东南大学数学建模实验报告

学号：             姓名：             成绩：____________

一：实验名称：中国近30年的人口马尔萨斯模型

一）、实验目的：

1、掌握matlab绘制拟合图的方法

2、掌握马尔萨斯模型建立的方法

3、通过实验了解马尔萨斯模型的有点和缺陷

二）、在网上收集相关的资料：

人口数量以“万人”为单位

三）、实验内容

实验Matlab代码：

clear all 

x=[1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 20## 2001 20## 2003 20## 2005 20## 2007 20## 2009]; 

y=[96259 97542 98705 100072 101654 103008 104357 105851 107507 109300 111026 112704 114333 115823 117171 118517 119850 121121 122389 123626 124761 125786 126743 127627 128453 129227 129988 130756 132129 133474 132802 131448]; 

z=log(y); 

p=polyfit(x,z,3); 

z1=polyval(p,x); 

y1=exp(z1); 

plot(x,y,'*',x,y1) 

p

p =

   1.0e+04 *

  -0.000000000556476   0.000003305440987  -0.006543244251067   4.317705523079119 

四）、实验结果分析：

前期人口增长较快，直到20##年，中国的人口始终处于增长的态势，虽然增长的速度略有减缓，但很显然还没有达到人口的环境容纳量。

二：数值分析法

1）、实验目的：

1.   掌握利用软件进行数学建模的基本思想。

2.   学会使用软件进行三次样条插值来绘制图形。

2）、实验内容：

习题5.3

（1）已知某平原地区的一条公路经过如下坐标所表示的点，请用样条插值绘出这条公路（不考虑公路的宽度）。

（2）对于上表所给出的数据，估计公路长度。

3）、实验过程：

实验Matlab代码：

X=[0,30,50,70,80,90,120,148,170,180,202,212,230,248,268,271,280,290,300,312,320,340,360,372,382,390,416,430,478,440,420,380,360,340,320,314,280,240,200];

Y=[80,64,47,42,48,66,80,120,121,138,160,182,200,208,212,210,200,196,188,186,200,184,188,200,202,240,246,280,296,308,334,328,334,346,356,360,392,390,400];

n1=29;

X1=[0,30,50,70,80,90,120,148,170,180,202,212,230,248,268,271,280,290,300,312,320,340,360,372,382,390,416,430,478];

Y1=[80,64,47,42,48,66,80,120,121,138,160,182,200,208,212,210,200,196,188,186,200,184,188,200,202,240,246,280,296];

Z1=0:1:478;

m1=length(Z1);

gbar1=[-8/15,1/3];          

lmd1(1)=1;

mu1(n1)=1;

for i=1:n1-1

    h1(i)=X1(i+1)-X1(i);

end

d1(1)=6*((Y1(2)-Y1(1))/h1(1)-gbar1(1))/h1(1);

d1(n1)=6*(gbar1(2)-(Y1(n1)-Y1(n1-1))/h1(n1-1))/h1(n1-1);

for i=2:n1-1

    lmd1(i)=h1(i)/(h1(i-1)+h1(i));

    mu1(i)=1- lmd1(i);

    d1(i)=6*((Y1(i+1)-Y1(i))/h1(i)-(Y1(i)-Y1

(i-1))/h1(i-1))/(h1(i-1)+h1(i));

End                            

A1(1,1)=2;

A1(1,2)=1;

A1(n1,n1-1)=1;

A1(n1,n1)=2;

for i=2:n1-1

    A1(i,i-1)=mu1(i);

    A1(i,i)=2;

    A1(i,i+1)=lmd1(i);

end

M1=inv(A1)*d1';     

for k=1:m1

    for i=1:n1-1

        if Z1(k)>=X1(i)&Z1(k)<=X1(i+1)

S1(k)=M1(i)*(X1(i+1)-Z1(k))^3/(6*h1(i))+M1(i+1)*(Z1(k)-X1(i))^3/(6*h1(i))+(Y1(i)-M1(i)*h1(i)^2/6)*(X1(i+1)-Z1(k))/h1(i)+(Y1(i+1)-M1(i+1)*h1(i)^2/6)*(Z1(k)-X1(i))/h1(i);

            break

        end

    end

end             

n2=11;

X2=[200,240,280,314,320,340,360,380,420,440,478];

Y2=[400,390,392,360,356,346,334,328,334,308,296];

Z2=200:1:478;

m2=length(Z2);

gbar2=[-1/4,-6/19];

lmd2(1)=1;

mu2(n2)=1;

for i=1:n2-1

    h2(i)=X2(i+1)-X2(i);

end

d2(1)=6*((Y2(2)-Y2(1))/h2(1)-gbar2(1))/h2(1);

d2(n2)=6*(gbar2(2)-(Y2(n2)-Y2(n2-1))/h2(n2-1))/h2(n2-1);

for i=2:n2-1

    lmd2(i)=h2(i)/(h2(i-1)+h2(i));

    mu2(i)=1- lmd2(i);

    d2(i)=6*((Y2(i+1)-Y2(i))/h2(i)-(Y2(i)-Y2(i-1))/h2(i-1))/(h2(i-1)+h2(i));

end                            

A2(1,1)=2;

A2(1,2)=1;

A2(n2,n2-1)=1;

A2(n2,n2)=2;

for i=2:n2-1

    A2(i,i-1)=mu2(i);

    A2(i,i)=2;

    A2(i,i+1)=lmd2(i);

end

M2=inv(A2)*d2';     

for k=1:m2

    for i=1:n2-1

        if Z2(k)>=X2(i)&Z2(k)<=X2(i+1)

S2(k)=M2(i)*(X2(i+1)-Z2(k))^3/(6*h2(i))+M2(i+1)*(Z2(k)-X2(i))^3/(6*h2(i))+(Y2(i)-M2(i)*h2(i)^2/6)*(X2(i+1)-Z2(k))/h2(i)+(Y2(i+1)-M2(i+1)*h2(i)^2/6)*(Z2(k)-X2(i))/h2(i);

            break

        end

    end

end             

plot(Z1,S1,Z2,S2,X,Y,'o')       

L=0;

for t=1:477

    L=L+((Z1(t)-Z1(t+1))^2+(S1(t)-S1(t+1))^

2)^0.5;

end

for t=1:277

    L=L+((Z2(t)-Z2(t+1))^2+(S2(t)-S2(t+1))^

2)^0.5;

End

4）、公路绘图：

公路长度大约是：1016.3米

 

第二篇：东南大学数学建模20xx06试卷A附答案

东 南 大 学 考 试 卷（ A 卷） 课程名称 数学建模与数学实验 考试学期 08-09-3 得分 适用专业 理工各专业 考试形式 闭卷 考试时间长度 120分钟 可带计算器 一 填空题（共32分，每题4分） 1．在本课程所介绍的若干模型中，请列举至少4个你最感兴趣的模型 。 2．迭代法是求非线性方程近似根的常用方法，已知y?f(x)，写出求x?x0附近的近似根的牛顿割线法公式 。 3. 已知加密矩阵A???11?，求?13??A?1(mod23) 。 4. 已知(x,y)的三个观察数据(1,1),(2,4),(3,?1)，写出其逐步线性插值的插值函数 。 5. 常微分方程x'?0.02x(1?0.001x),x(0)?100的解为 。 6. 考虑养老保险问题，假如某人30岁起保，每月交保费300元至60岁止，如果所交保费的月利率为r，写出其第k的保费本息和xk所满足的方程 。 7．考虑泛函J??1(x2?e?tx')dt，其对应的欧拉方程为 。 0

?0.750.050.2?

8. 考虑马氏链(x1(k?1),x2(k?1),x?

3(k?1))?(x1(k),x2(k),x3(k))??0.20.60.2，

??

?0.40.20.4??

则其平衡点为2位） 。

二．量纲分析法建模问题（12分）

考虑抛体运动。质量为m的物体以初速度v0抛出，证明下落的位移x与速度v、时间t及重力加速度g满足关系x?v0t?(v/v0,gt/v0)。

三．层次分析法建模问题（14分）

?1??? 1已知成对比较矩阵A?3????1/21/41??

（1） 将上述矩阵的元素补齐。

（2） 计算上述矩阵模最大特征值（精确到小数点后2位）。

（3） 计算上述矩阵的的随机一致性比率（已知随机一致性指标为0.58）。

四． 数值分析问题（14分）

已知(x,y)的一组数据

(1) 借助曲改直方法确定经验公式形式。

(2) 用最小二乘法确定经验公式的参数。

五．常微分方程建模问题（14分） 考虑两种群的Volterra模型 ??x'?0.05x?0.0001xy,x(0)?1000,y(0)?200 ?y'??0.1y?0.00005xy

dy）。 dx（1） 在相平面上求解该方程（提示：求解

（2） 讨论该问题的平衡点。

（3） 计算平均意义下y的百分比。

六 差分方程建模问题（14分，精确到小数点后两位）

考虑某动物种群年龄结构问题。该种群最大年龄为14岁，将其按年龄等间隔分为3组， 每5年作一次普查。相关数据分析说明其年龄结构已经稳定。现有相邻两次的雌性个

（1） 确定各年龄组存活率及稳定的年龄结构。

（2） 确定每个观察时段的增长率。

（3） 如果该种群的各年龄段的1时段出生率满足b1?0.5b2,b3?0.5b2，则其各段出生

率为多大。

东 南 大 学 考 试 卷（ A 卷） 课程名称 数学建模与数学实验 考试学期 08-09-3 得分 适用专业 理工各专业 考试形式 闭卷 考试时间长度 120分钟 可带计算器 一 填空题（共32分，每题4分） 1． 层次分析法、hill密码、logistic模型、传染病模型、贷款模型、抢渡长江等 。 2．xk?1?xk?f(xk)(xk?xk?1)/(f(xk)?f(xk?1)) 3. A?1(mod23)=??1311?。 ?1112??4. y???3x?2,1?x?2 5. x?1000/(1?9e?0.002t?5x,2?x?3) ?14 6. xk?1?xk(1?r)?300 7． 2x?e?t?0 8. （0.55，0.20，0.45） 二．解 解 [m]?M,[v0]?LT?1,[v]?LT?1,[x]?L,[t]?T,[g]?LT?2 4分 ?011101?A???100000?,Ay?0,R(A)?3 2分 ?1?101?2??0???基础解系为：[0,?1,1,0,0,0],[0,?1,0,1,?1,0],[0,?1,0,0,1,1] 2分 无量纲物理量为： ??11?vv0,?2?x/tv0,?3?gt/v0 2分 有Backham定律得 f(m,v0,v,x,t,g)?0与g(?1,?2,?3)?0等价。

据此得 x?v0t?(v/v0,gt/v0)。 2分

?11/32??? 3分 14三 解 （1） A?3????1/21/41??

（2）f(?)?|?E?A|?(??1)3?3(??1)?13/6?0 3分

取?0?3，迭代公式 xk?1?xk?f(xk)/f'(xk) ??3.02 2+2分

（3） CI?0.01,CR?0.02 2+2分

3分 x与log(y)呈线性关系，经验公式形式为 y?abx 4分

?1.504??11??1.585??11.2?????

(2) A??11.4?, Log(y)??1.666? 4分 ????1.74811.6???????12???1.910??

log(y)=1.098+0.406x, 或者 y?3?1.5 3分

五 解 （1）xdyy(x?200)?,dxx(100?20y)(e?20yy100)(e?xx200)?c 4分

记 f(x,y)?(e?20yy100)(e?xx200),c?f(1000,200) 2分

（2）平衡点为 （2000，500） 4分

（3）20% 4分

六 解 （1）s1?0.9,s2?0.6，n*=[1,0.818,0.446]. 3+3分

(2) ??1.1, 增长率 10%。 4分

（3） b1?b3?0.36,b2?0.71. 4分