【例1】（20##全国大纲卷理22）函数，定义数列如下：，是过两点、的直线与轴交点的横坐标.

（1）证明:；

（2）求数列的通项公式.

【证】（1）证：直线的方程为，即，

令，解得.

下用数学归纳法证明：

① 当时，，所以.

② 假设当时结论成立，即，则当时，

        由，得，即，故.

由①②知，对一切都有.

从而，故.

综上，.

（2）解：由（1）知，，则  ①， ②，

    ①②，得，故数列是首项为，公比为的等比数列.

     因此，，解得：.

【例2】已知函数在开区间(0，1)内是增函数．

(Ⅰ) 求实数a的取值范围；

(Ⅱ) 若数列满，证明：．

(Ⅰ)解：，由于f (x)在(0，1)内是增函数，

∴ ，即 在x∈(0，1)时恒成立．

∴   恒成立，

而  －2＜x－2＜－1，

∴  ，

即  ，

∴  即为所求．

(Ⅱ) 证明：① 当n=1时，由题设知a₁∈(0，1)．

② 假设当n=k时，不等式成立，即a_k∈(0，1)，则

当n=k+1时，由(Ⅰ)知，f(x)=ln(2－x)+x在(0，1)上是增函数

∴，

即a_k+1∈(0，1)，故n=k+1时命题成立.

根据① ② 知0＜a_n＜1，n∈N^*．

又 ∵ ，

∴ ．

【例3】已知函数,数列{}满足：，证明：

(Ⅰ) ；(Ⅱ) .

证明：(Ⅰ) 先用数学归纳法证明

① 当n=1时，由已知，结论成立.

② 假设当n=k时结论成立，即，

因为时，，

所以在(0，1)上是增函数，又在[0，1]上连续，

从而，即，

故当n=k+1时，结论成立.

由①②可知，对一切正整数都成立.

又因为时，，

所以，综上所述.

(Ⅱ) 设函数，

由(Ⅰ)可知，当时，.

从而,

所以在（0，1）上是增函数.

又，

所以当时，>0成立.

于是，即，

故．

【例4】已知函数,数列满足, ; 数列满足, .求证:

（Ⅰ）

（Ⅱ）

（Ⅲ）若则当n≥2时,.( )

解: (Ⅰ)先用数学归纳法证明,.

       （1）当n=1时,由已知得结论成立;

       （2）假设当n=k时,结论成立,即.则当n=k+1时,因为0<x<1时,,所以f(x)在(0,1)上是增函数.

又f(x)在上连续,所以f(0)<f()<f(1),即0<.

    故当n=k+1时,结论也成立. 即对于一切正整数都成立.

又由, 得,从而.

       综上可知 

       (Ⅱ)构造函数g(x)=-f(x)= , 0<x<1,

       由,知g(x)在(0,1)上增函数.又g(x)在上连续,所以g(x)>g(0)=0.

    因为,所以,即>0,从而 

       (Ⅲ) 因为 ,所以, ,

       所以   ————①

       由(Ⅱ)知:,  所以= ,

       因为, n≥2,

    所以 <<=————② .

       由①② 两式可知: .

【例5】    设函数与数列满足以下关系：

① ，其中是方程的实根；

② ；

③ 的导数.        

(Ⅰ) 求证：；

(Ⅱ) 判断与的大小关系，并证明你的结论.

(Ⅰ) 证：① 当时，，不等式成立.

② 假设当时不等式成立，即，则时，

∵，则递增.

∴，即时不等式也成立.

由①、②知，对一切都成立.                                       

(Ⅱ) 解：，

    设，则，

    ∴递减，而，

    ∴，

    即，亦即，

∴.                                                                  

【例6】（2005江西）已知数列

（1）证明

（2）求数列的通项公式a_n.

解：（1）方法一 用数学归纳法证明：

1°当n=1时，∴，命题正确.

2°假设n=k时有

   则

  

而

又

∴时命题正确.

由1°、2°知，对一切n∈N时有

方法二：用数学归纳法证明：

       1°当n=1时，∴；

    2°假设n=k时有成立，

       令，在[0，2]上单调递增，所以由假设

有：即

也即当n=k+1时  成立，

所以由1°、2°知，对一切

   （2）下面来求数列的通项：所以

,

又b_n=－1，所以

【拓展题】

【例】、数列满足，且.（1）当时，求数列的通项公式；

  （2）若不等式对一切恒成立，求的取值范围；

  （3）当时，证明：.

解：（1）当时，.

（2）①，要使对一切恒成立，

至少需使成立.

下面先用数归法证明：当时，(略)，再由①知恒成立.

所以为所求.

（3）当时，由(2)知，则由

，

从而，等号当且仅当时成立.

（2009安徽理21）首项为正数的数列满足 （1）证明：若为奇数，

则对一切都是奇数；（2）若对一切都有，求的取值范围.

略解：（1）已知是奇数，假设是奇数，其中为正整数，

则由递推关系得是奇数.（因为是偶数）

根据数学归纳法，对任何，都是奇数.

（2）（方法一）由知，当且仅当或.

另一方面，若则；若，则

根据数学归纳法，

综合所述，对一切都有的充要条件是或.

（方法二）由得于是或.

，因为

所以所有的均大于，因此与同号.

根据数学归纳法，，与同号.

因此，对一切都有的充要条件是或.

 

第二篇：数学归纳法证明不等式2