数列专题复习（0929）

一、证明等差等比数列

1． 等差数列的证明方法：

 （1）定义法：(常数)   （2）等差中项法：

2．等比数列的证明方法：

（1）定义法：(常数)  （2）等比中项法：                    

例1.设｛a_n｝为等差数列，S_n为数列｛a_n｝的前n项和，已知S₇＝7，S₁₅＝75，

T_n为数列｛｝的前n项和，求T_n．

解：设等差数列｛a_n｝的公差为d，则

S_n=na₁＋n（n－1）d．∴S₇＝7，S₁₅＝75，∴即

解得a₁＝－2，d＝1．∴＝a₁＋（n－1）d＝－2＋（n－1）．

∵，∴数列｛｝是等差数列，其首项为－2，公差为，

∴T_n＝n²－n．

例2．设数列{a_n}的首项a₁=1，前n项和S_n满足关系式：

3tS_n－（2t+3）S_n－1=3t（t>0，n=2，3，4，…）

求证：数列{a_n}是等比数列；

解：（1）由a₁=S₁=1，S₂=1+a₂，得a₂=

又3tS_n－（2t+3）S_n－1=3t           ①

3tS_n－1－（2t+3）S_n－2=3t    ②

①－②得3ta_n－（2t+3）a_n－1=0 ∴，（n=2，3，…）

所以{a_n}是一个首项为1，公比为的等比数列.

练习：已知a₁=2，点(a_n,a_n+1)在函数f(x)=x²+2x的图象上，其中=1，2，3，…

（1）       证明数列｛lg(1+a_n)｝是等比数列；

（2）       设T_n=(1+a₁) (1+a₂) …(1+a_n)，求T_n及数列｛a_n｝的通项；

答案 .(2) ,;

二．通项的求法

（1）利用等差等比的通项公式

(2)累加法：

例3．已知数列满足，，求。

解：由条件知：

分别令，代入上式得个等式累加之，即

所以

，

（3）构造等差或等比或

例4．已知数列满足

       求数列的通项公式；

解：

      

       是以为首项，2为公比的等比数列。

      

       即　

例5．已知数列中，,，求.

解：在两边乘以得：

令，则,解之得：,所以.

练习:已知数列满足，且。

       （1）求；  （2）求数列的通项公式。

解：       （1）

       （2）

             

       ∴    

（4）利用

例6．若和分别表示数列和的前项和，对任意正整数

，.求数列的通项公式；

解： ……2分  当

  当……4分

练习：1. 已知正项数列{a_n}，其前n项和S_n满足10S_n=a_n²+5a_n+6且a₁,a₃,a₁₅成等比数列，求数列{a_n}的通项a_n  

解: ∵10S_n=a_n²+5a_n+6， ①   ∴10a₁=a₁²+5a₁+6，解之得a₁=2或a₁=3  

又10S_n－1=a_n－1²+5a_n－1+6(n≥2)，②

 由①－②得 10a_n=(a_n²－a_n－1²)+6(a_n－a_n－1)，即(a_n+a_n－1)(a_n－a_n－1－5)=0 

∵a_n+a_n－1>0  ， ∴a_n－a_n－1=5 (n≥2)  

当a₁=3时，a₃=13，a₁₅=73   a₁， a₃，a₁₅不成等比数列∴a₁≠3;

当a₁=2时， a₃=12， a₁₅=72， 有 a₃²=a₁a₁₅ ， ∴a₁=2， ∴a_n=5n－3 

2．设数列的前项的和

，

（Ⅰ）求首项与通项；

（Ⅱ）设，，证明：

解：（I），解得：

所以数列是公比为4的等比数列

所以：

得：  （其中n为正整数）

（II）

所以：

（5）累积法    转化为，逐商相乘.

例7．已知数列满足，，求。

解：由条件知，分别令，代入上式得个等式累乘之，即

又，

练习：1.已知， ，求。

解：  。

2．已知数列{a_n}，满足a₁=1， (n≥2)，

则{a_n}的通项  

解：由已知，得，用此式减去已知式，得

当时，，即，又，

，将以上n个式子相乘，得

（6）倒数变形：,两边取倒数后换元转化为。

例8：已知数列｛a_n｝满足：，求数列｛a_n｝的通项公式。

解：取倒数：

是等差数列，

练习：已知数列｛a_n｝满足：a₁＝，且a_n＝

求数列｛a_n｝的通项公式；

解：将条件变为：1－＝，因此｛1－｝为一个等比数列，其首项为

1－＝，公比，从而1－＝，据此得a_n＝（n³1）

三．数列求和

1、等差数列求和公式：  

2、等比数列求和公式：

3、错位相减法求和

{ a_n }、{ b_n }分别是等差数列和等比数列.

例9． 求和：

解：由题可知，设………………………①

…②（设制错位）

①－②得     （错位相减）再利用等比数列的求和公式得：。

∴   

练习： 求数列前n项的和.

解：由题可知，{}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{}的通项之积

设…………………………………①

…………② ①－②得 

∴  

4、倒序相加法求和

这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个.

5、分组法求和

有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.

例10． 求数列的前n项和：，…

解：设

将其每一项拆开再重新组合得

（分组）

当a＝1时，＝（分组求和）

当时，＝

6、裂项法求和

这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）

（1）为等差数列，

（2）

例11． 求数列的前n项和.

解：设，则                                       

＝

例12．  在数列{a_n}中，，又，求数列{b_n}的前n项的和.

解： 　 ∵

    　 ∴  数列{b_n}的前n项和：

 ＝ ＝

练习：

1．已知数列{}的前项和为，且满足 。求数列{}的通项公式；

解：（1）数列{}的前项和为，且满足

则    （）

相减得：       （） 

又当n=1时，， ，

{}是以为首项，公比的等比数列

     （）

2．已知数列：

①求证数列为等差数列，并求它的公差

②设，求。

解：①由条件，

∴；∴

故为等差数列，公差

②

又知

∴

 

第二篇：高考数列专题总结(全是精华)

数列复习

一、证明等差等比数列

1． 等差数列的证明方法：

 （1）定义法：(常数)   （2）等差中项法：

2．等比数列的证明方法：

（1）定义法：(常数)  （2）等比中项法：

例1.设｛a_n｝为等差数列，S_n为数列｛a_n｝的前n项和，已知S₇＝7，S₁₅＝75，

T_n为数列｛｝的前n项和，求T_n．

例2．设数列{a_n}的首项a₁=1，前n项和S_n满足关系式：

3tS_n－（2t+3）S_n－1=3t（t>0，n=2，3，4，…）

求证：数列{a_n}是等比数列；

   练习：已知a₁=2，点(a_n,a_n+1)在函数f(x)=x²+2x的图象上，其中=1，2，3，…

（1）       证明数列｛lg(1+a_n)｝是等比数列；

（2）       设T_n=(1+a₁) (1+a₂) …(1+a_n)，求T_n及数列｛a_n｝的通项；

二．通项的求法

（1）利用等差等比的通项公式

(2)累加法：

例3．已知数列满足，，求。

例4．已知数列满足

       求数列的通项公式；

例5．已知数列中，,，求.

练习:已知数列满足，且。

       （1）求；  （2）求数列的通项公式。

例6．若和分别表示数列和的前项和，对任意正整数

，.求数列的通项公式；

练习：1. 已知正项数列{a_n}，其前n项和S_n满足10S_n=a_n²+5a_n+6且a₁,a₃,a₁₅成等比数列，求数列{a_n}的通项a_n  

2．设数列的前项的和

，

（Ⅰ）求首项与通项；

（Ⅱ）设，，证明：

例7．已知数列满足，，求。

练习：1.已知， ，求。

2．已知数列{a_n}，满足a₁=1， (n≥2)，

则{a_n}的通项  

倒数变形：,两边取倒数后换元转化为。

例8：已知数列｛a_n｝满足：，求数列｛a_n｝的通项公式。

练习：已知数列｛a_n｝满足：a₁＝，且a_n＝

求数列｛a_n｝的通项公式；

三．数列求和

1、等差数列求和公式：  

2、等比数列求和公式：

3、错位相减法求和

{ a_n }、{ b_n }分别是等差数列和等比数列.

例9． 求和：

练习： 求数列前n项的和.

4、倒序相加法求和

这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个.

5、分组法求和

有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.

例10． 求数列的前n项和：，…

6、裂项法求和

这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）

（1）为等差数列，

（2）

例11． 求数列的前n项和.

例12．  在数列{a_n}中，，又，求数列{b_n}的前n项的和.

练习：

1．已知数列{}的前项和为，且满足 。求数列{}的通项公式；

2．已知数列：

①求证数列为等差数列，并求它的公差

②设，求。