?1(b?1)?0??22

题2：切线的条数问题====以切点x0为未知数的方程的根的个数

例7、已知函数f(x)?ax3?bx2?cx在点x0处取得极小值－4，使其导数f'(x)?0的x的取值范围为(1,3)，求：（1）f(x)的解析式；（2）若过点P(?1,m)可作曲线y?f(x)的三条切线，求实数m的取值范围．

（1）由题意得：f'(x)?3ax2?2bx?c?3a(x?1)(x?3),(a?0)

∴在(??,1)上f'(x)?0；在(1,3)上f'(x)?0；在(3,??)上f'(x)?0

因此f(x)在x0?1处取得极小值?4

∴a?b?c??4①，f'(1)?3a?2b?c?0②，f'(3)?27a?6b?c?0③

?a??1?由①②③联立得：?b?6，∴f(x)??x3?6x2?9x

?c??9?

（2）设切点Q(t,f(t))，y?f(t)?f,(t)(x?t)

y?(?3t2?12t?9)(x?t)?(?t3?6t2?9t)

?(?3t2?12t?9)x?t(3t2?12t?9)?t(t2?6t?9)

?(?3t2?12t?9)x?t(2t2?6t)过(?1,m)

m?(?3t2?12t?9)(?1)?2t3?6t2

g(t)?2t3?2t2?12t?9?m?0

令g'(t)?6t2?6t?12?6(t2?t?2)?0，

求得：t??1,t?2，方程g(t)?0有三个根。

?g(?1)?0??2?3?12?9?m?0?m?16需：? ?????g(2)?0?16?12?24?9?m?0?m??11

故：?11?m?16；因此所求实数m的范围为：(?11,16)

题3：已知f(x)在给定区间上的极值点个数则有导函数=0的根的个数 解法：根分布或判别式法

例8、

17解：函数的定义域为R（Ⅰ）当m＝4时，f (x)＝ x3－2＋10x， 32

f?(x)＝x2－7x＋10，令f?(x)?0 ， 解得x?5,或x?2.

令f?(x)?0 ， 解得2?x?5

可知函数f(x)的单调递增区间为(??,2)和（5，＋∞），单调递减区间为?2,5?．

（Ⅱ）f?(x)＝x2－(m＋3)x＋m＋6,

要使函数y＝f (x)在（1，＋∞）有两个极值点,?f?(x)＝x2－(m＋3)x＋m＋6=0的根在（1，＋∞）

根分布问题： ????(m?3)2?4(m?6)?0;?则?f?(1)?1?(m?3)?m?6?0;， 解得m＞3

?m?3??1.?2

1a312x?x，(a?R,a?0)（1）求f(x)的单调区间；（2）令g(x)＝x4＋f432 例9、已知函数f(x)?

（x）（x∈R）有且仅有3个极值点，求a的取值范围．

解：（1）f'(x)?ax2?x?x(ax?1)

11或x?0，令f'(x)?0解得??x?0， aa

11所以f(x)的递增区间为(??,?)?(0,??)，递减区间为(?,0). aa11?)，递减区间为(??,0)?(?,??). 当a?0时，同理可得f(x)的递增区间为(0，aa

14a312（2）g(x)?x?x?x有且仅有3个极值点 432当a?0时，令f'(x)?0解得x??

?g?(x)?x3?ax2?x?x(x2?ax?1)=0有3个根，则x?0或x2?ax?1?0，a??2 方程x?ax?1?0有两个非零实根，所以??a2?4?0, 2

?a??2或a?2

而当a??2或a?2时可证函数y?g(x)有且仅有3个极值点

 

第二篇：导数各种题型方法总结

导数各种题型方法总结

一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立；

1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决：

第一步：令得到两个根；

第二步：画两图或列表；

第三步：由图表可知；

其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题，

2、常见处理方法有三种：

第一种：分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（>0,=0,<0）

第二种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----（已知谁的范围就把谁作为主元）；

第三种：构造函数求最值

例1：设函数在区间D上的导数为，在区间D上的导数为，若在区间D上，恒成立，则称函数在区间D上为“凸函数”，已知实数m是常数，

（1）若在区间上为“凸函数”，求m的取值范围；

（2）若对满足的任何一个实数，函数在区间上都为“凸函数”，求的最大值.

例2：设函数

   （Ⅰ）求函数f（x）的单调区间和极值；

   （Ⅱ）若对任意的不等式恒成立，求a的取值范围.

（二次函数区间最值的例子）

例3；已知函数图象上一点处的切线斜率为，

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）当时，求的值域；

（Ⅲ）当时，不等式恒成立，求实数t的取值范围。

二、已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围

解法1：转化为在给定区间上恒成立， 回归基础题型

解法2：利用子区间（即子集思想）；首先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求的增或减区间的子集；

做题时一定要看清楚“在（m,n）上是减函数”与“函数的单调减区间是（a,b）”，要弄清楚两句话的区别：前者是后者的子集

例4：已知，函数．

（Ⅰ）如果函数是偶函数，求的极大值和极小值；

（Ⅱ）如果函数是上的单调函数，求的取值范围．

例5、已知函数

   （I）求的单调区间；

   （II）若在[0，1]上单调递增，求a的取值范围。子集思想

三、根的个数问题

题1函数f(x)与g(x)（或与x轴）的交点======即方程根的个数问题

解题步骤

第一步：画出两个图像即“穿线图”（即解导数不等式）和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后减再增”还是“先减后增再减”；

第二步：由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式（组）；主要看极大值和极小值与0的关系；

第三步：解不等式（组）即可；

例6、已知函数，，且在区间上为增函数．

（1）      求实数的取值范围；

（2）      若函数与的图象有三个不同的交点，求实数的取值范围．

例7、已知函数的图象如图所示。

       （Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若函数的图象在点处的切线方程为，求函数f ( x )的解析式；

（Ⅲ）若方程有三个不同的根，求实数a的取值范围。