二、等差数列 (高中重点总结)

1.等差数列的定义：an?an?1?d（d为常数）（n?2）；

2．等差数列通项公式：

an?a1?(n?1)d?dn?a1?d(n?N*) ， 首项:a1，公差:d，末项:an

推广： an?am?(n?m)d． 从而d?

3．等差中项

（1）如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项．即：A?

（2）等差中项：数列?an?是等差数列?2an?an-1?an?1(n?2)?2an?1?an?an?2

4．等差数列的前n项和公式： a?b或2A?a?b 2an?am； n?m

Sn?n(a1?an)n(n?1)d1?na1?d?n2?(a1?d)n?An2?Bn 2222

（其中A、B是常数，所以当d≠0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0）

特别地，当项数为奇数2n?1时，an?1是项数为2n+1的等差数列的中间项

S2n?1??2n?1??a1?a2n?1??2?2n?1?an?1（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项）

? 5．等差数列的判定方法 （1） 定义法：若an?an?1?d或an?1?an?d(常数n?N)? ?an?是等差数列．

⑶数列?an?是等差数列?an?kn?b（其中k,b是常数）。 （2） 等差中项：数列?an?是等差数列?2an?an-1?an?1(n?2)?2an?1?an?an?2．

（4）数列?an?是等差数列?Sn?An2?Bn,（其中A、B是常数）。

6．等差数列的证明方法

定义法：若an?an?1?d或an?1?an?d(常数n?N)? ?an?是等差数列． ?

7.提醒：

（1）等差数列的通项公式及前n和公式中，涉及到5个元素：a1、d、n、an及Sn，其中a1、d称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。

（2）设项技巧：

①一般可设通项an?a1?(n?1)d

②奇数个数成等差，可设为?，a?2d,a?d,a,a?d,a?2d?（公差为d）；

③偶数个数成等差，可设为?，a?3d,a?d,a?d,a?3d,?（注意；公差为2d）

8..等差数列的性质：

（1）当公差d?0时，

等差数列的通项公式an?a1?(n?1)d?dn?a1?d是关于n的一次函数，且斜率为公差d；

前n和Sn?na1?n(n?1)ddd?n2?(a1?)n是关于n的二次函数且常数项为0. 222

（2）若公差d?0，则为递增等差数列，若公差d?0，则为递减等差数列，若公差d?0，则为常数列。

（3）当m?n?p?q时,则有am?an?ap?aq，特别地，当m?n?2p时，则有am?an?2ap.

注：a1?an?a2?an?1?a3?an?2????，

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（4）若?an?、?bn?为等差数列，则??an?b?，??1an??2bn?都为等差数列

(5) 若{an}是等差数列，则Sn,S2n?Sn,S3n?S2n ，?也成等差数列

（6）数列{an}为等差数列,每隔k(k?N)项取出一项(am,am?k,am?2k,am?3k,???)仍为等差数列

（7）设数列?an?是等差数列，d为公差，S奇是奇数项的和，S偶是偶数项项的和，Sn是前n项的和

1.当项数为偶数2n时， *

n?a1?a2n?1?S奇?a1?a3?a5?????a2n?1??nan 2

n?a2?a2n?S偶?a2?a4?a6?????a2n??nan?1 2

S偶?S奇?nan?1?nan?n?an?1?an?

S奇nana??n S偶nan?1an?1

2、当项数为奇数2n?1时，则

?S奇n?1?S2n?1?S奇?S偶?(2n?1)an+1??S奇?(n?1)an+1??? ??S?S?aS?naSnn+1n+1?奇偶偶?偶??

（其中an+1是项数为2n+1的等差数列的中间项）．

（8）、{bn}的前n和分别为An、Bn，且

则

（9）等差数列{an}的前n项和Sm?n，前m项和Sn?m，则前m+n项和Sm?n???m?n?

(10)求Sn的最值

法一：因等差数列前n项是关于n的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性An?f(n)， Bnan(2n?1)anA2n?1???f(2n?1). nn2n?1n?N*。

法二：（1）“首正”的递减等差数列中，前n项和的最大值是所有非负项之和

即当a1?0，d?0， 由??an?0可得Sn达到最大值时的n值．

?an?1?0

?an?0可得Sn达到最小值时的n值． ?an?1?0 （2） “首负”的递增等差数列中，前n项和的最小值是所有非正项之和。 即 当a1?0，d?0， 由?

或求?an?中正负分界项

法三：直接利用二次函数的对称性：由于等差数列前n项和的图像是过原点的二次函数，故n取离二次函数对称轴最近的整数时，Sn取最大值（或最小值）。若S p = S q则其对称轴为n?

注意：解决等差数列问题时，通常考虑两类方法：

①基本量法：即运用条件转化为关于a1和d的方程；

②巧妙运用等差数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量．

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第二篇：等差数列总结

等差数列的性质总结

1.等差数列的定义：（d为常数）（）；

2．等差数列通项公式：

        ，  首项:，公差:d，末项:

   推广： ．      从而；

3．等差中项

（1）如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项．即：或

（2）等差中项：数列是等差数列

4．等差数列的前n项和公式：

（其中A、B是常数，所以当d≠0时，S_n是关于n的二次式且常数项为0）

特别地，当项数为奇数时，是项数为2n+1的等差数列的中间项

（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项）

5．等差数列的判定方法

（1）定义法：若或(常数) 是等差数列．

（2） 等差中项：数列是等差数列．

⑶数列是等差数列（其中是常数）。

（4）数列是等差数列,（其中A、B是常数）。

6．等差数列的证明方法

定义法：若或(常数) 是等差数列．

7.提醒：

（1）等差数列的通项公式及前和公式中，涉及到5个元素：、、、及，其中、称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。

（2）设项技巧：

①一般可设通项

②奇数个数成等差，可设为…，…（公差为）；

③偶数个数成等差，可设为…，,…（注意；公差为2）

8..等差数列的性质：

（1）当公差时，

等差数列的通项公式是关于的一次函数，且斜率为公差；

前和是关于的二次函数且常数项为0.

（2）若公差，则为递增等差数列，若公差，则为递减等差数列，若公差，则为常数列。

（3）当时,则有，特别地，当时，则有.

注：，

（4）若、为等差数列，则都为等差数列

(5) 若{}是等差数列，则 ，…也成等差数列

（6）数列为等差数列,每隔k(k)项取出一项()仍为等差数列

（7）设数列是等差数列，d为公差，是奇数项的和，是偶数项项的和，是前n项的和

1.当项数为偶数时，

2、当项数为奇数时，则

（其中是项数为2n+1的等差数列的中间项）．

（8）、的前和分别为、，且，

则.

（9）等差数列的前n项和，前m项和，则前m+n项和

(10)求的最值

法一：因等差数列前项和是关于的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性。

法二：（1）“首正”的递减等差数列中，前项和的最大值是所有非负项之和

即当 由可得达到最大值时的值．

  （2） “首负”的递增等差数列中，前项和的最小值是所有非正项之和。

即 当 由可得达到最小值时的值．

或求中正负分界项

法三：直接利用二次函数的对称性：由于等差数列前n项和的图像是过原点的二次函数，故n取离二次函数对称轴最近的整数时，取最大值（或最小值）。若S _p = S _q则其对称轴为

注意：解决等差数列问题时，通常考虑两类方法：

①基本量法：即运用条件转化为关于和的方程；

②巧妙运用等差数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量．

 

第三篇：等差数列-总结

   高一数学   等差数列

一、考点、热点回顾

1.等差通项公式：；；递推公式：；

2.等差数列前n项公式：==

3.数列的关系：

4.（m+n=p+q）；（m+n=2k）

5.若三个数成等差数列，则这三个数一般可设为；

  若四个数成等差数列，则这四个数一般可设为。

6.公差为d的等差数列前n项和为，则仍成等差数列，公差为

7.已知是以公差为d的等差数列，若

，…，则成等差数列，公差为kd.即等差数列分成若干段后仍成等差数列。

8.等差数列若项数为奇数项，则；（设共有2n+1项）；

          若项数为偶数项，则；      （设共有2n项）。

9.对等差数列前项和的最值问题有两种方法:

（1）利用：当＞0，d＜0，前n项和有最大值（可由≥0且≤0，求得n的值）

            当＜0，d＞0，前n项和有最小值（可由≤0且≥0，求得n的值）

（2）利用：由二次函数配方求得最值时的n值。

10.已知两个等差数列前2n-1项和之比等于通项公式之比：

二、典型例题

例1.【与的关系】已知数列的前n项和为，求它的通项公式.

变式：已知数列的前n项和为，求它的通项公式.

例2.【整体思想】若一个等差数列前3项和为34，最后三项和为146，且所有项的和为390，则这个数列共有______项。

例3.【比值问题】已知两个等差数列{an},{bn}，它们的前n项和分别是Sn,Tn，若

例4.在等差数列中，，，求。

方法一【方程思想】：

方法二【仍成等差数列】：

例5.【最值问题】已知一个等差数列满足且＞0，求当n为何值时其前n项和取最大值。

方法一：

方法2：

例6.含有2n+1个项数的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为（    ）

A.          B.          C.          D.

笔记：

三、实战演练

1.在等差数列中，公差，，则的值为（B   ）

（A）40            （B）45                  （C）50             （D）55

2.一个项数是偶数的等比数列，它的偶数项的和是奇数项和的2倍，又它的首项为1，且中间两项的和为24，则此等比数列的项数为（  C  ）

（A）12            （B）10                   （C）8                （D）6

3.设S_n是等差数列｛a_n｝的前n项和，若＝，则 ＝ （   A    ）

（A）            （B）                    （C）              （D）

4.数列的前项和记为，求的通项公式。

5.在等差数列中，

6.在等差数列中，，，

（1）该数列第几项开始为正？

（2）前多少项和最小，并求其最小值？

（3）求前项和Sn？

（4）求前项和Tn？

7.等差数列中，，求使得Sn＞0成立的最大自然数n。

8.各项均为正数的等差数列{a_n}中必有(      )

A．           B．        C．               D．

9.已知{a_n}是以公差为的等差数列，若

，…，则新数列的公差为         。

10.数列{a_n}的通项公式，它的前n项和为S_n=9，则n=（    ）

   (A)9             (B)10              (C)99             (D)100

11.数列{a_n}、{b_n}都是等差数列，它们的前n项的和为，则这两个数列的第5项的比为                 (    )

   (A)        (B)           (C)           (D)以上结论都不对