数列专题复习

一、证明等差等比数列

1． 等差数列的证明方法：

 （1）定义法：(常数)   （2）等差中项法：

2．等比数列的证明方法：

（1）定义法：(常数)  （2）等比中项法：                    

例1.设｛a_n｝为等差数列，S_n为数列｛a_n｝的前n项和，已知S₇＝7，S₁₅＝75，

T_n为数列｛｝的前n项和，求T_n．

解：设等差数列｛a_n｝的公差为d，则

S_n=na₁＋n（n－1）d．∴S₇＝7，S₁₅＝75，∴即

解得a₁＝－2，d＝1．∴＝a₁＋（n－1）d＝－2＋（n－1）．

∵，∴数列｛｝是等差数列，其首项为－2，公差为，

∴T_n＝n²－n．

例2．设数列{a_n}的首项a₁=1，前n项和S_n满足关系式：

3tS_n－（2t+3）S_n－1=3t（t>0，n=2，3，4，…）

求证：数列{a_n}是等比数列；

解：（1）由a₁=S₁=1，S₂=1+a₂，得a₂=

又3tS_n－（2t+3）S_n－1=3t           ①

3tS_n－1－（2t+3）S_n－2=3t    ②

①－②得3ta_n－（2t+3）a_n－1=0 ∴，（n=2，3，…）

所以{a_n}是一个首项为1，公比为的等比数列.

练习：已知a₁=2，点(a_n,a_n+1)在函数f(x)=x²+2x的图象上，其中=1，2，3，…

（1）       证明数列｛lg(1+a_n)｝是等比数列；

（2）       设T_n=(1+a₁) (1+a₂) …(1+a_n)，求T_n及数列｛a_n｝的通项；

答案 .(2) ,;

二．通项的求法

（1）利用等差等比的通项公式

(2)累加法：

例3．已知数列满足，，求。

解：由条件知：

分别令，代入上式得个等式累加之，即

所以

，

（3）构造等差或等比或

例4．已知数列满足

       求数列的通项公式；

解：

      

       是以为首项，2为公比的等比数列。

      

       即　

例5．已知数列中，,，求.

解：在两边乘以得：

令，则,解之得：,所以.

练习:已知数列满足，且。

       （1）求；  （2）求数列的通项公式。

解：       （1）

       （2）

             

       ∴    

（4）利用

例6．若和分别表示数列和的前项和，对任意正整数

，.求数列的通项公式；

解： ……2分  当

  当……4分

练习：1. 已知正项数列{a_n}，其前n项和S_n满足10S_n=a_n²+5a_n+6且a₁,a₃,a₁₅成等比数列，求数列{a_n}的通项a_n  

解: ∵10S_n=a_n²+5a_n+6， ①   ∴10a₁=a₁²+5a₁+6，解之得a₁=2或a₁=3  

又10S_n－1=a_n－1²+5a_n－1+6(n≥2)，②

 由①－②得 10a_n=(a_n²－a_n－1²)+6(a_n－a_n－1)，即(a_n+a_n－1)(a_n－a_n－1－5)=0 

∵a_n+a_n－1>0  ， ∴a_n－a_n－1=5 (n≥2)  

当a₁=3时，a₃=13，a₁₅=73   a₁， a₃，a₁₅不成等比数列∴a₁≠3;

当a₁=2时， a₃=12， a₁₅=72， 有 a₃²=a₁a₁₅ ， ∴a₁=2， ∴a_n=5n－3 

2．设数列的前项的和

，

（Ⅰ）求首项与通项；

（Ⅱ）设，，证明：

解：（I），解得：

所以数列是公比为4的等比数列

所以：

得：  （其中n为正整数）

（II）

所以：

 

 

（5）累积法    转化为，逐商相乘.

例7．已知数列满足，，求。

解：由条件知，分别令，代入上式得个等式累乘之，即

又，

练习：1.已知， ，求。

解：  。

2．已知数列{a_n}，满足a₁=1， (n≥2)，

则{a_n}的通项  

解：由已知，得，用此式减去已知式，得

当时，，即，又，

，将以上n个式子相乘，得

（6）倒数变形：,两边取倒数后换元转化为。

例8：已知数列｛a_n｝满足：，求数列｛a_n｝的通项公式。

解：取倒数：

是等差数列，

练习：已知数列｛a_n｝满足：a₁＝，且a_n＝

求数列｛a_n｝的通项公式；

解：将条件变为：1－＝，因此｛1－｝为一个等比数列，其首项为

1－＝，公比，从而1－＝，据此得a_n＝（n³1）

三．数列求和

1、等差数列求和公式：  

2、等比数列求和公式：

3、错位相减法求和

{ a_n }、{ b_n }分别是等差数列和等比数列.

例9． 求和：

解：由题可知，设………………………①

…②（设制错位）

①－②得     （错位相减）再利用等比数列的求和公式得：。

∴   

练习： 求数列前n项的和.

解：由题可知，{}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{}的通项之积

设…………………………………①

…………② ①－②得 

∴  

4、倒序相加法求和

这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个.

5、分组法求和

有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.

例10． 求数列的前n项和：，…

解：设

将其每一项拆开再重新组合得

（分组）

当a＝1时，＝（分组求和）

当时，＝

6、裂项法求和

这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）

（1）为等差数列，

（2）

例11． 求数列的前n项和.

解：设，则                                       

＝

例12．  在数列{a_n}中，，又，求数列{b_n}的前n项的和.

解： 　 ∵

    　 ∴  数列{b_n}的前n项和：

 ＝ ＝

练习：

1．已知数列{}的前项和为，且满足 。求数列{}的通项公式；

解：（1）数列{}的前项和为，且满足

则    （）

相减得：       （） 

又当n=1时，， ，

{}是以为首项，公比的等比数列

     （）

2．已知数列：

①求证数列为等差数列，并求它的公差

②设，求。

解：①由条件，

∴；∴

故为等差数列，公差

②

又知

∴

 

第二篇：20xx最新高考数学考点归纳总结专题1.4 数列(通用版)

专题4 数列

1.已知数列前几项，求数列通项公式时，应注意四个特征：（1）分式中分子、分母的特征；（2）相邻项的变化特征；（3）拆项后的特征；（4）各项的符号特征等，并对此进行归纳、化归、联想.

2.由递推关系求数列通项公式时的常用方法有：（1）已知a1，且an?an?1?f(n)，可用“”求an；

（2）已知a1，且an可用“”求an；（3）已知a1，且an?1?qan?b，则an?1?k?q?an?k?，?f(n)，an?1

Aan(A,B,CBan?C（其中k可由待定系数法确定），可转化为数列?an?k?成等比数列求an；（4）形如an?1?

为常数）的数列，可通过两边同时取“倒数”构造新数列求解.注意求出n?1时，公式是否成立. 3.an与Sn关系的应用问题：（1）由an与前n项和Sn关系求an时：an???a1,n?1,，当n?1时，

?Sn?Sn?1,n?2

若a1适合an?Sn?Sn?1（n?2），，则n?1时的情况可并入n?2时的通项an；否则用分段函数的形式表示.

(2)由an与前n项和Sn关系求Sn，通常利用an?Sn?Sn?1（n?2）将已知关系式转化为Sn与Sn?1的关系式，然后求解.

4.判定一个数列是等差数列用定义法（n?2,an?an?1为同一常数）或等差中项法（n?2,2an?1?an?1?an），选择题和填空题也可用通项公式和前n项和公式来验证.

5.等差数列性质应用解题时，基本量法是常用方法，即把条件用公差d与首项a1来表示，列出方程求解是应用的方法.

6.求等差数列前n项和的最值的方法：（1）运用配方法转化为二次函数，借助二次函数的性质求最值；

（2）用通项公式求最值：求使an?0(an?0)成立时n的最大值即可. 7. 判定一个数列是等比数列用定义法（n?2,a为同一常数）或等比中项法an?1

（n?2,an?12?an?1?an(an?0)），选择题和填空题也可用通项公式和前n项和公式来验证.

8. 等比数列性质应用解题时，基本量法是常用方法，即把条件用公比q与首项a1来表示，列出方程求解是应用的方法.

9．数列求和常用方法有：（1）公式法，直接利用等差、等比数列的前n项和公式求和(等比数列求和需考虑q?1与q?1)；（2）倒序相加法，若一个数列?an?的前n项中与首末两端等“距离”的两项和相等或等于同一个常数，这样的求和问题可用倒序相加法；（3）裂项相消法，把数列的通项拆成两项，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和；（4）错位相减法，如果一个数列的各项是由一具等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的求和问题可用错位相减法；（5）分组求和法，若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减.

10.数列与不等式的恒成立问题，通常需要构造函数，通过函数的单调性、极值等解决问题.

11.与数列的关的不等式证明问题，需灵活选择不等式的证明方法，台比较法、综合法、分析法、放缩法等

.

1.【宁夏回族自治区银川一中2015届高三第一次模拟考试数学理】若等比数列{an}的前n项和

Sn?a?3n?2，则a2?（ ）

A．4 B．12 C．24 D．36

2. 【甘肃省兰州市20xx年高三诊断考试理】已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4?18?a5，则S8?

A．18 B．36 C．54 D．72

3. 【黄冈中学2015届高三（上）期末考试数学试题理】已知等比数列{an}的首项a1?2014，公比为q?记bn?a1a2a31，2an，则bn达到最大值时，n的值为（ ）

A．10 B．11 C．12 D．不存在

4. 【东北三省三校20xx年高三第一次联合模拟考试理科数学试题】设Sn是公差不为零的等差数列?an?的前n项和，且a1?0，若S5?S9，则当Sn最大时，n?（ ）

A．6 B．7 C．10 D．9

5. 【山东省潍坊市第一中学2014届高三1月期末考前模拟数学理】如果等差数列?an?中，a5?a6?a7?15，那么a3?a4?...?a9等于

（A）21 （B）30 （C）35 （D）40

6. 【吉林省长春市普通高中2015届高三质量监测（二）理】设数列?an?的前n项和为Sn，且a1?a2?1，

?nS??n?2?a?为等差数列，则a

n

n

n

?（ ）

A．

n2n?1

B．

n?12n?1n?1

C． D． n?1n?1n

2?122?1

的公比

且

，

7. 【吉林省吉林市第一中学校2015届高三3月“教与学”质量检测】已知等比数列

又

，则( )

B．a5?a7?a4?a8

A．a5?a7?a4?a8 C．a5?a7?a4?a8

D．|a5?a7|?|a4?a8|

8. 【浙江省绍兴市2015届高三上学期期末统考数学理试题】已知数列?an?的通项公式

an??n2?13n?

133． 4

当a1a2a3?a2a3a4?a3a4a5?????anan?1an?2取得最大值时，n的值为（ ）

A．7 B．8 C．9 D．10

9. 【宁夏回族自治区银川一中2015届高三第一次模拟考试数学理】对于函数y?f(x)，部分x与y的对应关系如下表：

*

数列{xn}满足：x1?1，且对于任意n?N，点(xn,xn?1)都在函数y?f(x)

的图像上，则

x1?x2?x3?x4???x2013?x2014的值为（

）

A. 7549 B. 7545 C. 7539 D. 7553

10. 【2015

年东北三省四市教研联合体高考模拟试卷】已知数列?an?中，an?0，a1?1，an?2?

1

，an?1

a100?a96，则a2014?a3?（ ）

A．

1?15

B． C． D．

2

222

11. 【江西省六校2015届高三3月联考数学理】设各项都是正数的等比数列?an?的前n项之积为Tn，且

T10?32，则

11

?的最小值是（ ） a5a6

D.

C.

12. 【安徽省安庆五校联盟2015届高三下学期3月联考数学理】已知数列{an}是等差数列，a1?tan225，a5?13a1，设Sn为数列{(?1)nan}的前n项和，则S2015?

A.2015 B.?2015 C. 3024 D.?3022

13．【吉林省吉林市第一中学校2015届高三3月“教与学”质量检测（一）】已知函数

??3?a?x?3f?x???x?6?a?x?7?，若数列?an?满足an?f(n)（n?N?），且?an?是递增数列，则实数a?x?7?

的取值范围是 ___________．

14．【浙江省绍兴市2015届高三上学期期末统考数学理试题9】已知数列?an?的前n项和Sn?n2?3，则首项a1?n?2时，an?

15.【甘肃省兰州市20xx年高三诊断考试理】数列{an}的首项为a1?1，数列{bn}为等比数列且bn?

1

10an?1，an若b10b11?2015，则a21?．

16．【四川省遂宁市2015届高三第二次诊断考试数学理】已知数列{an}为等差数列，其中a1?1,a7?13.

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）若数列{bn}满足bn?

?1，Tn为数列{bn}的前n项和，当不等式?Tn?n?8?(?1)nan?an?1（n?N）恒成立时，求实数?的取值范围.

17．【安徽省安庆五校联盟2015届高三下学期3月联考数学】设各项均为正数的数列?an?的前

2?n项和为Sn，满足an?4S?4n?1,n?N,且a2,a5,a14恰好是等比数列?bn?的前三项． ?1n

（Ⅰ）求数列?an?、?bn?的通项公式；

3 （Ⅱ）记数列?bn?的前n项和为Tn,若对任意的n?N*，(Tn?)k?3n?6恒成立，求实数2

k的取值范围．