数学归纳法 （预习案）    

【温馨提示】

1.阅读预习情景，针对问题阅读教材理P92—P95，并用红色笔进行勾画。再回答教材助读中的问题；

2.在“我的疑惑”处写出自己的疑惑，利用课间或课上讨论，答疑解惑；独立完成“预习自测”；

3.时间不超过15分钟。

4.重点掌握的内容：数学归纳法的步骤与应用

【预习目标】

1.能解释数学归纳法的原理，会用数学归纳法证明问题；

2.自主总结应用数学归纳法证明问题的规律和方法；

【预习情景】

在学校，我们经常见到一个现象，排成排的自行车，一个同学不小心将其中一个自行车弄倒了，其他的自行车都被压倒了一个接一个倒下了。

【教材助读】

1.情景中整排自行车能够全部倒下的条件是什么？

  

2.数学归纳法的步骤是什么？

思考：（1）第一步的作用是什么？

     （2）第二步的作用是什么？

3.试用框图表示数学归纳法的证明步骤。

【预习自测】

1. 用数学归纳法证明等式时，第一步验证时，左边应取的项是（　　）

Ａ．1         Ｂ．              Ｃ．         Ｄ．

2. 用数学归纳法证明，则当n＝k＋1时左端应在n＝k的基础上加上(　　)

Ａ．       Ｂ．          Ｃ．         Ｄ．

3. 用数学归纳法证明“当n为正整数时，能被x＋y整除”的第二步是(　　)

A．假使n＝2k＋1时正确，再推n＝2k＋3正确(k∈N*)

B．假使n＝2k－1时正确，再推n＝2k＋1正确(k∈N*)

C．假使n＝k时正确，再推n＝k＋1正确(k∈N*)

D．假使n≤k(k≥1)时正确，再推n＝k＋2时正确(k∈N*)

4. 用数学归纳法证明

【我的疑惑】                                                                              

                                                                                           

【阅读欣赏】

七岁之师

     春秋时期，孔子和他的学生们周游列国，宣传他们的政治主张。一天，他们驾车去晋国。一个孩子在路当中堆碎石瓦片玩，挡住了他们的去路。孔子说："你不该在路当中玩，挡住我们的车！"。孩子指着地上说："老人家，您看这是什么？"孔子一看，是用碎石瓦片摆的一座城。孩子又说："您说，应该是城给车让路还是车给城让路呢？"孔子被问住了。孔子觉得这孩子很懂得礼貌，便问："你叫什么？几岁啦？"孩子说："我叫项橐，7岁！"孔子对学生们说："项橐7岁懂礼，他可以做我的老师啊！"

          

数学归纳法（探究案）

   

【温馨提示】

1. 独立审题，快速分析思路，力争10分钟内完成；

2. 结合预习案中“我的疑惑”，准备组内讨论或向展示同学请教；

3. 讨论完毕，迅速整理落实预习案与探究案。

【学习目标】

1.能解释数学归纳法的原理；

2.会用数学归纳法证明问题，并总结规律和方法；

探究点：数学归纳法的步骤、应用

【例1】用数学归纳法证明：

【例2】用数学归纳法证明不等式：

【规律方法】

应用数学归纳法证明有关正整数的步骤：

【课堂小结】

1.知识方面:

2.思想方法：

人生有几件绝对不能失去的东西：自制的力量，冷静的头脑，希望和信心。

 

第二篇：数学归纳法经典例题详解

例1．用数学归纳法证明：

．

请读者分析下面的证法：

证明：①n=1时，左边，右边，左边=右边，等式成立．

②假设n=k时，等式成立，即：

．

那么当n=k+1时，有：

       

这就是说，当n=k+1时，等式亦成立．

由①、②可知，对一切自然数n等式成立．

评述：上面用数学归纳法进行证明的方法是错误的，这是一种假证，假就假在没有利用归纳假设n=k这一步，当n=k+1时，而是用拆项法推出来的，这样归纳假设起到作用，不符合数学归纳法的要求．

正确方法是：当n=k+1时．

这就说明，当n=k+1时，等式亦成立，

例2．是否存在一个等差数列{a_n}，使得对任何自然数n，等式：

a₁+2a₂+3a₃+…+na_n=n(n+1)(n+2)

都成立，并证明你的结论．

分析：采用由特殊到一般的思维方法，先令n=1，2，3时找出来{a_n}，然后再证明一般性．  

解：将n=1，2，3分别代入等式得方程组．

，

解得a₁=6，a₂=9，a₃=12，则d=3．

故存在一个等差数列a_n=3n+3，当n=1，2，3时，已知等式成立．

下面用数学归纳法证明存在一个等差数列a_n=3n+3，对大于3的自然数，等式

a₁+2a₂+3a₃+…+na_n=n(n+1)(n+2)都成立．

因为起始值已证，可证第二步骤． 

假设n=k时，等式成立，即

a₁+2a₂+3a₃+…+ka_k=k(k+1)(k+2)

那么当n=k+1时，    

a₁+2a₂+3a₃+…+ka_k +(k+1)a_k+1

= k(k+1)(k+2)+ (k+1)[3(k+1)+3]

=(k+1)(k²+2k+3k+6)

=(k+1)(k+2)(k+3)

=(k+1)[(k+1)+1][(k+1)+2]

这就是说，当n=k+1时，也存在一个等差数列a_n=3n+3使a₁+2a₂+3a₃+…+na_n=n(n+1)(n+2)成立．

综合上述，可知存在一个等差数列a_n=3n+3，对任何自然数n，等式a₁+2a₂+3a₃+…+na_n=n(n+1)(n+2)都成立．

例3．证明不等式 (n∈N)．

证明：①当n=1时，左边=1，右边=2．

左边<右边，不等式成立．

②假设n=k时，不等式成立，即．

那么当n=k+1时，

这就是说，当n=k+1时，不等式成立．

由①、②可知，原不等式对任意自然数n都成立．

说明：这里要注意，当n=k+1时，要证的目标是

，当代入归纳假设后，就是要证明：

．

认识了这个目标，于是就可朝这个目标证下去，并进行有关的变形，达到这个目标．

例4．已知数列{a_n}满足a₁=0，a₂=1，当n∈N时，a_n+2=a_n+1+a_n．

求证：数列{a_n}的第4m+1项(m∈N)能被3整除．

分析：本题由a_n+1=a_n+1+a_n求出通项公式是比较困难的，因此可考虑用数学归纳法．

①当m=1时，a_4m+1=a₅=a₄+a₃=(a₃+a₂)+(a₂+a₁)=a₂+a₁+a₂+a₂+a₁=3，能被3整除．

②当m=k时，a_4k+1能被3整除，那么当n=k+1时，

a_4(k+1)+1=a_4k+5=a_4k+4+a_4k+3

=a_4k+3+a_4k+2+a_4k+2+a_4k+1

=a_4k+2+a_4k+1+a_4k+2+a_4k+2+a_4k+1

=3a_4k+2+2a_4k+1

由假设a_4k+1能被3整除，又3a_4k+2能被3整除，故3a_4k+2+2a_4k+1能被3整除．

因此，当m=k+1时，a_4(k+1)+1也能被3整除．

由①、②可知，对一切自然数m∈N，数列{a_n}中的第4m+1项都能被3整除．

例5．n个半圆的圆心在同一条直线l上，这n个半圆每两个都相交，且都在直线l的同侧，问这些半圆被所有的交点最多分成多少段圆弧？

分析：设这些半圆最多互相分成f (n)段圆弧，采用由特殊到一般的方法，进行猜想和论证．

        

当n=2时，由图(1)．两个半圆交于一点，则分成4段圆弧，故f (2)=4=2²．

当n=3时，由图(2)．三个半径交于三点，则分成9段圆弧，故f (3)=9=3²．

由n=4时，由图(3)．三个半圆交于6点，则分成16段圆弧，故f (4)=16=4²．

由此猜想满足条件的n个半圆互相分成圆弧段有f (n)=n²．

用数学归纳法证明如下：

①当n=2时，上面已证．

②设n=k时，f (k)=k²，那么当n=k+1时，第k+1个半圆与原k个半圆均相交，为获得最多圆弧，任意三个半圆不能交于一点，所以第k+1个半圆把原k个半圆中的每一个半圆中的一段弧分成两段弧，这样就多出k条圆弧；另外原k个半圆把第k+1个半圆分成k+1段，这样又多出了k+1段圆弧．

∴ f (k+1)=k²+k+(k+1)

         =k²+2k+1=(k+1)²

∴ 满足条件的k+1个半圆被所有的交点最多分成(k+1)²段圆弧．

由①、②可知，满足条件的n个半圆被所有的交点最多分成n²段圆弧．

说明：这里要注意；增加一个半圆时，圆弧段增加了多少条？可以从f (2)=4，f (3)=f (2)+2+3，f (4)=f (3)+3+4中发现规律：f (k+1)=f (k)+k+(k+1)．