数学归纳练习题

一、填空题

1． 平面内有n(n≥2)个圆心在同一直线l上的半圆，其中任何两个都相交，且都在直线l的同侧(如

图)，则这些半圆被所有的交点最多分成的圆弧的段数为________．

解析：设最多分成的圆弧的段数为f(n)，则由题图容易发现，f(2)＝4＝22，f(3)＝9＝32，f(4)＝16＝42.答案：n2

2．设n∈N*，则4×6n＋5n＋1除以20的余数为________．

解析：取n＝1，则4×6n＋5n＋1＝24＋25＝49，被20除余数为9.答案：9

3．用数学归纳法证明“1＋2＋3＋?＋n＋?＋3＋2＋1＝n2(n∈N*)”时，从n＝k到n＝k＋1时，该式

左边应添加的代数式是________．

解析：∵当n＝k＋1时，左边＝1＋2＋?＋k＋(k＋1)＋k＋?＋2＋1，

∴从n＝k到n＝k＋1时，应添(k＋1)＋k＝2k＋1.答案：2k＋1

4．用数学归纳法证明“对于足够大的正整数n，总有2n>n3”时，验证第一步不等式成立所取的第一个

最小值n0应当是______．

解析：n＝1时，21>13，n＝2,3，?，9时2n<n3，n＝10时，210＝1 024>103，∴n0＝10.答案：10

5．数列{an}中，已知a1＝2，an＋1＝

达式为________．

22222解析：a1＝2，a2＝a3＝，a4＝an＝答案：an＝ 713196n－56n－5

二、解答题

111111111． 用数学归纳法证明：1－＋－＋?＋－＝＋＋?＋. 2342n－12nn＋1n＋22n

111证明：(1)当n＝1时，左边＝1－ 222

11111(2)假设当n＝k时命题成立，即1－＋－＋?＋－F 2342k－12kan3an＋1n∈N*)，依次计算出a2，a3，a4后，归纳、猜测得出an的表

1111111111＝那么当n＝k＋1时，左边＝1－＋－＋?＋－＋－＝k＋1k＋22k2342k－12k2k＋12k＋2111111111k＋1k＋22k2k＋12k＋2k＋2k＋32k＋12k＋2

上式表明当n＝k＋1时命题也成立．由(1)和(2)知，命题对一切自然数均成立．

11112．用数学归纳法证明不等式：＋＋＋?＋21(n∈N*且n＞1)． nn＋1n＋2n11113证明：(1)当n＝2时，不等式的左边为1，故n＝2时表达式成立； 23412

1111(2)假设当n＝k(k＞1，k∈N*)时不等式成立，即2＞1 kk＋1k＋2k那么，当n＝k＋1时，由k≥2得

11111＋＋?＋2＋2＋＋?＋k＋1k＋2kk＋1k2＋2

???1k＋112＋k＋11

k＋11k＋1111＋?＋2＞1－＋2＞1－＋2kk＋1k＋2k＋1k1212k＋1k2－k＋1?1＋ 2?＝1－＋2kk＋12k＋1?

当k≥2时，k2－k－1＞0成立，故当n＝k＋1时不等式也成立

根据(1)和(2)可知，当n＞1，n∈N*时不等式都成立．

 

第二篇：数学归纳法习题

§11.5 数学归纳法

(时间：50分钟 满分：75分)

一、选择题(每小题5分，共25分)

1．(2011·怀化模拟)用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，在

第二步时，正确的证法是 ( )

A．假设n＝k(k∈N＋)，证明n＝k＋1命题成立

B．假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋1命题成立

C．假设n＝2k＋1(k∈N＋)，证明n＝k＋1命题成立

D．假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋2命题成立

解析：A、B、C中，k＋1不一定表示奇数，只有D中k为奇数，k＋2为奇数．

答案：D

1112．(2011·鹤壁模拟)用数学归纳法证明“1＋＋＋?＋<n(n∈N*，n>1)”时，由n＝ 232－1

k(k>1)不等式成立，推证n＝k＋1时，左边应增加的项数是 ( )

A．2k1 B．2k－1 －

C．2k D．2k＋1

解析：增加的项数为(2k1－1)－(2k－1)＝2k1－2k＝2k. ＋＋

答案：C

3．(2011·巢湖联考)n＋n<n＋1(n∈N*)，某同学用数学归纳法的证明过程如

下：

(1)当n＝1时，1＋1<1＋1，不等式成立． (2)假设当n＝k(k∈N*)时，不等式成立，k＋k<k＋1，则当n＝k＋1?k＋1?＋?k＋1?＝k＋3k＋2<?k＋3k＋2?＋?k＋2?＝?k＋2?＝(k＋1)＋1，

∴当n＝k＋1时，不等式成立，则上述证法 ( )

A．过程全部正确

B．n＝1验得不正确

C．归纳假设不正确

D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确

解析：在n＝k＋1时，没有应用n＝k时的假设，不是数学归纳法．

答案：D

4．用数学归纳法证明“n2＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N*)能被9整除”，要利用归纳假设证n＝k

＋1时的情况，只需展开 ( )

A．(k＋3)3 B．(k＋2)3

C．(k＋1)3 D．(k＋1)3＋(k＋2)3

解析：假设当n＝k时，原式能被9整除，即k2＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除．

当n＝k＋1时，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3为了能用上面的归纳假设，只需将(k＋3)3展开，让其出现k3即可．

答案：A

5．用数学归纳法证明不等式11113n≥2，n∈N*)的过程中，由n＝k递推 2n14n＋1n＋2

到n＝k＋1时不等式左边 ( )

1A．增加了一项 2?k＋1?

B．增加了两项11、 2k＋12k＋2

1C．增加了B中两项但减少了一项 k＋1

D．以上各种情况均不对

111111解析：∵n＝k时，左边＝＋?＋，n＝k＋1时，左边＝＋?＋ 2k2kk＋1k＋2k＋2k＋3

11＋， 2k＋12k＋2

111∴增加了两项，少了一项2k＋12k＋2k＋1

答案：C

二、填空题(每小题4分，共16分)

6．(2011·淮南调研)若f(n)＝12＋22＋32＋?＋(2n)2，则f(k＋1)与f(k)的递推关系式是_____．

解析：∵f(k)＝12＋22＋?＋(2k)2，

∴f(k＋1)＝12＋22＋?＋(2k)2＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2；

∴f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2.

答案：f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2

1111113111117．观察不等式：1>1＋＋>1,1＋＋1＋＋＋?＋>2,1＋2232372231523

15>，?，由此猜测第n个不等式为________(n∈N*)． 312

111n解析：3＝22－1,7＝23－1,15＝24－1，可猜测：1＋＋?＋232－12

111n答案：1＋＋?＋232－12

8．(2011·东莞调研)已知整数对的序列如下：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，

(1,4)， (2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，?，则第60个数对是________．

解析：本题规律：2＝1＋1；3＝1＋2＝2＋1；

4＝1＋3＝2＋2＝3＋1；

5＝1＋4＝2＋3＝3＋2＝4＋1；

?；

一个整数n所拥有数对为(n－1)对．

设1＋2＋3＋?＋(n－1)＝60，

?n－1?n∴＝60， 2

∴n＝11时还多5对数，且这5对数和都为12，

12＝1＋11＝2＋10＝3＋9＝4＋8＝5＋7，

∴第60个数对为(5,7)．

答案：(5,7)

9．如下图，在杨辉三角形中，从上往下数共有n(n∈N*)行，在这些数中非1的数字之和是

________________．

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

??

解析：所有数字之和Sn＝20＋2＋22＋?＋2n1＝2n－1，除掉1的和2n－1－(2n－1)＝2n －

－2n.

答案：2n－2n

三、解答题(共3小题，共34分)

10．(本小题满分10分)试证：当n∈N*时，f(n)＝32n2－8n－9能被64整除． ＋

证明：证法一：(1)当n＝1时，f(1)＝64，命题显然成立．

(2)假设当n＝k(k∈N*，k≥1)时，f(k)＝32k2－8k－9能被64整除． ＋

当n＝k＋1时，由于32(k

＋＋1)＋2－8(k＋1)－9 ＋＝9(32k2－8k－9)＋9·8k＋9·9－8(k＋1)－9＝9(32k2－8k－9)＋64(k＋1)，

即f(k＋1)＝9f(k)＋64(k＋1)，∴n＝k＋1时命题也成立．

根据(1)、(2)可知，对于任意n∈N*，命题都成立．

证法二：(1)当n＝1时f(1)＝64

命题显然成立．

(2)假设当n＝k(k∈N*，k≥1)时，f(k)＝32k2－8k－9能被64整除． ＋

由归纳假设，设32k2－8k－9＝64m(m为大于1的自然数)， ＋

将32k2＝64m＋8k＋9代入到f(k＋1)中得 ＋

f(k＋1)＝9(64m＋8k＋9)－8(k＋1)－9＝64(9m＋k＋1)，∴n＝k＋1时命题也成立． 根据(1)(2)知，对于任意n∈N*，命题都成立．

111．(本小题满分12分)已知数列{an}的各项都是正数，且满足：a0＝1，an＋1＝n·(4－an)(n 2

∈N)．

证明：an<an＋1<2(n∈N)．

证明：证法一：用数学归纳法证明：

13(1)当n＝0时，a0＝1，a1＝a0(4－a0)a0<a1<2，命题正确． 22

(2)假设n＝k－1(k∈N*)时命题成立，即ak－1<ak<2.

则当n＝k时，ak－ak＋1

111＝ak－1(4－ak－1)－ak(4－ak)＝2(ak－1－ak)－(ak－1－ak)(ak－1＋ak) 222

1＝(ak－1－ak)(4－ak－1－ak)． 2

而ak－1－ak<0,4－ak－1－ak>0，所以ak－ak＋1<0.

11又ak＋1ak(4－ak)[4－(ak－2)2]<2.所以n＝k时命题成立． 22

由(1)(2)可知，对一切n∈N时有an<an＋1<2.

证法二：用数学归纳法证明：

13(1)当n＝0时，a0＝1，a1＝a0(4－a0)0<a0<a1<2； 22

1(2)假设n＝k－1(k∈N*)时有ak－1<ak<2成立，令f(x)＝(4－x)，f(x)在[0,2]上单调递增， 2

所以由假设有：f(ak－1)<f(ak)<f(2)，

111即ak－1(4－ak－1)<k(4－ak)<2×(4－2)， 222

也即当n＝k时，ak<ak＋1<2成立．所以对一切n∈N，有ak<ak＋1<2.

12．(本小题满分12分)(2011·开封调研)在数列{an}，{bn}中，a1＝2，b1＝4，且an，bn，

an＋1成等差数列，bn，an＋1，bn＋1成等比列(n∈N*)，求a2，a3，a4与b2，b3，b4的值，由 此猜测{an}，{bn}的通项公式，并证明你的结论． 解：由条件得2bn＝an＋an＋1，a2n＋1＝bnbn＋1. 又a1＝2，b1＝4，由此可得a2＝6，b2＝9，a3＝12，b3＝16， a4＝20，b4＝25，猜测an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)2. 用数学归纳法证明：

①当n＝1时，a1＝2，b1＝4，结论成立． ②假设当n＝k(k∈N*)时结论成立，

即ak＝k(k＋1)，bk＝(k＋1)2，那么当n＝k＋1时， ak＋1＝2bk－ak＝2(k＋1)2－k(k＋1)

＝(k＋1)[(k＋1)＋1]，

a2k＋1bk＋1＝＝(k＋2)2＝[(k＋1)＋1]2， bk

∴当n＝k＋1时，结论也成立．

由①②知，an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)2对一切正整数都成立．