数学归纳法

2.3数学归纳法（第一课时）

教材：江苏教育出版社，高中数学选修2-2，第二章，2.3节，数学归纳法。

课型：新授课

一、教材分析

《数学归纳法》既是高中代数中的一个重点和难点内容，也是一种重要的数学方法。它贯通了高中代数的几大知识点：不等式，数列，三角函数。数学归纳法的学习是在学生学习了不完全归纳法与完全归纳法之后，对数学基本思想方法的进一步认识，也为今后不等式与数列等的学习提供了思想方法，在教材中起到承前启后的作用。它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用，而且是学生今后学习和工作中所必备的数学思想方法之一。

二、学情分析

在本节课之前学生已经学习了不完全归纳法与完全归纳法的相关知识，作为中学生，他们的知识经验已较为丰富，智力发展水平已经达到了形式运算阶段，具有一定抽象思维能力和演绎推理能力，所以在教学过程中要注意引导和启发以符合这类学生心理发展的特点，从而促进学生思维发展水平的进一步提高。但值得注意的是，虽然这个阶段的学生具有一定的分析问题和解决问题的能力，但逻辑思维能力，严谨推理能力，总结、归纳、演绎类比等思想方法还有待于进一步加强和提高。

三、教学目标

1.知识与技能目标：

理解数学归纳法原理；掌握数学归纳法证明命题的两个步骤；会用数学归纳法证明一些简单的数学命题。

2.过程与方法目标：

通过多米诺骨牌实验引出数学归纳法的原理，使学生理解理论与实际的辨证关系。在学习中培养学生探索发现问题、提出问题的意识，解决问题和数学交流的能力，学会用总结、归纳、演绎类比探求新知识。

3.情感、态度与价值观目标：

通过对问题的探究活动，亲历知识的构建过程，领悟其中所蕴涵的数学思想；体验探索中挫折的艰辛和成功的快乐，感悟“数学美”，激发学习热情，培养他们手脑并用，多思勤练的好习惯和勇于探索的治学精神。初步形成正确的数学观，创新意识和科学精神。

四、教学重难点

1.教学重点：

理解数学归纳法的实质；掌握数学归纳法证明命题的步骤；运用数学归纳法证明与自然数有关的命题。

2.教学难点：

如何理解数学归纳法证明命题的有效性；递推步骤中如何利用归纳假设。

五、教学过程

1.创设情境，提出问题

（先说一个笑话）从前，有个财主给他儿子请了一位老师，第一天老师写了一横，说这是一个“一”字，第二天老师写了两横，说这是“二”字，第三天在老师来前，财主儿子想，今天老师一定会教“三”字，就自己在纸上写了三横，果然，老师今天写了三横，说这是一个“三”字。于是财主儿子得出一个结论：第四天是四横，第五天是五横…于是，他对财主说：“父亲，你不用给我请老师了，我什么都会了。”财主即很高兴，把老师辞退了。过了几天，财主要请一个姓万的亲戚吃饭，就叫儿子写请帖，可是等了半天也不见儿子出来，财主到房间去催，只见儿子趴在地上，满头大汗，一见财主就抱怨：“姓什么不好，干什么姓万，从大清早到现在，我才划了五百多横呢。”

设计意图：设计这个情境目的是在引入课题的同时激发学生的学习兴趣，调动学习的主动性。故事涵盖本节课的思想方法，紧扣主题。

问题探究1：财主儿子为什么会得出“第四天是四横、第五天是五横…”的结论呢？带着这样的问题，学生会思考这是不完全归纳法的运用，显然是一个错误结论。对于有限的事物我们用完全归纳法容易得出结论，对于无限个对象的命题用完全归纳法办不到，不完全归纳法又易错，那么，有没有什么方法可以解决这一难题。

设计意图：通过抛出的问题，带动学生思考，引出今天所学的数学归纳法思想，迫使学生寻求解决问题的新方法，为后面教学埋下伏笔。

探究2：利用多媒体，让学生观察“多米诺骨牌实验”。推倒第一块能发现什么现象？第一块骨牌倒下碰到第二块，第二块随之倒下，第二块碰到第三块，第三块随之也倒下…这样，一块接着一块，正如我们意料，所有骨牌全部倒下。我们是怎么做出这样判断的呢？为什么在推倒第一块骨牌之前我们就知道骨牌会全部倒下？

设计意图：通过“多米诺骨牌实验”让学生直观感受，符合学生思维特点。在直观理解“潜无限”概念的同时，体会数学归纳法的原理。

探究3：笑话中，财主儿子获得的结论为什么错误？错在哪一步？带着问题，发现，因为到第四天就不再用四横表示“四”字，财主儿子无法保证后一步由前一步递推出来，即缺少一定的条件。

探究4：为什么“多米诺骨牌实验”中，我们的结论是正确的呢？思考发现，因为在多米诺骨牌实验中，可以保证前一个骨牌倒下碰到后一个，后一个随之倒下这一条件。

教师总结：因而，要保证归纳法的正确性，需要前提条件。

设计意图：通过设疑，在思考问题，解决问题中进一步发现数学归纳法使用的前提条件，突出了数学归纳法运用的关键点，同时引出数学归纳法的一般概念，帮助学生深入理解概念的核心。

2.归纳、类比，解决问题

引导学生将上述的前提条件与解决办法一般化，设第一个值为，前一个数用表示，后一个用，如何用数学归纳法解决问题。

这里，学生尝试描述数学归纳法一般步骤，老师板书，并给予适当引导。

一般地，对于某些与正整数有关的数学命题，我们有数学归纳法公理：

如果

（1）当取第一个值（例如等）时结论正确；

（2）假设当时结论正确，证明当时结论也正确。

那么，命题对于从开始的所有正整数都成立。

设计意图：在前面2个引例的学习之下，学生在直观感受数学归纳法思想之后，在教师指导下，让学生从特殊到一般，让学生探索尝试，给出利用数学归纳法解决问题的一般步骤，步步深入，让学生自主探索中体验学习的愉快和成就感。

学生思考：用数学归纳法证明，等差数列中，为首项，为公差，则通项公式为.

这里，给予学生足够时间，让学生先根据数学归纳法的一般步骤尝试证明，之后，学生口述，教师板演。

设计意图：使学生在简单的模仿与接受中，将所学知识内化，主动认识，进一步建构，形成自己的知识网络，掌握知识的同时，学会运用。

3.变式训练，深化理解

例1：为什么步骤⑴、⑵两者缺一不可？分析下题用数学归纳法证明过程中的错误：设，求证：.

证明过程如下：假设当时等式成立，即

，

那么，当时，有

，

因此，对于任何等式都成立。

这里，请学生回答上述证明错误之处，并总结步骤⑴、⑵两者缺一不可的原因：⑴是确切基础，⑵是条件保证。

设计意图：采用反例教学设计题目，加深学生对数学归纳法的认识和理解，突出数学归纳法运用的核心所在，强调该数学方法运用中需要注意的事项，帮助学生理解数学归纳法的本质内涵。

例2：用数学归纳法证明：当时，.

这里，请学生黑板演练，写出完整的证明过程，并向学生强调数学归纳法使用的注意事项：

①数学归纳法只适用于与自然数有关的命题；

②不一定取1，根据题中情况，可取2、3等；

③在证明时，要有归纳假设；

④数学归纳法的两个步骤缺一不可。

设计意图：通过以上两个例题的变式训练，强调规范步骤的同时，提出方法运用的注意事项，完善学生新的数学认知结构。

4.总结归纳，加深理解

组织学生回忆整个课堂各个环节，引导学生回顾数学归纳法解决问题的思想方法以及证明命题的一般步骤，鼓励学生积极回答，从数学思想方法与知识点两个方面总结。

设计意图：通过复习回顾，加深印象。同时，以此培养学生的口头表达能力与归纳概括能力。

5.课后作业

习题1、3、5

六、板书设计

投数学归纳法：例1 例2

影 1.一般步骤

屏 2.注意事项 ①

幕 ②

③

④

第二篇：数学归纳法讲义

1、若n为大于1的自然数，求证

证明 (1)当n=2时，

(2)假设当n=k时成立，即

5．某个命题与正整数n有关，如果当时命题成立，那么可推得当时命题也成立. 现已知当时该命题不成立，那么可推得（ C ）

A．当n=6时该命题不成立 B．当n=6时该命题成立

C．当n=4时该命题不成立 D．当n=4时该命题成立

6、（Ⅰ）.

[证明]

. 当时，左边，右边，∴左边=右边，时等式成立；

假设时等式成立，即

，

∴当时，左边

=右边，即时等式成立，

，等式对都正确.

（Ⅰ）求证：能被6 整除.

[证明]

. 当时，1³+5×1=6能被6整除，命题正确；

. 假设时命题正确，即能被6整除，

∴当时，

，

∵两个连续的整数的乘积是偶数，能被6整除，

能被6整除，即当时命题也正确，

由知命题时都正确.

（略）例3、（优化设计P202例1）比较2ⁿ与n²的大小

剖析：比较两数（或式）大小的常用方法本题不适用，故考虑用归纳法推测大小关系，再用数学归纳法证明.

解：当n=1时，2¹＞1²，

当n=2时，2²=2²，当n=3时，2³＜3²，

当n=4时，2⁴=4²，当n=5时，2⁵＞5²，

猜想：当n≥5时，2ⁿ＞n².

下面用数学归纳法证明：

（1）当n=5时，2⁵＞5²成立.

（2）假设n=k（k∈N *，k≥5）时2^k＞k²，

那么2^k⁺¹=2·2^k=2^k+2^k＞k²+（1+1）^k＞k²+C+C+C=k²+2k+1=（k+1）².

∴当n=k+1时，2ⁿ＞n².

由（1）（2）可知，对n≥5的一切自然数2ⁿ＞n²都成立.

综上，得当n=1或n≥5时，2ⁿ＞n²；当n=2，4时，2ⁿ=n²；当n=3时，2ⁿ＜n².

评述：用数学归纳法证不等式时，要恰当地凑出目标和凑出归纳假设，凑目标时可适当放缩.

【例3】（20##年全国）设a₀为常数，且a_n=3ⁿ^－¹－2a_n_－₁（n∈N*）.证明：n≥1时，a_n=[3ⁿ+（－1）ⁿ^－¹·2ⁿ］+（－1）ⁿ·2ⁿ·a₀.

剖析：给出了递推公式，证通项公式，可用数学归纳法证.

证明：（1）当n=1时，［3+2］－2a₀=1－2a₀，而a₁=3⁰－2a₀=1－2a₀.

∴当n=1时，通项公式正确.

（2）假设n=k（k∈N*）时正确，即a_k=［3^k+（－1）^k^－¹·2^k］+（－1）^k·2^k·a₀，

那么a_k₊₁=3^k－2a_k=3^k－×3^k+（－1）^k·2^k+（－1）^k⁺¹·2^k⁺¹a₀

=·3^k+（－1）^k·2^k⁺¹+（－1）^k⁺¹·2^k⁺¹·a₀

=［3^k⁺¹+（－1）^k·2^k⁺¹］+（－1）^k⁺¹·2^k⁺¹·a₀.∴当n=k+1时，通项公式正确.

由（1）（2）可知，对n∈N*，a_n=［3ⁿ+（－1）ⁿ^－¹·2ⁿ］+（－1）ⁿ·2ⁿ·a₀.

评述：由n=k正确n=k+1时也正确是证明的关键.

例5、（优化设计P202例3）设为常数，且

证明对任意；

证法一：（i）当n=1时，由已知a₁=1－2a₀，等式成立；

（ii）假设当n=k（k≥1）等式成立，则

那么

也就是说，当n=k+1时，等式也成立. 根据（i）和（ii），可知等式对任何n∈N，成立.

证法二：如果设用代入，可解出.

所以是公比为－2，首项为的等比数列.

即

●难点磁场

(★★★★)是否存在a、b、c使得等式1·2²+2·3²+…+n(n+1)²=(an²+bn+c).

解：假设存在a、b、c使题设的等式成立，这时令n=1,2,3,有

于是，对n=1,2,3下面等式成立

1·2²+2·3²+…+n(n+1)²=

记S_n=1·2²+2·3²+…+n(n+1)²

设n=k时上式成立，即S_k= (3k²+11k+10)

那么S_k₊₁=S_k+(k+1)(k+2)²=(k+2)(3k+5)+(k+1)(k+2)²

= (3k²+5k+12k+24)

=［3(k+1)²+11(k+1)+10］

也就是说，等式对n=k+1也成立.

综上所述，当a=3,b=11,c=10时，题设对一切自然数n均成立.

●案例探究

［例1］试证明：不论正数a、b、c是等差数列还是等比数列，当n＞1,n∈N^*且a、b、c互不相等时，均有：aⁿ+cⁿ＞2bⁿ.

命题意图：本题主要考查数学归纳法证明不等式，属★★★★级题目.

知识依托：等差数列、等比数列的性质及数学归纳法证明不等式的一般步骤.

错解分析：应分别证明不等式对等比数列或等差数列均成立，不应只证明一种情况.

技巧与方法：本题中使用到结论：(a^k－c^k)(a－c)＞0恒成立(a、b、c为正数)，从而a^k⁺¹+c^k⁺¹＞a^k·c+c^k·a.

证明：(1)设a、b、c为等比数列，a=,c=bq(q＞0且q≠1)

∴aⁿ+cⁿ=+bⁿqⁿ=bⁿ(+qⁿ)＞2bⁿ

(2)设a、b、c为等差数列，则2b=a+c猜想＞()ⁿ(n≥2且n∈N^*)

下面用数学归纳法证明：

①当n=2时，由2(a²+c²)＞(a+c)²，∴

②设n=k时成立，即

则当n=k+1时， (a^k⁺¹+c^k⁺¹+a^k⁺¹+c^k⁺¹)

＞(a^k⁺¹+c^k⁺¹+a^k·c+c^k·a)=(a^k+c^k)(a+c)

＞()^k·()=()^k⁺¹

［例2］在数列{a_n}中，a₁=1，当n≥2时，a_n,S_n,S_n－成等比数列.

(1)求a₂,a₃,a₄，并推出a_n的表达式；

(2)用数学归纳法证明所得的结论；

(3)求数列{a_n}所有项的和.

命题意图：本题考查了数列、数学归纳法、数列极限等基础知识.

知识依托：等比数列的性质及数学归纳法的一般步骤.采用的方法是归纳、猜想、证明.

错解分析：(2)中，S_k=－应舍去，这一点往往容易被忽视.

技巧与方法：求通项可证明{}是以{}为首项，为公差的等差数列，进而求得通项公式.

解：∵a_n,S_n,S_n－成等比数列，∴S_n²=a_n·(S_n－)(n≥2) (^*)

(1)由a₁=1,S₂=a₁+a₂=1+a₂,代入(^*)式得:a₂=－

由a₁=1，a₂=－,S₃=+a₃代入(^*)式得：a₃=－

同理可得：a₄=－,由此可推出：a_n=

(2)①当n=1,2,3,4时，由(^*)知猜想成立.

②假设n=k(k≥2)时，a_k=－成立

故S_k²=－·(S_k－)

∴(2k－3)(2k－1)S_k²+2S_k－1=0

∴S_k= (舍)

由S_k₊₁²=a_k₊₁·(S_k₊₁－),得(S_k+a_k₊₁)²=a_k₊₁(a_k₊₁+S_k－)

由①②知，a_n=对一切n∈N成立.

(3)由(2)得数列前n项和S_n=,∴S=S_n=0.

●歼灭难点训练

一、选择题

1.(★★★★★)已知f(n)=(2n+7)·3ⁿ+9,存在自然数m,使得对任意n∈N,都能使m整除f(n)，则最大的m的值为( )

A.30 B.26 C.36 D.6

2.(★★★★)用数学归纳法证明3^k≥n³(n≥3,n∈N)第一步应验证( )

A.n=1 B.n=2 C.n=3 D.n=4

二、填空题

3.(★★★★★)观察下列式子：…则可归纳出_________.

4.(★★★★)已知a₁=,a_n₊₁=,则a₂,a₃,a₄,a₅的值分别为_________，由此猜想a_n=_________.

三、解答题

5.(★★★★)用数学归纳法证明4+3ⁿ⁺²能被13整除，其中n∈N^*.

6.(★★★★)若n为大于1的自然数，求证：.

7.(★★★★★)已知数列{b_n}是等差数列，b₁=1,b₁+b₂+…+b₁₀=145.

(1)求数列{b_n}的通项公式b_n;

(2)设数列{a_n}的通项a_n=log_a(1+)(其中a＞0且a≠1)记S_n是数列{a_n}的前n项和，试比较S_n与log_ab_n₊₁的大小，并证明你的结论.

8.(★★★★★)设实数q满足|q|＜1,数列{a_n}满足：a₁=2,a₂≠0,a_n·a_n₊₁=－qⁿ,求a_n表达式，又如果S_2n＜3,求q的取值范围.

参考答案

难点磁场

解：假设存在a、b、c使题设的等式成立，这时令n=1,2,3,有

于是，对n=1,2,3下面等式成立

1·2²+2·3²+…+n(n+1)²=

记S_n=1·2²+2·3²+…+n(n+1)²

设n=k时上式成立，即S_k= (3k²+11k+10)

那么S_k₊₁=S_k+(k+1)(k+2)²=(k+2)(3k+5)+(k+1)(k+2)²

= (3k²+5k+12k+24)

=［3(k+1)²+11(k+1)+10］

也就是说，等式对n=k+1也成立.

综上所述，当a=3,b=11,c=10时，题设对一切自然数n均成立.

歼灭难点训练

一、1.解析：∵f(1)=36,f(2)=108=3×36,f(3)=360=10×36

∴f(1),f(2),f(3)能被36整除，猜想f(n)能被36整除.

证明：n=1,2时，由上得证，设n=k(k≥2)时，

f(k)=(2k+7)·3^k+9能被36整除，则n=k+1时，

f(k+1)－f(k)=(2k+9)·3^k⁺¹－(2k+7)·3^k

=(6k+27)·3^k－(2k+7)·3^k

=(4k+20)·3^k=36(k+5)·3^k^－²(k≥2)

f(k+1)能被36整除

∵f(1)不能被大于36的数整除，∴所求最大的m值等于36.

答案：C

2.解析：由题意知n≥3，∴应验证n=3.

答案：C

二、3.解析：

(n∈N^*)

、、、

三、5.证明：(1)当n=1时，4²^×¹⁺¹+3¹⁺²=91能被13整除

(2)假设当n=k时，4^2k+1+3^k⁺²能被13整除，则当n=k+1时，

4^2(k+1)+1+3^k⁺³=4^2k+1·4²+3^k⁺²·3－4^2k+1·3+4^2k+1·3

=4^2k+1·13+3·(4^2k+1+3^k⁺²)

∵4^2k+1·13能被13整除，4^2k+1+3^k⁺²能被13整除

∴当n=k+1时也成立.

由①②知，当n∈N^*时，4²ⁿ⁺¹+3ⁿ⁺²能被13整除.

6.证明：(1)当n=2时，

(2)假设当n=k时成立，即

7.(1)解：设数列{b_n}的公差为d,由题意得,∴b_n=3n－2

(2)证明：由b_n=3n－2知

S_n=log_a(1+1)+log_a(1+)+…+log_a(1+)

=log_a［(1+1)(1+)…(1+ )］

而log_ab_n₊₁=log_a,于是，比较S_n与log_ab_n₊₁的大小比较(1+1)(1+)…(1+)与的大小.

取n=1，有(1+1)=

取n=2，有(1+1)(1+

推测：(1+1)(1+)…(1+)＞ (^*)

①当n=1时，已验证(^*)式成立.

②假设n=k(k≥1)时(^*)式成立，即(1+1)(1+)…(1+)＞

则当n=k+1时，

,即当n=k+1时，(^*)式成立

由①②知，(^*)式对任意正整数n都成立.

于是，当a＞1时，S_n＞log_ab_n₊₁,当 0＜a＜1时，S_n＜log_ab_n₊₁

8.解：∵a₁·a₂=－q,a₁=2,a₂≠0,

∴q≠0,a₂=－,

∵a_n·a_n₊₁=－qⁿ,a_n₊₁·a_n₊₂=－qⁿ⁺¹

两式相除，得,即a_n₊₂=q·a_n

于是，a₁=2,a₃=2·q,a₅=2·qⁿ…猜想：a_2n+1=－qⁿ(n=1,2,3,…)

综合①②，猜想通项公式为a_n=

下证：(1)当n=1,2时猜想成立

(2)设n=2k－1时，a_2k_－₁=2·q^k^－¹则n=2k+1时，由于a_2k+1=q·a_2k_－₁

∴a_2k+1=2·q^k即n=2k－1成立.

可推知n=2k+1也成立.

设n=2k时，a_2k=－q^k,则n=2k+2时，由于a_2k+2=q·a_2k,

所以a_2k+2=－q^k+1,这说明n=2k成立，可推知n=2k+2也成立.

综上所述，对一切自然数n,猜想都成立.

这样所求通项公式为a_n=

S_2n=(a₁+a₃…+a_2n_－₁)+(a₂+a₄+…+a_2n)

=2(1+q+q²+…+qⁿ^-1)－ (q+q²+…+qⁿ)

由于|q|＜1,∴=

依题意知＜3,并注意1－q＞0,|q|＜1解得－1＜q＜0或0＜q＜

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